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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole \hspace{3mm} correction}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright  \\session 2008 \hspace {1.5em} Correction }}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Le tableau suivant donne, pour un lycée, la répartition des effectifs suivant deux critères : le sexe et l'appartenance à la section sportive du lycée :

\medskip
\begin{center}
{\small
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Élèves membres de la section sportive&Élèves  non membres de la section sportive&Total \\ \hline
Filles 	&100&300&400  \\ \hline
Garçons	&200&400&600  \\ \hline
Total	&300&700&\nombre{1000}  \\ \hline
\end{tabularx} }
\end{center}
\medskip

On choisit un élève au hasard dans ce lycée et on note F, G et S les évènements suivants :

F : l'élève est une fille ;

G : l'élève est un garçon ;

S : l'élève est membre de la section sportive.

\medskip

\textbf{Partie A : QCM}

\medskip

%Le QCM est donné en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie).

{\small\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte $1$~point. Une réponse inexacte
enlève $0,5$~point. L'absence de réponse n'enlève pas et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la
note attribuée à cette partie sera zéro.}}

Pour chaque question posée, la réponse convenable est cochée. %Aucune justification n'est demandée.
 L'univers est l'ensemble des élèves du lycée. La loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. La probabilité d'un évènement A est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir une fille membre de la section sportive est :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{4}$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$\dfrac{1}{10}$\\
\end{tabularx}\]

{\footnotesize Dans le lycée,il y a cent filles membres de la section sportive. $p(F\cap S) = \dfrac{100}{\np{1000}}=\np{0.1}$.}
\item On interroge une fille.

La probabilité qu'elle soit non membre de la section sportive est égale à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$0,75$&$\dfrac{3}{7}$&$0,3$\\
\end{tabularx}\]
 {\footnotesize La probabilité cherchée est $p_{F}(\overline{S})=\dfrac{300}{400}=\np{0.75}$.}
\item $p_{\text{S}}(\text{G})$ est égale à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$\dfrac{1}{3}$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{1}{5}$\\
\end{tabularx}\]
{\footnotesize  La probabilité que l'élève choisi soit un garçon sachant  qu'il est membre de la section sportive  est $p_{S}(G)=\dfrac{200}{300}=\dfrac{2}{3}$.}
\item $p(\text{S} \cup \text{F})$ est égale à :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$0,7$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$0,6$&$0,1$\\
\end{tabularx}\]
 {\footnotesize $p(S\cup F)= P(F)+p(S)-p(S\cap F)=\np{0.3}+\np{0.4}-\np{0.1}=\np{0.6}$.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Les probabilités demandées seront arrondies à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.}

On souhaite constituer une délégation de $10$~élèves. Le choix des $10$~élèves est assimilé à des tirages successifs
indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'élèves membre de la section sportive dans cette délégation.

\begin{enumerate}
\item  L'expérience  consiste à choisir au hasard  un élève et à examiner si l'élève est membre de la section sportive. Dans cette expérience, les deux issues possibles sont :
\begin{itemize}
\item succès: \og L'élève est membre de la section sportive\fg, la probabilité de succès est \np{0.3}.
\item échec:  \og L'élève n'est pas membre de la section sportive\fg, la probabilité d'échec est \np{0.7}.
\end{itemize}

L'expérience précédente est répétée 10 fois dans les mêmes conditions et de façon indépendante. 
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres (10;\ \np{0.3}). Par conséquent $p(X=k)=\binom{10}{k}(\np{0.3})^k(\np{0.7})^{10-k}$
\item  Déterminons la probabilité d'obtenir dans la délégation exactement $5$~membres de la section sportive. \[p(X=5)=\binom{10}{5}(\np{0.3})^5(\np{0.7})^{5}\approx \np{0.1029}.\]
La probabilité que la délégation comporte exactement cinq membres de la section sportive est environ \np{0.103} à $10^{-3}$ près.
\item  Déterminons la probabilité d'obtenir dans la délégation au moins un membre de la section sportive.
\[ p(X \geqslant1)=1-p(X=0)=1-(\np{0.7})^{10}\approx \np{0.9118}.\]
La probabilité que la délégation comporte au moins un membre de la section sportive est environ \np{0.912} à $10^{-3}$~près.
\end{enumerate} 


\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2} 
 
\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée dans le document représente une fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par une expression de la
forme 
\[f ( x) = - \text{e}^{2x}  + a\text{e}^{x} + b\]

 o˘ $a$ et $b$ sont deux réels. (T) est la tangente à la courbe représentative de $f$ au point
d'abscisse $0$.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
 par lecture graphique : \begin{itemize}\item $f(0)=1$; nous lisons l'ordonnée du point en lequel la courbe coupe l'axe des ordonnées.
 \item $f'(0)=6$. C'est le coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées $(0~;~1)$ et $(-1~;~-5)$ ; $m=\dfrac{-5-1}{-1-0}=6$.
\end{itemize}
\item  Déterminons $f^\prime(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~2]$. $f^\prime(x)=-(2\e^{2x})+a(\e^x)$.
\item  Déterminons  les réels $a$ et $b$.
 Nous avons alors $\begin{cases}
  f(0)=-\e^0+a\e^0+b=1\\
f^\prime(0)=-2\e^0+a\e^0=6\\
\end{cases}$  ou en simplifiant  $\begin{cases}
 -1+a+b=1\\
-2+a=6\\
\end{cases}$. Nous obtenons  $\begin{cases}
 b=-6\\
a=8\\
\end{cases}$. 
$f$ est par conséquent définie par  $f(x)=-\e^{2x}+8\e^x-6$.
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par :

