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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion juin 2009}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6,5 points}

\medskip

\textbf{Tous les résultats seront arrondis au centième près, si nécessaire}

\medskip

Une auto-école propose deux filières possibles pour préparer l'examen du permis de conduire : l'apprentissage anticipé de la conduite (AAC) et la filière traditionnelle.
 
Elle affiche les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% de ses candidats choisissent la formule AAC; 
\item[$\bullet~$] 80\,\% des candidats qui choisissent la formule AAC obtiennent leur permis lors de la première présentation ; 
\item[$\bullet~$] 50\,\% des candidats qui préparent leur permis avec la filière traditionnelle l'obtiennent lors de la première présentation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard un de ses candidats après l'obtention du résultat de sa première présentation.

On note A l'évènement : \og Le candidat a préparé son examen avec la filière AAC \fg.
 
On note B l'évènement : \og Le candidat a obtenu son permis de conduire lors de la première présentation \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données à l'aide d'un arbre de probabilités en indiquant les probabilités sur chaque branche. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le candidat a préparé le permis de conduire avec la filière AAC et l'a obtenu lors de la première présentation \fg. 
\item Justifier l'affirmation suivante : la probabilité que le candidat ait obtenu son permis de conduire lors de la première présentation est de $0,62$. 
\item Le candidat interrogé a échoué au permis de conduire lors de la première présentation.

Quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen avec la filière AAC ?

\medskip 

On interroge au hasard et de façon indépendante $10$~candidats de cette auto-école qui viennent de passer leur permis de conduire pour la première fois. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de candidats ayant échoué.
 
\item Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,38$. 
\item Calculer la probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 QCM \hfill 5 points}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]-5~;~+ \infty[$. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
 
Le tableau de variations de $f$ est donné ci-dessous.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,3)
\psframe(12,3) \psline(0,2)(12,2)\psline(0,2.5)(12,2.5)
\psline(3,0)(3,3) \psline(3.2,0)(3.2,2.5) \psline(3.15,0)(3.15,2.5)
\psline{->}(3.8,1.7)(5.7,0.2) 
\psline{->}(6.3,0.2)(8.3,1.7)
\psline{->}(9.7,1.7)(11.3,0.2)
\uput[u](1.5,2.5){$x$} \uput[u](3.15,2.5){$-5$} \uput[u](6,2.5){$0$} \uput[u](9,2.5){$2$} \uput[u](11.7,2.5){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.25){Signe de $f'(x)$} 
\rput(1.5,1){Variations de $f$}
\uput[u](4.5,2){$-$}  \uput[u](6,2){$0$} \uput[u](7.5,2){$+$}
 \uput[u](9,2){$0$} \uput[u](10.5,2){$-$}
\uput[d](3.5,2){$+ \infty$} \uput[u](6,0){$0$} \uput[d](9,2){$3 - \ln \left(\frac{1}{3}\right)$} \uput[u](11.7,0){$- \infty$}
\end{pspicture} 

\medskip

Le \textbf{QCM} est donné \textbf{en annexe}.

\medskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 8,5 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]-3~;~+\infty [$ par 

\[g(x) =  \text{e}^{2x} - \dfrac{3}{x + 3}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 
\item[$\bullet~$] 0,5~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite en $+ \infty$ de $g$. 
		\item  Déterminer la limite en $- 3$ de $g$ et interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de $]-3~;~+\infty [$. 
		\item Justifier que $g^{\prime}(x)$ est positif sur $]-3~;~+\infty [$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]-3~;~+\infty [$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs donné en annexe. 
		\item  Construire $\mathcal{C}_{g}$ et (T) dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $G$ définie sur $]-3~;~+\infty [$ par 
		
\[G(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 3\ln (x + 3)\]

 est une primitive de $g$. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{0}^4 g(x)\:\text{d}x$. 
		\item Interpréter géométriquement I.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à compléter et à remettre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  QCM}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.}

\textbf{Cocher} pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ passe par le point :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
A$(-5~;~0)$ & B$(2~;~0)$&C$(2~;~3 + \ln 3)$\\
\end{tabularx}\]

\item $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote d'équation :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$x = - 5$ & $y = - 5$&On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}\]

\item $f(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$[2~;~+ \infty[$ & $]-5~;~0]$&On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}\]

\item L'équation $f'(x) = 0$ admet pour solution(s) :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
0 et 2 &  $0$ et $3 - \ln \left(\dfrac{1}{3}\right)$&$-5$\\
\end{tabularx}\]

\item $f'(4)$ est :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
positif & négatif&On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\textbf{Les résultats seront arrondis à 0,1 près, si nécessaire}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $- 2,7$& $-2,5$ &$-2$&$-1,5$&$-1$&$-0,5$&$0$&$0,5$&1&$1,5$\\  \hline
$g(x)$&&&&&&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

\end{document}