\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox,multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2.7cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STAV},
pdftitle = {STAV Nouvelle-Calédonie novembre 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{ Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Nouvelle-Calédonie novembre 2015}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Pour équiper une de ses serres en système d’arrosage \og goutte à goutte\fg, une personne prend des
renseignements concernant des goutteurs auprès d’un fournisseur de matériel de jardinage.

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.}

\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près si nécessaire.}

\medskip

\textbf{Partie \no 1 :}
\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire égale au débit, en litre par heure, d’un goutteur.

On admet que $X$ est distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu= 2$ et d’écart type $\sigma= 0,3$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité que le débit en $\text{L.h}^{-1}$ d’un goutteur pris au hasard soit compris entre 1,4 et 2,6 ?
\item Un goutteur est dit défectueux si son débit est inférieur à 1,4  $\text{L.h}^{-1}$.

Déterminer la probabilité qu’un goutteur pris au hasard soit défectueux ?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie \no 2 :}
\medskip

La personne décide d’acheter 50 goutteurs.

On suppose le stock du fournisseur suffisamment important pour que le choix puisse être assimilé à un
tirage successif avec remise.

On admet que la probabilité qu’un goutteur soit défectueux est égale à 0,023.

On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de goutteurs défectueux parmi les 50.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la loi de probabilité de $Y$ est binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,023$.
\item Calculer la probabilité qu’aucun goutteur ne soit défectueux.
\item Calculer la probabilité qu’au moins 2 goutteurs soient défectueux.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d’une fonction
$f$ dérivable sur $\R$ ;
\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-6.8,-3)(2.6,4)
\multido{\n=-6+1}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](\n,-2.5)(\n,3.5)}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](-6.5,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6.5,-2.5)(2.5,3.5)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.2,1.95)(-6,1.9)(-5,1.8)(-4,1.65)(-3,1.56)(-2.5,1.5)(-2,1.57)(-1,2)(0,3)(0.5,3.3)(1,2)(1.2,0)(1.5,-2.5)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-6.8}{2.6}{2 x 3 exp 3 div x dup mul 2 div add 0.96 x mul sub 0.085 sub 2.71828 x exp mul 10 mul  sub}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-6.8}{2.6}{2 x 3 exp 3 div x dup mul 2 div add 1.25 x mul sub 0.0333 sub 2.71828 x exp mul 1.2 mul sub}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6.8}{2.6}{2 x 3 exp 3 div x dup mul 2 div add 1.25 x mul sub 0.1468 sub 6.811 mul  2.71828 x exp mul sub}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-6.8}{2.6}{3 x 3 exp 4 mul x dup mul 12 mul add 15 x mul sub    2.71828 x 1.4 mul exp mul   sub}
\psbezier[linecolor=blue](-6.5,1.92)(-5,1.8)(-4,1.6)(-2.5,1.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,1.5)(-2,1.58)(-1,2)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,2)(-0.5,2.4)(0,3)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,3)(0.5,3.3)(0.72,3.15)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.72,3.15)(1.15,2.2)(1.26,-1)(1.5,-2.5)
\uput[u](-2.5,1.5){A}\uput[u](0.5,3.3){B}\uput[u](-6.2,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots[dotstyle=*](-2.5,1.5)(0.5,3.3)
\psline[linewidth=1pt](-4,1.5)(-1,1.5)\psline[linewidth=1pt](-1,3.3)(2,3.3)
\uput[dr](-4,1.5){$\mathcal{T}$}\uput[dr](-1,3.3){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

La droite $\mathcal{T}$ est tangente à ($\mathcal{C}$) au point A. La droite $\mathcal{D}$ est tangente à ($\mathcal{C}$) au point B.

Les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

La droite d’équation $y = 2$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $-\infty$.

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}. Justifier vos réponses.

Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point. Une réponse inexacte n’enlève pas de point.

\vspace{0.25cm}

\begin{description}
\item[Proposition 1 :] L’ensemble des solutions de l’inéquation $f (x) > 2$ est $[-1~;~0]$.
\item[Proposition 2 :] L’équation $f'(x)=0$ admet une seule solution sur $\R$.
\item[Proposition 3 :] $\displaystyle \int_{-2}^0 f(x )\mathrm{d}x \geqslant 3$.
\item[Proposition 4 :] $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=2 $.
\end{description}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

\medskip

Lors de la première insémination artificielle, on considère que la proportion de vaches fécondées est de 65\,\%.

Dans une exploitation, sur un échantillon de 120 vaches, 72 ont été fécondées dès la première insémination.

On suppose la population assez grande pour assimiler cet échantillon à un tirage effectué avec remise.

\smallskip
\textbf{On rappelle que :}

Pour une proportion connue $p$ dans une population, l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 d’une
fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est
\[\Bigg[p-1,96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigg] .\]

\smallskip 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence des vaches fécondées pour un
échantillon de taille 120, les bornes étant arrondies à $10^{-3}$ près.
\item  Le résultat de la fréquence observée sur l’échantillon de vaches fécondées est-il en contradiction avec la
proportion théorique $p = 0,65$ annoncée ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$ par : 

\[g(x) =\ln(2x + 3) - 3x +1.\]
On note $(\mathcal{C}_g)$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $g(3)$ et démontrer que $g(3)=2\ln 3- 8$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $-\dfrac{3}{2}$  et interpréter graphiquement ce résultat.
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$  de la fonction $g$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$ 
puis montrer que pour tout $x$ appartenant $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$, $g'(x)=\dfrac{-6x-7}{2x+3}$.

\item \begin{enumerate}
\item  Étudier le signe de $g'(x)$ .
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche ou d’initiative sera prise en compte.}

Résoudre par la méthode de votre choix (par le calcul ou à l’aide de la calculatrice) et en détaillant votre
démarche l’équation $g(x)=-3x+1$.
\end{enumerate}

\end{document}