\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STAV},
pdftitle = {Métropole--La Réunion septembre 2007},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STAV~\decofourright  \\Métropole La Réunion septembre 2007}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }


\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

Un groupe de 150 personnes en séjours de ski est constitué de 60\,\% d'enfants et 40\,\% d'adultes. Chacun choisit le ski de fond ou le ski alpin. 80\,\% des adultes choisissent le ski alpin et autant d'enfants que d'adultes choisissent le
ski de fond.

\begin{center}
\textbf{Partie A} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau d'effectifs donné dans le document.
\item  On choisit une personne au hasard dans ce groupe.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité qu'elle fasse du ski alpin.
		\item  Sachant que cette personne est un enfant, déterminer la probabilité qu'elle fasse du ski de fond.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\begin{center}
\textbf{Partie B} 
\end{center}
 
La durée journalière, exprimée en heures, de pratique du ski de fond est une variable aléatoire X de la loi
normale $4$ et d'écart-type $0,5$.

\emph{Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la loi normale centrée réduite.}

\medskip

Quelles sont les probabilités qu'un skieur de fond ait pratiqué dans la journée :
\begin{enumerate}
\item  plus de $5$ heures ?
\item  moins de $3,5$ heures ?
\item  entre $3$ et $5$ heures ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document représente, dans un repère orthonormé, une fonction $g$ définie sur
I = $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

\[g(x) = \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{6} \right).\]

\begin{enumerate}
\item  Par \textbf{lecture graphique}, répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée :
 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans I l'équation : $g(x) = 0$.
		\item  Déterminer le signe de $g (x)$.
 	\end{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction définie sur I par : $G(x) =  \dfrac{1}{2}\sin \left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur I.
		\item  Soit D le domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$, l'axe des abscisses, les droites d'équations

$x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = \dfrac{\pi}{3}$. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine D.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~5]$ par : 

\[f(x) = - 2\ln x + \ln (6 - x) - 1\]

 et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item  Soit $f'$  la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~5]$ ;
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f'(x) = \dfrac{x - 12}{x(6 - x)}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~5]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~5]$. On
y indiquera la valeur exacte de $f(5)$.
 	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
	
\emph{Les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,5 	&1	&2 	&3	& 4	&5  \\ \hline
$f(x)$	&		&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Déterminer une équation de la tangente (T) à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse 2.
\item  Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentative de $f$ et sa tangente (T) dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Documents des exercices 1 et 2}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Tableau d'effectifs de l'exercice 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&ski alpin & ski de fond & total   \\ \hline
enfants & & &   \\ \hline
adultes & & &   \\ \hline
total  & & &  \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\item \textbf{Courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ de l'exercice 2}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.25)(2.25,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.25)(2.25,1.5)
\uput[d](2.25,0){$x$} \uput[l](0,1.5){$y$}
\uput[ur](1.0472,0){$\dfrac{\pi}{3}$}\uput[ur](1.571,0){$\dfrac{\pi}{2}$}\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](1.45,-0.7){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$}
\psline(1.0472,0.03)(1.0472,-0.03)
\psline(1.571,0.03)(1.571,-0.03)
\psline[linestyle=dashed](1.571,0)(1.571,-0.866)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{1.571}{x 180 mul 3.14159 div 2 mul 30 sub cos}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}