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%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{correction \hspace{5mm}Métropole--Antilles--Guyane--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\ correction \hspace{0.5cm}septembre 2011}}

\bigskip

L'annexe A est à rendre avec la copie 
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip
 
\emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-4}$ près si nécessaire}.

\medskip

Miguel est un basketteur confirmé plutôt adroit aux lancers francs.
 
Après étude de ses performances, son entraîneur a constaté que quand il bénéficie d'une série de deux lancers francs :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Il réussit le premier lancer dans 95\,\% des cas. 
\item[$\bullet~~$] Quand il rate le premier lancer, il rate aussi le deuxième dans 3 cas sur 10. 
\item[$\bullet~~$] Quand il réussit le premier lancer, il réussit aussi le deuxième dans 90\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Au cours d'un match, Miguel bénéficie d'une série de deux lancers francs. On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] F l'évènement : \og Miguel réussit le premier lancer \fg. 
\item[$\bullet~~$] G l'évènement : \og Miguel réussit le deuxième lancer \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'énoncé, écrivons : 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'il réussisse le premier lancer. $p(F)=\np{0.95}$
		\item La probabilité qu'il réussisse le deuxième lancer sachant qu'il a réussi le premier. $P_{F}(G)=\np{0.90}$
	\end{enumerate} 
\item Construisons l'arbre de probabilités, en précisant les probabilités sur chacune des branches. 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}\taput{\small{$\np{0,95}$}}}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{\small{$0,90$}}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{\small{$0,10$}}   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$}\tbput{\small{$0,05$}}}
	  {
		  \TR{$G$}\taput{\small{$0,70$}}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{\small{$0,30$}}  
	  }
	
}
\end{center}
\item La probabilité de voir Miguel réussir les deux lancers est  \[P(F \cap G) = P(F)\times P_{F}(G)=\np{0,95}\times \np{0,90}=\np{0,855}.\] 
\item La probabilité qu'il réussisse le deuxième lancer sachant qu'il a raté le premier est $   P_{\overline{F}}(G)=\np{0,70}.$
\item La probabilité qu'il réussisse le deuxième lancer. \[P(G)=P(F \cap G)+ P(\overline{F}\cap G)= \np{0,855}+\np{0,05} \times \np{0,7}=\np{0,89}\]
\item Son entraîneur est arrivé en retard et voit Miguel réussir le deuxième lancer. La probabilité qu'il ait aussi réussi le premier lancer de la série est  \[P_{F}(G)=\dfrac{P(F \cap G)}{P(G)}=\dfrac{\np{0,855}}{\np{0,89}}\approx \np{0,9608}\]

\medskip

Au cours d'un autre match, il bénéficie de 10 séries de deux lancers francs. On considère qu'il réussit la série quand les deux lancers sont réussis. On admet que les séries sont réalisées de façon indépendante.
 
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de séries réussies. 
\item La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (10;\ \np{0.855}) par conséquent $p(X= k)=\binom{10}{k}(\np{0,855})^k(\np{0.145})^{10-k}$
\item Calculons  la probabilité qu'il réussisse exactement 7 séries. \[p(X=7)=\binom{10}{7}(0,855)^7(\np{0,145})^{3}\approx \np{0,1222}.\]
\item Calculons la probabilité qu'il réussisse au moins une série. L'évènement sera réalisé si l'évènement contraire  ne l'est pas. \[ p(X \geqslant 1)= 1-p(X=0)=1-(\np{0,145})^{10}\approx \np{0,9999}.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  QCM \hfill 4 points}

\medskip 

Ci dessous sont représentées la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
 
$\mathcal{C}$ est tangente à l'axe des abscisses au point A d'abscisse e. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.7)(9.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(9.5,4.5)
\psgrid*[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(9.5,4.5)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.5}{1.6}{3 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.24}{9.5}{2.71828 0.156518 x 1 add mul 2.31304 x 1 add div add exp 3.3 sub}
\uput[l](0.5,2){$T$}\uput[u](8,2){$\mathcal{C}$}\uput[d](2.71828,0){A}
\uput[d](9.3,0){$x$}\uput[l](0,4.3){$y$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{2.71828}{5}{2.71828 0.156518 x 1 add mul 2.31304 x 1 add div add exp 3.3 sub}
\psline(5,0)(2.71828,0)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Les réponses au QCM  sont données en annexe A (à rendre avec la copie).

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = \text{e}^{x - 1} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2(x - 1)}.\]
 

\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $g$ en $- \infty$. 
\[\displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x)=\lim_{x\to -\infty}\text{e}^{x-1}- \frac{1}{2}\lim_{x\to -\infty}\text{e}^{2(x-1)}=0\]
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\text{e}^{x-1} =0$  et $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\text{e}^{2(x-1)}$ car $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\text{e}^{x}=0$. 

En $-\infty$, la courbe est asymptote à l'axe des abscisses.
\item Vérifions que pour tout réel $x,\: g(x) = \text{e}^{x-1} \left(1- \dfrac{1}{2}\text{e}^{x-1}\right)$.  

