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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, La Réunion}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Métropole-Antilles-Guyane-La Réunion septembre 2015}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{2 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Dans un cybercafé, la probabilité qu'un ordinateur soit infecté par un virus au cours d'une journée est égale à $0,2$. Un antivirus a été installé.

Si l'ordinateur est infecté par un virus, l'antivirus se déclenche dans 90\,\% des cas

Si l'ordinateur n'est pas infecté par un virus, l'antivirus se déclenche dans 5\,\% des cas.

\smallskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\textbf{Les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{- 3}$\unboldmath{} près si nécessaire.}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On s'intéresse à un ordinateur du cybercafé sur une journée particulière.

On note $I$ l'évènement : \og l'ordinateur est infecté par un virus au cours de la journée \fg, et $D$ l'évènement : \og l'antivirus se déclenche \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que l'ordinateur ne soit pas infecté et que l'antivirus se déclenche.
\item Démontrer que la probabilité que l'antivirus se déclenche est égale à $0,22$.
\item Calculer la probabilité qu'aucun virus n'ait infecté l'ordinateur sachant que l'antivirus s'est déclenché.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Le cybercafé est équipé de 13 ordinateurs, dont les infections par des virus sont indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'ordinateurs infectés au cours de la journée.

On rappelle que la probabilité qu'un ordinateur soit infecté par un virus au cours d'une journée est égale à $0,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'on ait plus de la moitié des ordinateurs infectés.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

On s'intéresse à l'extinction d'une espèce dans un milieu fermé, un aquarium dans cet exemple.

Les scientifiques modélisent la situation à l'aide d'une fonction exponentielle (voir graphique ci-dessous).

\begin{center}
\parbox{0.55\linewidth}{$\bullet~~$
À l'instant $x = 0$, on décide d'introduire \np{5000} 
individus de cette espèce dans un aquarium.

$\bullet~~$ Au bout de 10 jours, il n'y a plus que \np{4500}
individus.

Soit $x$ le nombre de jours écoulés depuis la réintroduction, on note $f(x)$ l'effectif de la population au jour $x$.

On suppose que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
une expression de la forme $f(x) = b\text{e}^{ax}$.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(6,6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=3pt]{0}{5.8}{5.5 2.71828  0.4 x mul exp div}
\uput[r](0,5.8){effectif} \uput[u](5.7,0){temps}
\psline[linewidth=3pt]{->}(5.8,0.55)(6,0.54)
\psdots[dotscale=2](0,5.5)
\end{pspicture}}
\end{center}
Extinction
d'une espèce

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recherche des paramètres $a$ et $b$
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f(0) = \np{5000}$. En déduire la
valeur de $b$.
		\item Exprimer $f(10)$ en fonction de $a$. En déduire qu'une valeur approchée de $a$ à $10^{-2}$ près est $- 0,01$.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite de l'exercice, on admettra que $f(x) = \np{5000}\text{e}^{- 0,01x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Quelle interprétation graphique peut-on en déduire ?
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $[0~;~+ \infty[$ et en déduire le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}	
\item On écrit l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline	
\emph{Initialisation}\\
\hspace{1cm}$t$ prend la valeur $0$\\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur \np{5000}\\
\emph{Traitement}\\
Tant que $y \geqslant 1$\\
\hspace{1cm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\
\hspace{1cm}$y$  prend la valeur $\np{5000}\text{e}^{-0,01t}$\\
Fin Tant que\\
\emph{Sortie}\\
Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles seront les trois premières valeurs calculées de la variable $t$ ? 
		
Donner à chacune des valeurs de $t$, les valeurs correspondantes de la variable $y$. (Les résultats seront arrondis à l'unité et on pourra éventuellement les présenter sous forme d'un tableau)
		\item La valeur affichée à la sortie de l'algorithme est $852$. Que représente concrètement cette valeur ?
		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $f(x) < 1$.

La réponse est-elle cohérente avec la valeur affichée en fin d'algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\smallskip

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath$10^{- 3}$\unboldmath près.}

\smallskip

Une entreprise d'agro-alimentaire utilise une doseuse automatique pour mettre du miel en pots. On s'intéresse à la masse de miel, exprimée en grammes, contenue dans les pots d'une fabrication.

\bigskip

\textbf{Partie A - Loi normale}

\medskip

Un pot est dit conforme lorsque la masse de miel appartient à l'intervalle [500~;~508].

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un pot prélevé au hasard dans la fabrication, associe la masse de miel contenue dans ce pot.

On admet que $X$ est distribuée suivant la loi normale de moyenne 505 et d'écart-type $2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \geqslant 505)$.
\item Pour les calculs de probabilité, on pourra utiliser le tableau suivant ou la calculatrice :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$& 500 &502 &504 &506 &508\\ \hline
$P(X \leqslant a)$& \np{0,006221} &\np{0,06681} &\np{0,30854} &\np{0,69146} &\np{0,93319}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(500 \leqslant X \leqslant 508)$.
		\item En déduire la probabilité pour qu'un pot prélevé au hasard ne soit pas conforme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Intervalle de fluctuation et prise de décision}

\medskip

Lorsque la doseuse est correctement réglée, on admet que la proportion $p$ de pots non conformes dans l'ensemble de la fabrication est de 7\,\%.

\medskip

\textbf{On rappelle que :}

\emph{Pour une proportion $p$ connue dans une population, l'intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :}

\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de $0,95$ de la fréquence de pots non conformes obtenue sur un échantillon de taille $200$.
\item Lors d'un contrôle, le responsable qualité de l'entreprise prélève un échantillon de $200$~pots.

On suppose que la production est suffisamment importante pour que le choix des $200$~pots puisse être assimilé à un prélèvement avec remise. Le responsable constate que 30~pots ne sont pas conformes. Doit-il prendre la décision d'effectuer un réglage de la doseuse ? Justifier la réponse,
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\medskip

On cherche à calculer $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ avec $f$ définie sur $[1~;~\text{e}]$ par 

\[f(x) = 2 \ln (x) + \dfrac{2x + 1}{x}.\]


\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[1~;~\text{e}]$ par 

\[F(x) = (2x + 1)\ln x\]

 est une primitive de $f$.
\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.
\item Déterminer une valeur approchée de$\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}