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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]septembre  2017 Métropole--La Réunion }}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Dans un camping, on considère deux catégories de clients : les clients français et les clients étrangers. Le camping souhaite évaluer la proportion de clients satisfaits des prestations du camping.

La direction du camping réalise régulièrement des enquêtes qui lui permettent de disposer des
renseignements suivants :
\begin{itemize}

\item  Dans la région où il est implanté, le camping accueille 45\,\% de clients étrangers et, parmi eux,
83 \,\% déclarent être satisfaits des prestations du camping.
\item 78\,\% des clients français déclarent être satisfaits des prestations du camping.
\end{itemize}

On interroge un client au hasard parmi tous ceux qui ont passé au moins une nuit au camping pendant la
période de l’enquête.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $E$ : le client est étranger.
\item $S$ : le client est satisfait des prestations du camping.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Décrire l’énoncé par un arbre de probabilités.
\item Traduire l’évènement $E\cap S$ par une phrase et calculer la probabilité de l’évènement $E\cap S$.
\item Montrer que $p(S) = 0,8025$
\item On choisit un client satisfait des prestations de ce camping. Est-il plus probable qu’il soit français ou étranger ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Dans cette partie, les résultats numériques seront arrondis à $10^{-4}$ près.

On admet qu’en 2015 la proportion $p$ de clients satisfaits des prestations du camping est de 0,8025.

Suite à la saison 2015, une enquête est réalisée sur un échantillon aléatoire (assimilable à un tirage avec remise) de 180 clients présents au camping en 2016.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence de clients satisfaits pour cet échantillon.

\emph{On rappelle que l’intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$, lorsque la proportion p est connue, est }: 
 

\[ \Bigg[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~ p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigg]\]
 
 
\item Suite à cette enquête, on a noté $151$ clients satisfaits.

Peut-on considérer le fait que la proportion de clients satisfaits est, en 2016, toujours égale à \np{0,8025} ?

Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~240 ] par 

\[f(x) = -\e^{0,016x} + 0,32x + 44.\]

On désigne par  $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ , dans un repère orthogonal, donnée en \textbf{ANNEXE A}.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de [0~;~240 ].
\item  Résoudre sur [0~;~240] l’inéquation $- 0,016\e^{0,016 x} + 0,32 \geqslant 0$. On donnera l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle dont les bornes sont les valeurs exactes, puis approchées si besoin à $10^{-1}$ près.
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer les valeurs exactes de  $f(0)$, $f\left(\dfrac{\ln 20}{0,016}\right)$ puis déterminer les valeurs approchées à $10^{-1}$ près de $f \left(\dfrac{\ln 20}{0,016}\right)$ et de $f(240)$.
\item Déduire des questions précédentes, le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~240].
\end{enumerate}

\item  On donne en \textbf{ANNEXE A} la représentation graphique de la fonction $f$. Résoudre graphiquement

l’équation $f(x) = 80$ . Les valeurs seront arrondies à l’unité avec la précision permise par le graphique et on laissera les traits de construction apparents sur l\textbf{’ANNEXE A (à rendre avec la copie)}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Un institut de recherche agronomique a réalisé une expérimentation sur l'évolution du rendement d'une
variété de blé suivant la quantité d’azote apportée par hectare.

Ce rendement est modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{PARTIE A}, avec $x$ la concentration d'azote exprimée en kg/ha, et $f (x)$ le rendement du blé exprimé en quintaux/ha.

À l'aide des résultats de la \textbf{partie A}, répondre aux questions suivantes (les résultats seront arrondis à l'unité).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le rendement du blé sans aucun apport d'azote ?
\item Décrire l'évolution du rendement suivant la concentration d’azote. Justifier.
\item Selon ce modèle, dans quel intervalle doit se situer la concentration d’azote si l'on souhaite que le rendement soit d'au moins $80$~quintaux/ha et sans apport inutile d'azote ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

\medskip

On pose $\displaystyle I = \int_{1}^{4}g(x)\mathrm{d}x$ avec $g$ définie et dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{2} x$.

