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%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Métropole--Antilles--Guyane--Réunion juin 2013}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une enquête est réalisée auprès de touristes étrangers ayant séjourné dans une région française sur leur consommation de produits du terroir. Les résultats sont les suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 89\,\% des touristes ont consommé des produits du terroir pendant leur séjour en France et, parmi ceux-ci, 90\,\% en ont acheté pour ramener dans leur pays ; 
\item[$\bullet~$] 25\,\% des touristes qui n'en n'ont pas consommé pendant leur séjour, en ont malgré tout acheté pour ramener dans leur pays.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard un de ces touristes.
 
On désigne par :
 
$C$ l'évènement: \og Le touriste a consommé des produits du terroir pendant son séjour en France\fg ; 

$R$ l'évènement : \og Le touriste a acheté des produits du terroir pour ramener dans son pays \fg.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item À partir de l'énoncé, donner $p(C), p_C(R)$ et $p _{\overline{C}}(R)$. 
\item Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur chaque branche. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(C \cap R)$ et $p\left(\overline{C} \cap R\right)$. 
		\item En déduire la probabilité que le touriste ramène des produits du terroir dans son pays.
	\end{enumerate} 
\item Les évènements $R$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate} 
%$p©,\:p_{C}®$  et $p\left(\overline{C} \cap R\right)$.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  QCM\hfill 4 points}

\medskip

Compléter le QCM donné en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie).
 
Pour chaque question, une et une seule des trois réponses proposées est exacte. 

Cocher la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point.\\ 
L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point.\\ 
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

Une urne contient $30$~boules rouges et $20$~boules vertes indiscernables au toucher. On prélève successivement et avec remise $4$~boules de cette urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes obtenues après les quatre tirages.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $X$ suit une loi binomiale de param\`etres : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box\quad n = 4$ et $p = \dfrac{2}{5}$&$\Box\quad n = 4$ et $p = \dfrac{3}{5}$& 
$\Box\quad  n = 50$ et $p = \dfrac{2}{5}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité $P(X = 2)$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box\quad \left(\dfrac{2}{5}\right)^2$&$\Box\quad \left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$& 
$\Box\quad  6 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité $P(X \leqslant 1)$ est égale à : 


\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box\quad \np{0,1296}$& $\Box\quad \np{0,3456}$& $\Box\quad \np{0,4752}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box\quad 1,6$&$\Box\quad 4,4$& $\Box\quad 80$
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (1 - x)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item On admet que : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$. 
		\item Démontrer que $f'(x)$ est du signe de $- x$ pour tout réel $x$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
 
En déduire les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné ci-dessous. 
Les résultats seront arrondis au dixième près.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 2$	&$- 1,5$&$- 1$ 	&$- 0,5$ 	&$0$&$0,5$ 	&$1$&$1,25$\\ \hline 
$f(x)$	&		&		&		&			&	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip  
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 1$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Résoudre dans $\R$, par la méthode de votre choix, l'équation : $f(x) = - x + 1$.
	\end{enumerate} 
\item Soit la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (2 - x)\text{e}^x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ 
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 
		\item En déduire l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$ au mm$^2$ près, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}