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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{Novembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Nouvelle Calédonie Novembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}


 Le sujet comporte \pageref{LastPage} pages
 
\medskip
 Les  annexes A, B et C sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées

\vspace{1cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 1 :\hfill (6 points)}

\bigskip

\textbf{Les résultats seront donnés à l’entier près.}

\medskip

Depuis le dernier mondial, le nombre de licenciées en football féminin est en hausse annuelle de
15\,\% par an. On considère dans cet exercice que cela restera désormais vrai chaque année.

\medskip

En 2019, en France, il y avait \np{184 228} licenciées femmes.

(\emph{Source :} www.mouv.fr)

\medskip

Pour tout entier $n$, on note $u_n$, le nombre de licenciées femmes en France l’année $2019+ n$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item Donner la valeur de $u_0$.
\item Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat.
\item Donner la nature de la suite ($u_n$) , puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Par la méthode de votre choix que vous expliquerez, donner le nombre de licenciées
femmes que l’on peut espérer en France en 2026.
\end{enumerate}
\item La FFF (Fédération Française de Football) espère atteindre la barre des 1 million de
licenciées femmes d’ici 2031.
\begin{enumerate}
\item Compléter l’algorithme donné en \textbf{Annexe A (à rendre avec la copie après avoir été
numérotée)}, qui permet, à la fin de son exécution, de déterminer la valeur \textbf{N} pour laquelle
la barre des 1 million de licenciées femmes est atteinte.
\item  L’algorithme donne \textbf{N=13}. En déduire si la FFF atteindra ses objectifs.
\item Par la méthode de votre choix que vous justifierez, donner la valeur, arrondie à $10^{-1}$ près,
du pourcentage de hausse annuelle constant à planifier pour que la FFF atteigne ses
objectifs en 2031.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 2 :\hfill (5 points)}

\bigskip


\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à } \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath\textbf{près}.

\medskip

On s’intéresse au volume annuel de lait produit, en litres, par une brebis dans un troupeau.

Pour une brebis prélevée au hasard, ce volume est une variable aléatoire $X$ distribuée selon la loi
normale de moyenne \textmu = 119 et d’écart type \textsigma= 19.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $P(100\leqslant X \leqslant 138)$.

 Interpréter la valeur obtenue dans le contexte de l’exercice.
\item Déterminer la probabilité qu’une brebis prélevée au hasard dans le troupeau produise
moins de $100$ litres de lait par an.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère, pour la suite de l’exercice, que la probabilité de prélever au hasard une brebis qui
produise moins de $100$ litres de lait par an est 0,16.

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans un élevage de brebis, on prélève un échantillon de $56$ brebis. Le nombre de brebis
est suffisamment important pour que le choix puisse être assimilé à un tirage successif avec
remise.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de brebis qui produisent moins de 100 litres
de lait par an parmi les 56 brebis.
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que la loi de probabilité de $Y$ suit la loi binomiale, dont vous préciserez les
paramètres.
\item  Déterminer la probabilité qu’il y ait strictement moins de 6 brebis produisant moins de
\np{100} litres par an.
\item Les brebis qui produisent moins de $100$ litres de lait par an sont destinées à la vente.

Donner le nombre de brebis de cet échantillon que l’éleveur peut espérer vendre.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 3 :\hfill (5 points)}

\bigskip


Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-x}}\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}

\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement.

\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$.
\item  En déduire le sens de variation de $f$.
\end{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs en \textbf{Annexe B (à rendre avec la copie après avoir été
numérotée)}.
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère orthogonal \Oij  donné en
\textbf{Annexe B}.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}


\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 4 :\hfill (4 points)}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple, donné en \textbf{Annexe C (à rendre avec la copie
après en avoir numéroté la feuille)}.

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève et
n’ajoute pas de point.

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.

\vspace{1.5cm}

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
U réel, \textbf{N} entier\\
U prend la valeur \np{184 228}\\
\textbf{N} prend la valeur 0\\
\hspace{2em}Tant que ................. faire\\
\hspace{2em}U prend la valeur ............\\
\textbf{N} prend la valeur \textbf{N}+1\\
Fin tant que\\
Afficher \textbf{N} \\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\bigskip

\textbf{Les résultats seront donnés à } \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \textbf{près}.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$		& $-4$	& $-2$ 	&$-1,5$	&$-0,5$	&$0$ 	&$0,5$	&$1$ 	&$2$& $4$\\\hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		&	&\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip

%\hspace{-2cm}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=6.cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(7,1.3)
\multido{\n=-5.2+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-0.16)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.16+0.04}{34}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-5.2,\n)(6.2,\n)}
\multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-0.16)(\n,1.2)}
\multido{\n=0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=gray](-5.2,\n)(6.2,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,]{->}(0,0)(-5.4,-0.16)(6.3,1.2)
\rput(0.1,1){J} \rput(1,0.03){\textbf{I}}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{ANNEXE C  (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Un biologiste réalise une étude sur le nombre de souriceaux par portée des souris d’un
laboratoire. L’étude a été effectuée sur 72 souris.

\medskip

\begin{tabular}{|m{3.45cm}|*{6}c|}
\hline
Nombre de souriceaux
par portée 	&5	& 6& 7 &8	& 9 &10\\\hline
Effectif 	&7 	&12&22 &19 	&8	& 4\\\hline
\end{tabular}

\medskip

\hspace{-1.21cm}
 \begin{tabularx}{1.085\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\Box$~~ La moyenne est 7,5	&$\Box$~~L’écart type est environ 1,7& $\Box$~~ L’écart type est environ 1,3\\ 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}
     

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{4}{3}~;~+\infty\right[$  par $f(x) = \ln(3x - 4)$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse 2 est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
$\Box~~ y = \frac{3}{2 } x - 3 + \ln 2$	&$\Box~~y = \ln [2(x - 2)] + \frac{1}{2}$\\
$\Box~~y = 2x- 4 + \ln 2$ & $\Box$~~aucune des réponses précédentes\\ 
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
  





%ANNEXE C – suite et fin (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) 


\item Soit l’arbre de probabilité :

\bigskip

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N$~}\taput{$\np{0.4}$}}
	{
	\TR{$M$}\taput{$\np{0.2}$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\np{0.8}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{$\np{0.6}$}}
	{\TR{$M$}\taput{$\np{0.25}$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\np{0.75}$}
	}
}

\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\Box~~ P(M) = 0,45$	&$\Box~~P(M) = 0,23 $& $\Box~~P(M) = 1,55$&$\Box~~P_M(N) = 0,2$ \\ 
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\item Donner la valeur exacte de l’intégrale $\displaystyle \int_0^2 \e^{-2x}\mathrm{d}x$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X p{6.2cm}}
$\Box$~~0,49 	&$\Box~~\e^{-4} -1 $& $\Box~~\frac{ 1}{2}-\frac{1}{2}\e^{-4}$& $\Box$~~  aucune des réponses précédentes\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}

2020-BAC31-NOR-NC 1/7
SESSION 2020
Nouvelle-Calédonie
BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
E4 MATHS ET TECHNO INFORMATIQUE ET MULTIMÉDIA
Série : STAV
Durée : 120 minutes
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