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%Tapuscrit : François Kriegk
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole, La Réunion}}
\rfoot{\small{9 juin 2017}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Métropole--La Réunion 9 juin 2016}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Une entreprise de production de miel commercialise des pots de 250~g de miel d'acacia, ces pots contenant aussi des fruits secs.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La masse de fruits secs présents dans un pot de miel, exprimée en g, est une variable aléatoire $X$ distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu = 75$ et $\sigma = 4$.

L'entreprise considère que le remplissage du pot est conforme si la masse de fruits secs contenus dans un pot de miel est comprise entre 65~g et 85~g. Dans le cas contraire il est non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice ou du tableau de valeurs suivant, donner la probabilité, arrondie à $10^{-4}$ près qu'un pot soit conforme

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline
$a$& 60 &65 &70 &75 &80 &85 &90 &95\\ \hline
$P(X < a)$ &\np{0,0001} &\np{0,0062} &\np{0,1056} &0,5 &\np{0,8944} &\np{0,9938} &\np{0,9999} &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Des cartons de 6 pots ont été formés en prélevant ces pots au hasard parmi l'ensemble des pots en
bout de chaîne de production. Le nombre de pots produits est suffisamment important pour
considérer indépendant le choix des pots constituant le carton.

On considère pour la suite que la probabilité de choisir un pot conforme est de $0,99$.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots conformes, parmi les 6 pots prélevés
constituant un carton.
\item Justifier que la loi de probabilité de $Y$ est la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0,99$.
\item Déterminer $p(Y = 6)$ arrondi à $10^{-2}$ près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Quelle est la probabilité qu'un carton contienne au moins un pot non conforme ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les fruits secs contenus dans les pots de miel sont soit des amandes, soit des noix, soit des noisettes.

Il n' y a qu'un seul type de fruit sec par pot.

Le laboratoire d'analyse de qualité de cette entreprise, étudie la masse en grammes de noisettes, noix et amandes présentes dans $240$~pots conformes de miel d'acacia, prélevés au hasard dans la chaîne de fabrication.

Voici les résultats obtenus par le laboratoire après la pesée des fruits secs contenus dans 240~pots.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\scriptsize Masse   en grammes \\\scriptsize  de fruits secs}{\scriptsize Fruits secs utilisés}&Noisettes &Noix &Amandes\\ \hline
[65~;~70[ &4 	&4 	&7\\ \hline
[70~;~75[ &29 	&33 &32\\ \hline
[75~;~80[ &32 	&41 &37\\ \hline
[80~;~85[ &6 	&8 	&7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau des effectifs marginaux situé en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
		\item Compléter le tableau situé en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}, des profils colonnes et du profil marginal des colonnes. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près si nécessaire.
\item Peut-on dire que la masse de fruits secs contenue dans les pots dépend de la nature du fruit sec ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ donnée ci-dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie sur $] - \infty~;~0]$. La droite $(T)$, parallèle à l'axe des abscisses, est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $- 4$.

L'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $- \infty$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-9,-1.5)(0.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-9,-1.5)(0.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(0.5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-9}{-1.9}{x 3 add 2.71828 x exp mul 0.4 mul 2.71828 4 neg exp div}
\psline[linewidth=1pt](-9,-0.4)(0.5,-0.4)
\uput[ul](-2,3){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](-1.5,-0.4){$(T)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Préciser pour chacune des propositions qui suivent si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 9$.
\item  $f'(- 4) = 0$.
\item  $f'(x) < 0$ sur $[-4~;~-3]$.
\item  $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\:\text{d}x \geqslant  3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Après un épisode pluvieux, un organisme surveille la crue et la décrue d'une rivière qui traverse une zone habitée.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les relevés des débits, exprimés en m$^3$ . s $^{-1}$ (mètre cube par seconde), ont permis d'établir la courbe ci-dessous pour les premières heures :

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(38,105)
\multido{\n=0+2}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,105)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(38,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(0,0)(38,105)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptsize](0,0)(0,0)(38,105)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{38}{20 x mul 2.71828 0.16 x mul exp div 50 add}
\uput[u](34,0){Temps en heure}
\uput[r](0,102){Débit en m$^3$ par seconde}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{En utilisant le graphique, avec la précision permise par le graphique, répondre sans justification aux questions suivantes} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le débit de la rivière au début de la crue.
\item Indiquer le débit maximal et le moment auquel il est atteint.
\item On considère qu'il y a des risques d'inondations au-delà d'un débit de la rivière de $70$~m$^3$.s$^{-1}$.

Donner l'intervalle de temps pendant lequel il y a des risques d'inondations.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que l'évolution du débit de la rivière est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0~;~ 60]$ par :

\[f(x) = 50 + 20x\text{e}^{-0,16x}\]

où $x$ représente le temps en heure et $f(x)$, le débit en m$^3$.s$^{-1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée de $f(60)$ arrondie à l'unité et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = (20 - 3,2x)\text{e}^{-0,16x}$.
		\item Etudier le signe de $f'(x)$.
		\item Construire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~60].
		\item Préciser alors la réponse à la question 2 de la partie A (arrondir à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate}
\item  On admet que $F$ définie par $F(x) = 50x - (781,25 + 125x)\text{e}^{- 0,16x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~60].
	
La quantité d'eau apportée par la rivière lors de la crue est $I = \displaystyle\int_0^{6,25}f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_0^{6,25}f(x)\:\text{d}x$.
		\item En donner une valeur approchée au m$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

En 2016, on comptait en France, \np{650000} colonies d'abeilles. Du fait du taux de mortalité important chez ces insectes, on observe que le nombre de colonies baisse de 7,5\,\% par an et on considère que cette tendance devrait se poursuivre dans les années à venir.

On note $u_n$ le nombre de colonies d'abeilles l'année $(2016+n)$ et $u_0 = \np{650000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,925$.
\item Justifier que $u_n = \np{650000} \times 0,925^n$.
\item Expliquer ce que réalise l'algorithme ci-dessous dans le contexte de l'exercice :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u$ prend pour valeur \np{650000}\\ 
$n$ prend pour valeur 0\\ 
Tant que $u > \np{100000}$\\
\hspace{1cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0,925 \times u$\\
Fin tant que\\
Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Par la méthode de votre choix, déterminer au bout de combien d'années le nombre de colonies
d'abeilles passera en dessous de \np{100000}. Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Question 1. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\scriptsize Masse   en grammes \\\scriptsize  de fruits secs}{\scriptsize Fruits secs utilisés}&Noisettes &Noix &Amandes&Total\\ \hline
[65~;~70[ &4 	&4 	&7	&\\ \hline
[70~;~75[ &29 	&33 &32	&\\ \hline
[75~;~80[ &32 	&41 &37	&\\ \hline
[80~;~85[ &6 	&8 	&7	&\\ \hline
Total	  &		&	&	&240\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1. b.} : arrondir à $10^{-2}$ près

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\scriptsize Masse   en grammes \\\scriptsize  de fruits secs}{\scriptsize Fruits secs utilisés}&Noisettes &Noix &Amandes&Total\\ \hline
[65~;~70[ 			&0,06 &0,05 	&0,08 	&0,06\\ \hline
[70~;~75[ 			&0,41	&		&		&\\ \hline
[75~;~80[ 			&0,45	&		&		&\\ \hline
[80~;~85[ 			&0,08	&0,09 	&0,08 	&0,09\\ \hline
Total &1&1&1&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}