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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{métropole \hspace{3mm} correction}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\ Métropole septembre 2008 \hspace{3mm} Correction}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

La fonction g définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = x\text{e}^{-x}$ est représentée dans le document joint.
 
(T) est la tangente à la représentation graphique de $g$ au point d'abscisse $1$.
 
Par lecture graphique :% en justifiant votre réponse :
 
\begin{enumerate}
\item  \begin{itemize} \item [$\bullet$] $g(1)=\dfrac{1}{\e}$.  Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1. 
\item[$\bullet$] $g'(1)=0$. La tangente  au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est égal à~0. Le coefficient directeur de la tangente en $a$ à $\mathcal{C}_f$ est $f^\prime(a)$.  
\end{itemize}
\item   Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $g(x) < 3$ car le graphique montre que $\e^{-1}$ est le maximum de la fonction sur cet intervalle, et $\e^{-1}\approx \np{0.367879}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $f(x) = \text{e}^{-x} + 3\ln x.$

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm sur chacun des axes.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons la limite de $f$ en $0$. 
\[\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\e^{-x}+\lim_{x \to 0}3\ln x=1+(-\infty)=-\infty\]
Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ est asymptote à l'axe des ordonnées.
		\item  Déterminons la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\[\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\e^{-x}+\lim_{x \to +\infty}3\ln x=0+(+\infty)=+\infty\]
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,

\[f^\prime(x)=-\e^{-x}+3\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{-x\e^{-x}+3}{x}= \dfrac{3 - g(x)}{x}\] 

		\item Déterminons le signe de $f'(x)$  sur $]0~;~+ \infty[$.  Pour $x\in]0~;~+ \infty[$, le signe de $f^\prime(x)$ est celui de $3-g(x)$.

 Or nous avons écrit que  $g(x)<3$ donc $3-g(x)>0$. Par conséquent, pour tout $x\in]0~;~+\infty[,\ f^\prime (x)>0 $
		\item Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour tout $x\in]0~;~+\infty[,\ f^\prime (x)>0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
  
 Dressons le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

 \medskip
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(1.1,0)(1.1,3) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](7.65,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4.5,1.9){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.35,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.6,2.1){$+\infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.85)
\end{pspicture}
\end{center}
  	\end{enumerate}
  \vspace{5mm}	
\item 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$0,5$	&1	&2	&3	&4	&5	\\ \hline
$f(x)$	&	\np{-1.5}	&\np{0.4}	&\np{2.2}	&\np{3.3}	&\np{4.2}	& \np{4.8} 	\\ \hline
\end{tabularx}

{\scriptsize Les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près.}
 
\item  La courbe représentative de la fonction $f$ est tracée page \pageref{courbe}.
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $ H(x) = x\ln x - x$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   $H$ est une primitive de la fonction ln sur $]0~;~+ \infty[$ si $H^\prime (x)=\ln x$.
			\[H^\prime(x)=\ln x+x \left(\dfrac{1}{x}\right)-1=\ln x\]
		\item Déterminons une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\[F(x)=-\e^{-x}+3(x\ln x-x)+C=-\e^{-x}+3 x \ln x-3x +C.\]
 	\end{enumerate}
\item Calculons, en unité d'aire,  l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_{f}$,  l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. 

La fonction $f$ étant positive et strictement croissante sur $[1~;~2]$, l'aire du domaine  est définie par $\displaystyle \int^2_1 f(x)\mathrm{d}x$.
\[\mathcal{A}=\displaystyle \int^2_1 f(x)\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_1^2=F(2)-F(1)=-\e^{-2}+6\ln 2-6-\left(-\e^{-1}-3\right)= -\e^{-2}+6\ln 2-3+\e^{-1}.\]
L'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$ vaut $6\ln 2 - 3 +\e^{-1}-\e^{-2}$ unités d'aire.

L'unité d'aire vaut 4~cm$^2$. Une valeur arrondie de cette aire à $10^{-2}$ près est \np{5.57}~cm$^2$.

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Dans plusieurs lycées, on recense le nombre d'élèves inscrits en STAV en septembre 2006. Chaque élève a choisi
un seul EIL (enseignement d'initiative locale) parmi trois :

aménagement (A), transformation (T) et services (S).

On dénombre $200$~élèves parmi lesquels $120$~filles.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 60\:\% des élèves sont inscrits en EIL aménagement
\item[$\bullet~$] 20\:\% des élèves sont inscrits en EIL transformation
\item[$\bullet~$] 12 filles sont inscrites en EIL transformation
\item[$\bullet~$] 70\:\% des élèves inscrits en EIL aménagement sont des filles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item T l'événement \og être inscrit en EIL transformation \fg{} ;
\item F l'événement \og être une fille \fg{} ;
\item S l'événement \og être inscrit en EIL services \fg{} ; 
\item G l'événement \og être un garçon \fg{} ;
\item A l'événement \og être inscrit en EIL aménagement \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes. Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le tableau est complété page \pageref{tab}.
\item  L'univers est l'ensemble des élèves inscrits en septembre 2006. Le choix ayant lieu au hasard, la loi mise sur cet univers  est la loi équirépartie. La probabilité d'un événement A est  $p(\text{A})=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$.