On désigne par $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé donné ci-dessous

(unités graphiques: \np[cm]{2}  en abscisses et en ordonnées).


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6.5,5.25)
\multido{\n=+1}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(6.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6.3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.42}{6}{ x 0.5 mul 2  x div add}
\uput[ur](1.5,2){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Justifier, à l’aide du graphique, que $6\leqslant I \leqslant 9$.
\item Calculer la valeur exacte de $I$ .
\item  Déterminer une valeur approchée de $I$ en cm$^2$ arrondie au mm$^2$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Un salarié désire connaître la somme globale qu’il percevra sur dix années de travail dans la même entreprise.

La première année, son salaire annuel était de \np{18 000}~\euro{} et chaque année il augmente de \np{1.2}\,\%.

L’algorithme suivant permet de calculer la somme recherchée :

\begin{center}

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{2em}N entier naturel\\
\hspace{2em}U réel\\
\hspace{2em}S réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{2em}U prend la valeur \np{18 000}\\
\hspace{2em}S prend la valeur \np{18 000}\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{2em}Pour N allant de 1 à 9\\
\hspace{4em}U prend la valeur U*1,012\\
\hspace{4em}S prend la valeur S+U\\
\hspace{2em}Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{2em}Afficher S\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)} qui donne les valeurs de U et S calculées
par l’algorithme.
\item Le salaire annuel peut-il être modélisé par une suite arithmétique ou géométrique ? Justifier.
\item Donner la valeur affichée par cet algorithme.
\item On a modifié l’algorithme ci-dessus de deux façons différentes :
\end{enumerate}

\begin{multicols}{2}
\begin{minipage}{6cm}
Algorithme 1 : 

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{2em}N entier naturel\\
\hspace{2em}U réel\\
\hspace{2em}S réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{2em}U prend la valeur \np{18 000}\\
\hspace{2em}S prend la valeur \np{18 000}\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{2em}Pour N allant de 1 à 9\\
\hspace{4em}U prend la valeur U*1,012\\
\hspace{4em}S prend la valeur S+U\\
\hspace{4em} Afficher S\\
\hspace{2em}Fin Pour\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\columnbreak
\begin{minipage}{6cm}
Algorithme 2 :

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{2em}N entier naturel\\
\hspace{2em}U réel\\
\hspace{2em}S réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{2em}U prend la valeur \np{18 000}\\
\hspace{2em}S prend la valeur \np{18 000}\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{2em}Pour N allant de 1 à 10\\
\hspace{4em}U prend la valeur U*1,012\\
\hspace{4em}S prend la valeur S+U\\
\hspace{2em}Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{2em}Afficher S\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{multicols}

Expliquer, pour chaque algorithme, si ces modifications ont une incidence sur la somme recherchée en
argumentant votre réponse.

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\begin{center}
\psset{xunit=0.06cm,yunit=0.11cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.2,-3)(243,95)
\multido{\n=0+5}{49}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,89)}
 \multido{\n=0+5}{18}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(244,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,,Dy=10,]{->}(0,0)(0,0)(247,89)
\uput[ur](0.5,90){\footnotesize Courbe représentative de la fonction $f$}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{240}{2.71828  x 0.016 mul exp neg x 0.32 mul add 44 add}
\uput [u](25,53){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{2.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill }

\medskip

Les résultats seront arrondis au cent près.
\renewcommand\arraystretch{2}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
N &1			&2 	&3	& 4\\\hline
U &\np{18 216}	&	&	&\\\hline
S &\np{36 216}	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{document}

% Remplacement 2017
% Métropole - Réunion
% BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
% E4 MATHEMATIQUES ET TIM
% Option : STAV
% Durée : 120 minutes
% _____________________________________________________________________________________
% Matériel(s) et document(s) autorisé(s) : Calculatrice
% _____________________________________________________________________________________
% Le sujet comporte 5 pages
% _____________________________________________________________________________________
% L’annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée
% ______________________________________________________________________________________________
% SUJET
