\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox,multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl,pst-func,pst-math,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STAV},
pdftitle = {STAV Métropole-La Réunion septembre 2019},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\text{e}}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Métropole--La Réunion septembre 2019}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{Les annexes A, B et C sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple, donné en \textbf{annexe A }(à rendre avec la copie après avoir
été numérotée). 

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point, \textbf{une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de
point.}

Cocher, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près si nécessaire.}

Dans un verger, on a planté deux variétés anciennes d’abricotiers : la variété Ampuis et la variété Beaugé.

Pour la commercialisation des abricots, le diamètre du fruit doit être supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}.

On a constaté que :

\begin{itemize}
\item 35\,\% des abricots sont de la variété Ampuis.
\item Parmi les abricots de la variété Ampuis, 75\,\% ont un diamètre supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}.
\item Parmi les abricots de la variété Beaugé, 65\,\% ont un diamètre supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}.
\end{itemize}

 On choisit un abricot au hasard. On considère les évènements suivants :
 \begin{description}
\item[] $A$ : \og l’abricot choisi est de la variété Ampuis \fg.
\item[] $C$ : \og l’abricot choisi a un diamètre supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}\fg.
\end{description}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire cette situation à l’aide d’un arbre pondéré de probabilités.
\item Calculer $p\left(A\cap \overline{C}\right)$ .
\item Montrer que $p\left(\overline{C}\right) = 0,315$.
\item Sachant que l’abricot choisi a un diamètre inférieur à \np[cm]{2,5}, calculer la probabilité que l’abricot
soit de la variété Ampuis.
\item Prouver que les évènements $A$ et $\overline{C}$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On prélève dans la population d’abricots, au hasard et successivement, 25 abricots. La population est assez
grande pour que ces prélèvements soient considérés comme indépendants les uns des autres.

La probabilité qu’un abricot ne soit pas commercialisable est de 0,315 .

Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre d'abricots non commercialisables.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $X$ est distribuée selon une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu’exactement 4 abricots ne soient pas commercialisables.
\item Calculer $\E(X)$ puis interpréter le résultat obtenu dans le contexte de cet exercice.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

Dans un bassin naturel, le lagunage peut être assuré par des plantes épuratives telles que la jacinthe d’eau.

Un test a été réalisé dans un bassin naturel : le premier jour de chaque mois, on mesure la concentration
d’algues vertes dans ce bassin. Au 1\up{er} janvier 2018, la concentration est de \np[mg/L]{102}. On a introduit à cette
même date des jacinthes d’eau. La concentration diminue tous les mois de 3\,\%.

On appelle  $u_n$ la concentration en algues vertes $n$ mois après l’introduction des jacinthes d’eau.

On a donc  $u_0 =102$  .

\begin{enumerate}
\item  Calculer la concentration d’algues vertes dans ce bassin au 1\up{er} février 2018.
\item Justifier que  $u_n =102\times 0,97^{n}$.

\item On estime que l'objectif est atteint par le lagunage quand la concentration en algues vertes est
strictement inférieure à \np[mg/L]{80}.

Compléter l’algorithme fourni en \textbf{annexe B }(à rendre avec la copie après avoir été numérotée)
qui détermine le nombre de mois nécessaires pour que le lagunage atteigne l'objectif pour ce bassin.
\item Déterminer la date ainsi obtenue pour atteindre l'objectif par la méthode de votre choix que vous
expliquerez.
\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

Un laboratoire teste l’efficacité d’un nouveau désodorisant d'intérieur bio, à diffusion lente, fabriqué avec
99,9\,\% de produits naturels. La fonction $g$ modélise le taux d’efficacité du désodorisant (en pourcentage)
en fonction du temps $t$ exprimé en heures.