 Calculons les probabilités  suivantes  :\begin{itemize}\item [$\bullet$] $p$(A). En EIL aménagement, il y a \np{120} élèves inscrits sur un total de \np{200} donc $p(\text{A})=\dfrac{120}{200}=\dfrac{3}{5}$
\item [$\bullet$] $p$(G). Parmi les \np{200} élèves, il y a 80 garçons donc $p(\text{G})=\dfrac{80}{200}=\dfrac{2}{5}$.
\item [$\bullet$] $p\left(\text{A}  \cup \text{G}\right)$. Parmi les 200 élèves, il y a 36 garçons inscrits en EIL aménagement $p(\text{A}\cap \text{G})=\dfrac{36}{200}=\dfrac{9}{50}.$

$p(\text{A}\cup \text{G})=p(\text{A})+p(\text{G})-p(\text{A}\cap \text{G})$ d'où $p(\text{A}\cup \text{G})=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{9}{50}=\dfrac{41}{50}$.
\end{itemize}
\item  La probabilité d'être un garçon inscrit en EIL transformation est notée $p(\text{T}\cap \text{G})$. Parmi les 200 élèves, il y a 28 garçons inscrits en EIL transformation $p(\text{T}\cap \text{G})=\dfrac{28}{200}=\dfrac{7}{50}.$

\item  On interroge un garçon. La probabilité qu'il soit inscrit en EIL aménagement est notée $p_{\text{G}}(\text{A}$).

$p_{\text{G}}(\text{A})=\dfrac{p(\text{A} \cap \text{G})}{p(\text{G})}=\dfrac{\dfrac{9}{50}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{9}{20}$
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

On s'intéresse aux $12$~filles inscrites en EIL transformation parmi lesquelles 3 sont internes. On veut constituer un
groupe de $4$~élèves choisi au hasard parmi ces $12$~filles pour représenter ces lycées dans une assemblée.

\begin{enumerate}
\item  Montrons qu'il y a 495 groupes possibles. 

Nous choisissons 4 personnes parmi les 12 filles. Nous avons donc $\binom{12}{4}=495$ choix possibles.
\item  On appelle $X$ la variable aléatoire désignant le nombre d'internes parmi les 4 élèves choisis.
	\begin{enumerate}
		\item  Les valeurs possibles prises par $X$ sont 0, 1, 2 ou 3.
		\item  Calculons $p(X = 1)$. Nous choisissons 1 fille parmi les 3 internes et nous complétons  en choisissant 3 filles parmi les 9 qui ne sont pas internes. 
$p(X=1)=\dfrac{\binom{3}{1}\times \binom{9}{3}}{495}= \dfrac{28}{55}$
		\item  Donnons la loi de probabilité de $X$. Calculons $p(X = k)$ pour $k \in \{0; 2;3 \}$ et  le tableau est complété page \pageref {prob}.
	\begin{itemize}
	\item [$\bullet$] $p(X = 0)$. Nous choisissons les 4 filles parmi les 9 qui ne sont pas internes. $p(X=0)=\dfrac{ \binom{9}{4}}{495}= \dfrac{14}{55}$
		\item [$\bullet$] $p(X = 2)$.    Nous choisissons 2 filles parmi les 3 internes et nous complétons  en choisissant 2 filles parmi les 9 qui ne sont pas internes. 
$p(X=2)=\dfrac{\binom{3}{2}\times \binom{9}{2}}{495}= \dfrac{12}{55}$
	\item [$\bullet$] $p(X = 3)$ .  Nous choisissons  les 3 internes et nous complétons  en choisissant 1 fille parmi les 9 qui ne sont pas internes. 
$p(X=3)=\dfrac{ \binom{9}{1}}{495}= \dfrac{1}{55}$
	\end{itemize}
 	\end{enumerate}
 	\end{enumerate}

\vfill

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT : exercice 1}

\medskip

\textbf{Représentation graphique de} \boldmath $g$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=15cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,0.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](-1,-0.1)(6,0.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-1,-0.1)(6,0.4)
\multido{\n=-0.1+0.1}{6}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-1,\n)(6,\n)}
\multido{\n=-1+1}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,0.4)}
%\multido{\n=-0.1+0.1}{6}{\uput[l](0,\n){\n}}
\psline{<->}(0,0.3679)(2,0.3679)\uput[l](0,0.3679){$\dfrac{1}{\text{e}}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0.01}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}


%\bigskip
\newpage
\textbf{ANNEXE}
\end{center}

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\textbf{Partie A} Tableau \label{tab}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Sexe}{EIL}&T&A&S&Total\\ \hline
F		&12	&84	&24	&120  \\ \hline
G		&28	&36	&16	& 80 \\ \hline
Total	&40	&120	&40	&200  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie B} Loi de probabilité de $X$

\medskip 

\renewcommand\arraystretch{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Valeurs de $X$	&0	&	1&2	& 3 \\ \hline
Probabilités 	&$\frac{14}{55}$	&$\frac{28}{55}$	&$\frac{12}{55}$	&$\frac{1}{55}$  \\ \hline
\end{tabularx}
\label{prob}

\vfill
\textbf{Exercice 1\hspace{3mm} Représentation graphique de \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7.3,6.2)\label{courbe}
\psaxes[linewidth=1pt, Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-2)(7.2,6.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-1,-2)(7,6.2)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue, linewidth=0.75pt]{0.4117}{7}{2.71828 x neg  exp x ln 3 mul add}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(1,0)(1,0.4)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue, linewidth=0.75pt]{1}{2}{2.71828 x neg  exp x ln 3 mul add}
\psline(2,2,2)(2,0)
}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[u](1.6,0.6){{\huge\textcolor{red}{$\mathcal{A}$}}}\uput[u](6.6,5.25){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{document}