\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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%Original Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Nouvelle Calédonie novembre 2013}}\end{center}

\medskip

\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou
infructueuse, qu’il aura développée.}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip
Une urne contient 16 jetons identiques et indiscernables au toucher : 8 blancs, 6 rouges et 2 jaunes.

L’épreuve consiste à tirer simultanément 3 jetons de l’urne.

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a $560$ tirages possibles.
\item Calculer la probabilité des événements suivants :
\begin{itemize}
\item [] A : \og les trois jetons sont de couleurs différentes \fg{} ;
\item [] B : \og les trois jetons sont de la même couleur \fg{};
\item [] C : \og au moins un des trois jetons est rouge \fg.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\textbf{Exercice 2 : \hfill 11 points}


Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ par :

\[\ln(2x + 1)- \e^{-x}+1      \]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé d’unités graphiques 2 cm.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Démontrer que la limite de $f$ en $-\dfrac{1}{2}$ est égale à $- \infty $. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l’expression de $f^\prime(x)$ pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ . 
		\item Prouver que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$.
		\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
\item \begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs donné en {\textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}}.
		
		\emph {Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.}
		\item Construire la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{T}$ et les éventuelles asymptotes à $\mathcal{C}$.
		\end{enumerate}

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ par 

\[F (x)= \left(x +\dfrac{1}{2}\right)\ln(2x +1) + \e^{-x}.\]

		\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$.
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l’axe des abscisses et les droites
		d’équation $x = 0$ et $x = \dfrac{5}{2}$.
		\item Calculer la valeur exacte de l’aire $A$ de ce domaine, exprimée en unités d’aire.
		\item En déduire la valeur de $A$ en cm$^2$, arrondie au cm$^2$ près.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

Une usine fabrique des toiles de pergola. Ces toiles peuvent présenter deux types de défauts :
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] Un défaut de couleur de la toile ;
\item[$\bullet$] un défaut d’étanchéité de la toile.
\end{itemize}

Sur un lot de 200 toiles, on obtient les résultats suivants :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.4cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Présente un défaut d’étanchéité& Ne présente pas de défaut d’étanchéité& Total\\\hline
Présente un défaut de couleur& 8 &8& 16\\\hline
Ne présente pas de défaut de couleur&4 &180& 184\\\hline
Total& 12& 188& 200\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On admet que la répartition des deux types de défauts observée sur ce lot est identique en proportion à
celle de l’ensemble de la production.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On prélève une toile au hasard dans la production.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que cette toile présente les deux défauts.
\item Sachant que la toile présente un défaut de couleur, calculer la probabilité qu’elle présente aussi un défaut d’étanchéité.
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Le coût de fabrication d’une toile est de 100 \euro. Toutes les toiles sont garanties et en cas de défaut, cette
garantie permet au client de faire réparer la toile aux frais du fabricant.
Les frais de réparation sont les suivants :

\smallskip

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 50~\euro{} pour un défaut de couleur uniquement ;
\item [$\bullet$] 70~\euro{} pour un défaut d’étanchéité uniquement ;
\item [$\bullet$] 80~\euro{} pour les deux défauts.
\end{itemize}

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque toile prélevée au hasard dans la production, associe son prix
de revient, c'est-à-dire son coût de fabrication augmenté éventuellement des frais de réparation.
\begin{enumerate}
\item  Préciser les valeurs prises par $X$.
\item En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau donné en \textbf{annexe A}.
Les probabilités seront données sous la forme de fractions dont le dénominateur est égal à 200.
\item Calculer la valeur exacte de l’espérance de $X$ notée $E(X)$.

Que représente cette valeur pour le fabricant ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie) }
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{4. a.} Tableau de valeurs

Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{tabular}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash} m{0.975cm}|}}
\hline
$x$ & $- 0,4$& $- 0,3$& $- 0,2$& $0$& $1$& $2$ &$3$& $4$& $5$& $6$\\\hline
$f(x)$&  & &&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}

\vspace{3cm}


\textbf{\textsc{Exercice 3} \hspace{1em}PARTIE B}

\smallskip

\textbf{2}. Loi de probabilité de $X$

Les probabilités seront données sous la forme de fractions dont le dénominateur est égal à $200$.

\smallskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.95}
\begin{tabular}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash} m{2.5cm}|}}
\hline
$x_i$ &100& 150&&\\\hline
$P(X_i)$&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage 

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(17.15,25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=10](17,25)
\end{pspicture}
\end{document}






