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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, La Réunion}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Métropole-Antilles-Guyane-La Réunion  juin 2014}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes.

 \medskip 
 
\textbf{PARTIE A }

\medskip

On souhaite implanter un parc éolien dans une région et pour cela on réalise un sondage sur la population 
proche. 

Les résultats obtenus sont les suivants : 

\begin{itemize}
\item  60\,\% de la population interrogée est contre l'implantation de ce parc éolien dans leur région et parmi 
eux 25\,\% se définissent écologistes. 
\item  Parmi la population interrogée favorable à l'implantation de ce parc, 10\,\% se définissent écologistes. 
\end{itemize}

On interroge au hasard une personne issue de cette population. 

On note $F$ l'évènement \og la personne interrogée est favorable à l'implantation de ce parc éolien\fg. 

On note $E$ l'évènement \og la personne interrogée se définit écologiste\fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation avec un arbre de probabilités, en précisant sur chaque branche la valeur des 
probabilités. 
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée se définisse écologiste et soit contre l'implantation du 
parc éolien dans sa région. 
\item Montrer que $p(E) = 0,19$. 
\item Calculer $p_{E}\left(\overline{F}\right)$ (on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près) et donner la signification du résultat 
obtenu dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On s'intéresse à la rentabilité énergétique d'un parc d'éoliennes dans une région. 

Les relevés météorologiques sur une année montrent que la probabilité d'avoir des conditions optimales de fonctionnement de ce parc est de 0,45. 

On admettra que les conditions météorologiques sont indépendantes d'une année sur l'autre. 

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'années pour lesquelles ces conditions optimales de fonctionnement sont réunies sur une période de 10 ans. 

\emph{Tous les résultats numériques seront arrondis à $10^{-3}$ près}. 


\begin{enumerate}
\item  Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,45$. 
\item Calculer la probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc ne soient jamais 
atteintes durant cette période. 
\item Calculer la probabilité pour que les conditions optimales de fonctionnement de ce parc soient atteintes au 
moins deux années durant cette période. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels. 

Le plan étant muni d'un repère orthonormé, on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative et $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au 
point d'abscisse 0. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ n'admet que deux tangentes horizontales, l'une en A et l'autre en B, et la droite d'équation 
$y = - 1$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-12,-3)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-10.8,-3)(3.6,5.8)
\multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-10.8,\n)(3.1,\n)}
\multido{\n=-10+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](\n,-3.1)(\n,5.2)}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-10.8,-0.4)(-10,-0.2)(-9,0.1)(-8,0.5)(-7,0.95)(-6,1.5)(-5,2)(-4,2.38)(-3.5,2.46)(-3,2.5)(-2.5,2.48)(-2,2.35)(-1.5,2.05)(-1,1.45)(-0.5,0.72)(0,0)(1,-1)(1.5,-0.55)(1.7,0)(2,1.9)(2.25,4)(2.35,5)(2.45,5.7)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-10.8}{2.45}{x 3 exp 5 div  x dup mul  add 3 x mul sub 1 add  2.71828 4 x mul  4 sub 11 div exp mul 1.1 mul}
%\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-10.8}{2.45}{ x dup mul 1.476 mul   5.384 x mul add   2.71828 12 x mul  3 sub 8 div exp mul 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3.7}{2.1}{x 1.5 mul neg}
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale=1.2](1,-1)(-3,2.5)
\uput[d](1,-1){B}\uput[u](-3,2.5){A}
\psline[linewidth=0.2pt,arrowsize=3pt 4]{<->}(-4,2.5)(-2,2.5)\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(0,-1)(2,-1)
\uput[ur](-3.5,5){\blue $(T)$}\uput[d](-10.5,-0.35){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide de cette représentation graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes en expliquant votre démarche. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$. 
\item Déterminer $f'(0)$. 
\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
\item On note $\displaystyle I = \int_{-4}^{-1}f(x)\mathrm{d}x$. Montrer que $5 \leqslant I \leqslant 9$. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  9 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~3] par 
\[ g(x)=\dfrac{1}{2}x^2 +x-2\ln(x).\] 
 
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $g$ en 0 et interpréter graphiquement ce résultat. 
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de la fonction dérivée de $g$. 
		\item Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle ]0~;~3], $g'(x)$ est du signe de $x^2 + x - 2$. 
		\item Résoudre l'équation $x^2 + x - 2 = 0$ dans ]0~;~3]. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur ]0~;~3].
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs présenté en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)} en arrondissant 
les résultats à $10^{-1}$ près. 
\item Tracer sur le papier millimétré joint (à rendre avec la copie), la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la 
fonction $g$ dans un repère orthonormé d'unité graphique \np[cm]{2}. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Vérifier que la fonction $G$ définie par $G( x) = \dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^2}{2} + 2x - 2x \ln(x)$ est une primitive de la fonction 
$g$ sur]0~;~3]. 
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle \int_1^2 g(x)\mathrm{d}x$. Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-1}$ près. 
\item Interpréter géométriquement cette intégrale. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{{\large {Annexe A }}(à compléter et à rendre avec la copie)}\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}
\begin{center}
Tableau de valeurs
\end{center}

\medskip

\emph {Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-1}$ près}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$		&\np{0.25}	&\np{0.5}	&\np{0.75}	&1	&2	&\np{2.5}	&3\\\hline
$g(x)$	&			&			&			&	&	&			&\\\hline
\end{tabularx}
\end{document}