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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Métropole Réunion juin 2022}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}


 Le sujet comporte \pageref{LastPage} pages
 
\medskip
\textbf{ L’annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée}
\vspace{1cm}

\textbf{\large \textsc{ Exercice} 1 :\hfill (6 points)}

\medskip

\textbf{Pour cet exercice, les valeurs seront arrondies, si nécessaire, à $\mathbf{ 10^{-2}}$ près.}

\medskip

On a suivi depuis 2004 l’évolution de la part des exploitations bio dans l’ensemble des exploitations agricoles.

On a obtenu les valeurs suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année& 2004							& 2013& 2014& 2015& 2016& 2017& 2018& 2019\\\hline
$X$ : Rang de l’année  				&0&9&10&11&12&13&14&15\\\hline
$Y$ : Part des exploitations bio 
dans l’ensemble des exploitations
 agricoles (en \%)  & 1,78& 5,34& 5,79 &6,33& 7,09& 8,06& 9,14& 10,36\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

$X$ désigne le rang de l’année par rapport à l’année 2004.

$Y$ désigne la part des exploitations bio dans l’ensemble des exploitations en pourcentage.

\medskip

\textbf{\large Partie A}

\medskip

On donne le nuage de points représentant cette série.

Dans un premier temps, on décide d’effectuer un ajustement affine. Une droite d’ajustement du nuage de point est tracée \og au jugé \fg.

\begin{center}
\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.55cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-2,-0.6)(22,12)
\multido{\n=-2+0.5}{49}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,12)}
\multido{\n=0+0.50}{25}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2]{->}(0,0)(-2,-0.4)(22,12)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,1.78)(9,5.34)(10,5.79)(11,6.33)(12,7.09)(13,8.06)(14,9.14)(15,10.36)
\uput[dl](0,12){\footnotesize $Y$ en \%}
\uput[d](20,-0.6){\footnotesize Rang du mois}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{20.5}{x 0.54 mul 1.1 add}
\uput[ul](0,1.1){A} \uput[ul](10,6.5){B}
\psdots[dotstyle= +,dotscale =1.6,dotangle=45,linecolor=red](0,1.1)(10,6.5)
\end{pspicture}

\end{center}


\begin{enumerate}
\item  Les points A(0 ; 1,1) et B(10 ; 6,5) appartiennent à cette droite d’ajustement.

Déterminer l’équation réduite de la droite (AB).
\item En utilisant la droite (AB), estimer la valeur, en pourcentage, de la part des exploitations agricoles bio en 2020.
\item En réalité, en 2020 les exploitations bio représentaient 12,4\,\% des exploitations agricoles. Ce modèle semble-t-il adapté ? Expliquer.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B }

\medskip

Finalement, au vu du graphique, on décide d’effectuer un ajustement exponentiel. Pour cela, on utilise le changement de variable : $Z = \ln(Y)$


\begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau de valeurs en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie après avoir été numérotée).}
\item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $Z$ en $X$ par la méthode des moindres carrés.
\item À l’aide de l’équation précédente, justifier que : $Y = 1,8\,\e^{0,12X}$ .
\item Estimer, à l’aide de cet ajustement, la part des exploitations bio en 2020.
\item En supposant que le modèle reste valable après 2020, déterminer à partir de quelle année la part des exploitations bio dépassera 50\,\% du total des exploitations agricoles. Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\large Partie C}

\medskip

On propose les fonctions suivantes écrites en Python :
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}\hline
from math import exp\\
\\
 def f(x):\\
\phantom{defx}y=1.8*exp(0.12*x) \\
\phantom{defx}return y\\
\\
 def seuil(S):\\
\phantom{defx} x=0\\
\phantom{defx} while f(x)<S:\\
\phantom{defx}x=x+1\\
\phantom{defx}return x\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Expliquer le rôle de la fonction seuil.
\item seuil(50) retourne 28. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 2 :\hfill (6 points)}

\medskip

Une enquête est réalisée sur l’origine des aliments de la consommation française.
En 2019, on constate que 20\,\% des aliments sont issus des importations.

D’autre part :
\begin{itemize}
\item  6\,\% de cette consommation est constituée de produits bio. 
 \item Parmi les produits bio, 33 \,\% sont importés. 
\item  Parmi les produits importés, 9,9 \,\% sont bio.
 \end{itemize}
 
On note les évènements suivants :

\begin{description}
\item[] $I$ : \og le produit alimentaire est issu de l’importation \fg.
 \item[] $B$ : \og le produit alimentaire est bio \fg.
 \end{description}
 \begin{enumerate}
\item  À l’aide des données de l’énoncé, indiquer la valeur des probabilités suivantes : $p(I)$ ; $p(B)$ ; $p_I(B)$ et $p_B(I)$.
\item Compléter les trois champs rectangulaires sur l’arbre de probabilités en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie après avoir été numérotée)}.
\item Justifier que la probabilité qu’un produit alimentaire soit bio et issu de l’importation est égale à 0,0198.