$\text{e}^{2(x-1)}=\text{e}^{(x-1)^2}=\text{e}^{(x-1)}\times \text{e}^{(x-1)}$. Par conséquent $g(x)=\text{e}^{(x-1)}\left(1-\frac{1}{2}\text{e}^{x-1}\right)$
\[\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{x\to +\infty}\text{e}^{x-1}\times \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{2}(1-\text{e}^{x-1})=-\infty\]

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{x-1} =+\infty$  et $ \displaystyle \lim_{x\to +\infty}1-\text{e}^{(x-1)}=-\infty$ car $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{x}=+\infty$. 
\item Déterminons la fonction dérivée $g^{\prime}$ de $g$.

$g^\prime(x)=\text{e}^{x-1}-\frac{1}{2}(2\text{e}^{2(x-1)})=\text{e}^{x-1} -\text{e}^{2(x-1)}=\text{e}^{x-1}\left(1 - \text{e}^{x-1}\right).$
 
\item Démontrons que $1 - \text{e}^{x-1} \geqslant 0$ pour $x \leqslant 1$. 
\begin{align*}
x&\leqslant 1\\
x-1&\leqslant 0\\
\text{e}^{x-1}&\leqslant \text{e}^0\\
\text{e}^{x-1}&\leqslant 1\\
-\text{e}^{x-1}&\geqslant -1\\
1-\text{e}^{x-1}&\geqslant 0
\end{align*}
\item Déterminons le signe de $g^{\prime}(x)$.  Pour tout $x\in \R \quad \text{e}^{x-1}>0 $ par conséquent $g^{\prime}(x)$ est du signe  de $1 - \text{e}^{x-1}$.

 Si $x<1,\quad 1 - \text{e}^{x-1}>0$ et si $x>1 \quad 1 - \text{e}^{x-1}<0$

Déterminons les variations de la fonction $g$ sur $\R$. 

Si pour tout $x\in I \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est  strictement décroissante sur $I$ .

 Pour tout $x \in ]1~;~+\infty[ \quad g^{\prime}(x)<0$ par conséquent g est  strictement décroissante sur  cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)\> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

 Pour tout  $x\in ]-\infty~;~1[,\quad 1 - \text{e}^{x-1}>0$ par conséquent g est  strictement croissante sur  cet intervalle.


\item Parmi les courbes données en annexe A (à rendre avec la copie), la courbe 2  est une représentation graphique de la fonction $g$. 
\item Soit $G$ la primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[G(x) = \text{e}^{x - 1} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2(x - 1)}.\]

 $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x=G(1)- G(0) =1-\dfrac{1}{4}-(\text{e}^{-1}-\dfrac{1}{4}\text{e}^{-2})=\dfrac{\text{e}^{-2}-4\text{e}^{-1}+3}{4}$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 2 : QCM }

\medskip

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
 
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée sera zéro.

\bigskip
 
Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.
\end{flushleft}
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}(1)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box$~~}X}} 
 1,5& 1\\ 
2& \hspace{-3.5mm}\ding{52}$-2$\\
\end{tabularx}
c'est le coefficient directeur de $T$. Cette droite passe  par($1~;~1)$ et $(0~;~3)$
\medskip 

\item L'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box$~~}X}}  
$y=3x+1,5$& \hspace{-3.5mm}\ding{52}	$ y=-2x+3 $\\
$y=x+3$& 	$ y=2x+3$\\
\end{tabularx}
vérification de la question précédente.
\medskip  
	
	
\item La valeur de $f$(e) est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box$~~}X}} 
0,5& e\\ 
1& \hspace{-3.5mm}\ding{52}0\\
\end{tabularx}
L'axe des abscisses est tangent à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\text{e}$
\medskip  

\item La valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\displaystyle\int_{\text{e}}^5 f(x)\:\text{d}x$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box$~~}X}} 
1,30 	& 2,28\\ 
\hspace{-3.5mm}\ding{52}0,33 	& 5\\
\end{tabularx} 
C'est l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation $x=\text{e}$ et $x=5$. L'aire de 4 carreaux est 1~cm$^2$. L'aire de la partie colorée est inférieure à la moitié.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft} 	
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\psset{unit=0.55cm}\begin{pspicture*}(-4,-2)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-2)(2.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}\uput[d](2.3,0){$x$}\uput[l](0,1.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-4}{2}{2.71828 x  exp 0.5 2.71828 x  2 mul exp mul sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.55cm}\begin{pspicture*}(-4,-2)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-2)(2.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}\uput[d](2.3,0){$x$}\uput[l](0,1.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-4}{2.5}{2.71828 x 1 sub exp 0.5 2.71828 x 1 sub 2 mul exp mul sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.55cm}\begin{pspicture*}(-4,-2)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-2)(2.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}\uput[d](2.3,0){$x$}\uput[l](0,1.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-4}{2}{0.5 2.71828 x 1 sub 2 mul exp mul  2.71828 x 1 sub exp  sub 1 add}
\end{pspicture*}\\
Courbe 1&Courbe 2&Courbe 3\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}