$g$ est définie sur [0~;~24] par 

\[g(t)= 50 t \e^{-0,5t+1}.\]

\begin{enumerate}
\item  La courbe  $C_g$ , donnée en \textbf{ annexe C }(à rendre avec la copie après avoir été numérotée) est la
représentation graphique de $g$ dans un repère orthogonal. À l’aide de cette courbe, sur
laquelle les traits de construction resteront apparents :
		\begin{enumerate}
		\item  Déterminer au bout de combien de temps le taux d'efficacité est maximal.
		Donner alors sa valeur.
		\item Le désodorisant est considéré comme efficace lorsque le taux d’efficacité est supérieur ou égal
		à 40\,\%. Il est commercialisable lorsqu'il est considéré comme efficace pendant 5 heures
		et demie ou plus.

		Vérifier si ces deux conditions sont réalisées et donc si le désodorisant est commercialisable.
		\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $t$ appartenant à l’intervalle [0~;~24], $g '(t)= (50 - 25t)\e^{-0,5t+1}$ .
		\item  Étudier le signe de $g'(t)$ .
		\item  Construire le tableau de variation de $g$ sur [0~;~24].
		\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
		\item  Calculer $g( 0,5 )$ puis $g( 6 )$. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.
		\item Justifier alors, par le calcul, que les deux conditions données à la question \textbf{1.~ b.} sont bien
		réalisées.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]- 2~;~+\infty[$ dont les variations sont données
dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(8,3)
\psframe(-1,0)(8,3)
\psline(1,0)(1,3) \psline(-1,2.5)(8,2.5) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)
\uput[u](-0.25,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$-2$} \uput[u](3.15,2.45){$-1$} \uput[u](5.75,2.45){$4$} \uput[ul](7.75,2.45){$+\infty$}
\rput(-0.25,1.5){Variation}\rput(-0.25,1){de $f$}
\uput[ur](1,0.25){$-\infty $}\uput[u](3.185,2){$3$}\uput[u](5.75,0.25){$-1$}\uput[u](7.42,2){$+\infty$}
\psline{->}(1.75,0.5)(3.1,2.15) \psline{->}(3.3,2.15)(5.35,0.65)\psline{->}(5.95,0.65)(7.3,2.15)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}
\begin{center}

\textbf{QCM à compléter :}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La valeur de $f '( -1)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $3$ &$\square$~~ $4$&$\square$~~$0$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}
\item La courbe représentative de $f$ admet pour asymptote la droite d’équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $x = -1$ &$\square$~~ $y = 3$&$\square$~~$x = -2$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}

\item Le nombre de solution(s) de l’équation $f(x)= 0$ dans l’intervalle $] - 2~;~+\infty[$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $0$ &$\square$~~ $1$&$\square$~~$3$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}

\item  Dans l’intervalle $] - 2~;~+\infty[$ , l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x) \leqslant 0 $ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $] - \infty~;~0]$ &$\square$~~$[-1~;~3]$  &$\square$~~$[-1~;~4]$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}

\textbf{ANNEXE B} (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\begin{center}
Algorithme:

\begin{tabular}{|ll|}
\hline
~&\\
Variables :& N est de type nombre entier\\
&U est de type nombre réel\\
~&\\
Initialisation :& N prend la valeur 0\\
&U prend la valeur \dotfill\\
~&\\
Traitement :& Tant que U $\geqslant 80$\\
&N prend la valeur N + 1\\
&U prend la valeur \dotfill\\
&Fin Tant que\\
~&\\
Sortie :& Afficher N\\
~&\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE C} (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\begin{center}

Courbe  $C_g$


\psset{xunit=0.78cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-10)(17,130)
\multido{\n=0+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-5)(\n,110)}
\multido{\n=-5+5}{24}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.7,\n)(16.70,\n)}
% \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-4000)(\n,16000)}
% \multido{\n=-4000+1000}{21}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,]{->}(0,0)(0,0)(16.68,110)
\def\Func{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add  exp x 50 mul mul }
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{\Func}
 \uput[dl](16.5,-4){ temps en heures}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](0,100){Taux d'efficacité(\%)} 
\end{pspicture}
\end{center}




























\end{document}