\item Justifier que $p(\overline{I}\cap B)=0,0402$.
\item Sachant qu’un produit n’est pas importé, calculer la probabilité qu’il soit bio.
\item Les évènements $I$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 3 :\hfill (3 points)}

\medskip

Lors de la conversion d’une exploitation traditionnelle en agriculture bio, pour les grandes cul\-tures, une période de transition de deux ans est imposée avant de pouvoir vendre
 sa production sous le label bio.

Ces deux ans sont en général nécessaires pour permettre au sol d’éliminer les produits phytosanitaires.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ qui modélise l’évolution de la concentration en polluants dans l’eau du sol (concentration exprimée en µg de polluants par litre d’eau du sol).

À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant les valeurs à l’unité :

\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-9)(29,120)
\multido{\n=0+5}{23}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(29,\n)}
\multido{\n=0+2}{15}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,115)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(29,120)
\uput[u](26,0){temps en mois}\uput[r](0,115){concentration ($\mu$g/L)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{29}{25 x mul 2.71828 1 x  4 div sub exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{courbe_exo3_2022}
\begin{enumerate}
\item  Donner la valeur de $f(10)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0; 24].

\item On considère que le sol n’est plus pollué lorsque la concentration en polluants est inférieure à  5\,µg par litre d’eau du sol. Expliquer, en détaillant votre démarche, pourquoi une période de transition de 2 ans est dans ce cas pertinente.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 4 :\hfill (5 points)}

\medskip
 
En 2019, les produits bio ont généré un chiffre d’affaires de \np{11 933} en millions d’euros. En observant les changements dans les habitudes de consommation, on estime que ce chiffre d’affaires, à partir de 2019, augmentera de 15\,\% par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ le chiffre d’affaires en millions d’euros des produits bio de l’année $2019 + n$.

On a donc $\mathcal{C}_0=\np{11933}$.


On élabore la feuille de calcul ci-contre :

\renewcommand\arraystretch{1.05}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{lightgray}}c|*{3}{m{1.5cm}|}}\hline
\rowcolor{lightgray}
&\centering {A}&\centering{B}&\centering{C}\tabularnewline \hline
1&n& Cn&  \\\hline
2&\raggedleft{0}&\raggedleft{\np{11933}}&Faux\\\hline
3&\raggedleft{1}&&\\\hline
4&\raggedleft{2}&&\\\hline
5&\raggedleft{3}&&\\\hline
6&\raggedleft{4}&&\\\hline
7&\raggedleft{5}&&\\\hline
8&\raggedleft{6}&&\\\hline
9&\raggedleft{7}&&\\\hline
10&\raggedleft{8}&&\\\hline
11&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Indiquer sur votre copie la formule à saisir dans la cellule B3 puis à recopier vers le bas pour calculer les termes de la suite $(\mathcal{C}_n)$.
\item Déterminer la valeur de $\mathcal{C}_1$ puis de $\mathcal{C}_2$.
\item Donner la nature de la suite $(\mathcal{C}_n)$. Justifier.
\item Exprimer $\mathcal{C}_n$ en fonction de $n$.
\item Afin de déterminer en quelle année le chiffre d’affaires des produits bio dépassera \np{30 000} millions d’euros, on a effectué un test logique sur la feuille de calcul précédente :
\begin{enumerate}
\item  Indiquer la formule à saisir en C2 qui, recopiée vers le bas, indique « VRAI » quand le chiffre d’affaires des produits bio dépasse \np{30 000} millions d’euros et FAUX sinon.
\item Par la méthode de votre choix, indiquer à partir de quelle année ce chiffre d’affaires dépassera \np{30 000} millions d’euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage


\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 1}
\medskip

\textbf{\large Partie B}

\medskip

\textbf{Question 1} (Arrondir à $10^{-2}$ près)

\medskip

 \renewcommand\arraystretch{1.2}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année& 2004& 2013& 2014& 2015& 2016& 2017& 2018& 2019\\\hline
Rang de l’année : $X$&0&9&10&11&12&13&14&15\\\hline
Part des exploitations bio dans l’ensemble des exploitations agricoles (en \%) $Y$ & 1,78& 5,34& 5,79 &6,33& 7,09& 8,06& 9,14& 10,36\\\hline
 $Z=\ln(Y)$&\np{0.58}& \np{1.68}&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 2}

\medskip
\textbf{Question 2}
\vspace{1cm}

\begin{center}

{\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1,labelsep=0.1pt,levelsep=4cm,unit=5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I$~}\taput{$\np{0.20}$}}
	{
	\TR{$B$}\taput{\psframebox{\makebox[0.7cm]{$\dots$}}}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\psframebox{\makebox[0.7cm]{$\dots$}}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{I}$~}\tbput{\psframebox{\makebox[0.7cm]{$\dots$}}}}
	{\TR{$B$}%
	\TR{$\overline{B}$}%
	}
}}
\end{center}
\end{document}