\[f(x) = - \text{e}^{2x} + 8\text{e}^{x} - 6.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminons la limite de $f$ en $-\infty$.
\[\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)= \lim_{\to -\infty}-\e^{2x}+\lim_{x\to-\infty}8\,\e^x +\lim_{x \to -\infty}(-6)=0+0+(-6)=-6.\]
 Graphiquement, la courbe représentative de $f$ est asymptote à la droite d'équation $y=-6$.
\item  Déterminons la fonction dérivée de $f$ sur $]\infty~;~2]$. $f'(x)=-(2\e^{2x})+8(\e^x)$. En factorisant par $\e^x$ nous obtenons : pour tout $x$ de l'intervalle $]- \infty~;~2]\quad f^{\prime}(x) = \text{e}^{x}\left(8 - 2\text{e}^{x}\right)$. 

{\emph {\footnotesize Nous aurions pu mettre $2\e^x$ en facteur. $f^\prime(x)=2\e^x(4-\e^x)$}}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résolvons dans $]- \infty~;~2]$ l'équation $f'(x) = 0$.
\vspace{-0.5ex}	
		\begin{align*}
2\e^x(4-\e^x)&=0 &     \e^x&=4  &  x&=2\ln 2    \\
	4-\e^x&=0 &	  x&=\ln 4   &		x&\approx \np{1.386}\\
\end{align*}
 L'ensemble des solutions de l'équation est $\big\{2\ln 2 \big\}$
		\item  Pour tout $x\in \R, \quad \e^x>0$ par conséquent $f^{\prime}(x)$ est du signe de $8 - 2\text{e}^{x}$  ou de $4-\e^x $ pour tout $x$ de $]- \infty~;~2]$.
		\item  Résolvons dans $]- \infty~;~2]$ l'inéquation $8 - 2\text{e}^{x} > 0$.
			\begin{align*}
2(4-\e^x)&>0 &     \e^x&<4  &  x&<2\ln 2    \\
	4-\e^x&>0 &	  x&<\ln 4   &		\\
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\big]-\infty~;~2\ln 2\big[$

			\item Si pour tout $x\in I,\:f^{\prime}(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
			
Pour tout $x\in \big]-\infty~;~2\ln 2\big[, \quad f^\prime(x)>0$. Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour tout $x\in \big]2\ln 2~;~2\big], \quad f^\prime(x)<0$. Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

$f(\ln 4)= - \text{e}^{2\ln 4} + 8\text{e}^{\ln 4} - 6= -16+32-6=10$.

$f(2)=- \text{e}^{4} + 8\text{e}^{2} - 6$.

 Dressons maintenant le tableau de variations de $f$ sur $]- \infty~;~2]$. 
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](4.5,2.45){$2\ln 2$}                 \uput[u](7.75,2.45){$2$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.25,0.51){$-6$}\uput[u](4.5,1.5){$10$}\uput[d](7.2,0.55){$\scriptstyle -\e^4+8\e^2-6 $}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
  	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons   une primitive $F$ de $f$ sur $]- \infty~;~2]$.\[F(x)=-\left(\dfrac{1}{2}\e^{2x}\right)+8\e^x-6x + C \] 
		\item  Calculons la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par l'axe des
abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
La fonction $f$ étant positive et strictement croissante sur $[0~;~1]$,$f(0)=1$ et $f(1)= 7\e -6$, l'aire du domaine  est définie par $\displaystyle \int^1_0 f(x)\mathrm{d}x$.
\[\mathcal{A}=\displaystyle \int^1_0 f(x)\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_0^1=F(1)-F(0)=-\dfrac{1}{2}\e^{2}+8\e-6 -\left(-\dfrac{1}{2}+8\right)= -\dfrac{1}{2}\e^{2}+8\e-\dfrac{27}{2} .\]
L'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$ vaut $-\dfrac{1}{2}\e^{2}+8\e-\dfrac{27}{2}$ unités d'aire.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
%\vspace{1cm}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Représentation graphique de} \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(2,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(-5,-7)(2,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(2,11)
\psline(-1,-5)(1,7) \uput[dr](0,0){O} \uput[l](-1,-4.8){(T)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-5}{2}{2.71828 x exp 8 mul 6 sub 2.71828 x 2 mul exp sub}
\pscustom[fillstyle=vlines,linecolor=blue,linewidth=0.5pt,hatchwidth=0.25pt,hatchcolor=cyan]{
\psline(0,0)(0,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{1}{2.71828 x exp 8 mul 6 sub 2.71828 x 2 mul exp sub}
\psline(1,8.3572)(1,0)
}
\rput(0.65,2.75){\color{red}{{\Large $\mathcal{A}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe A}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}\textbf{Partie A : QCM}\end{center}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes cocher la réponse qui convient :

