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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Correction \hspace{3mm}Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Polynésie juin 2010}\hspace{3mm}Correction}

%\bigskip

%\textbf{L'annexe est à rendre avec la copie}
   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

La fabrication des CD nécessite une grande quantité de ressources naturelles et génère beaucoup de déchets. Afin de sensibiliser un lycée à ce problème, une enquête a été réalisée auprès des 750 personnes de ce lycée (élèves et agents) pour savoir s'ils utilisaient complètement leurs CD :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 80\,\% des personnes du lycée sont des élèves ; 
\item[$\bullet~$] 95\,\% des élèves gravent complètement leurs CD ; 
\item[$\bullet~$] 50 agents ne gravent pas complètement leurs CD. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Dressons le tableau représentant cette situation.
\smallskip
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.1}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&\'Elèves &Agents &Total\\ \hline% 
Gravent complètement leurs CD&570&100& 670\\ \hline% 
Ne gravent pas complètement leurs CD&30&50&80 \\ \hline% 
Total&600&150&750 \\ \hline% 
\end{tabularx}
\end{center}
\item On choisit une personne au hasard dans le lycée
L'univers est l'ensemble des personnes du lycée et la loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. Pour un évènement $A$ : $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

On considère les évènements :
 
E : \og La personne choisie est un élève \fg{} ;
 
G : \og La personne choisie grave complètement ses CD \fg.
 
Les probabilités demandées seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la probabilité que la personne choisie soit un élève qui grave complètement ses CD.
		
		 Calculons $p(E\cap G)$.  Il y a 570 élèves qui gravent complètement leurs CD. Par conséquent \[p(E \cap G)=\dfrac{570}{750}=\dfrac{19}{25}.\]
		\item Déterminons la probabilité que la personne choisie soit un élève sachant qu'elle grave complètement ses CD. Calculons $p_{G}(E)$.
		\[p_{G}(E)=\dfrac{p(E \cap G)}{p(G)}=\dfrac{\frac{19}{25}}{\frac{670}{750}}=\dfrac{19}{25}\times \dfrac{75}{67}=\dfrac{57}{67}\]
		
		\item Les évènements E et G sont indépendants si $p(E \cap G)=p(E)\times p(G)$. \[p(E \cap G)= \frac{19}{25}\qquad  p(E)\times p(G)=\frac{600}{750}\times \frac{67}{75}=\dfrac{268}{375}.\]
		Il en résulte que les évènements E et G ne sont pas indépendants.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip
 
Soit la fonction numérique $f$, définie sur l'intervalle I $= \left ]- \dfrac{2}{3}~;~5 \right ]$ par :

\[f(x) = -x + 8 + 2 \ln (3x + 2) \]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 3~cm pour une unité pour l'axe des abscisses ; 
\item 1 cm pour une unité pour l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la limite de $f$ en $- \dfrac{2}{3}$. 
\[\displaystyle \lim_{x \to -\tfrac{2}{3}}f(x)=\lim_{x \to -\tfrac{2}{3}}-x+8+\lim _{x \to -\tfrac{2}{3}}2\ln(3x+2)=\frac{26}{3}+(-\infty) = -\infty.\]
En effet $\displaystyle \lim_{x \to 0}\ln(x)=-\infty$
		\item La droite d'équation $x=-\dfrac{2}{3}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate} 
\item  Déterminons la fonction dérivée de $f$. \[f^\prime(x)= -1+2\times \dfrac{3}{3x+2}=\dfrac{-(3x+2)+6}{3x+2}=\dfrac{-3x+4}{3x+2}\]
Nous avons bien obtenu $f'(x)= \dfrac{- 3x + 4}{3x + 2}$ pour tout $x$ de l'intervalle I.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $f'(x)$ est du signe de $(-3x + 4)$ sur I. En effet sur  $ \left]- \dfrac{2}{3}~;~5\right]\quad 3x+2>0$
		\item  	$-3x+4>0$ si et seulement si $x<\frac{4}{3}$.
 		
 		par conséquent si $-\frac{2}{3}<x <\frac{4}{3}, \quad f'(x)>0$ et si $x>\frac{4}{3},\quad f^\prime(x)<0$.
 		\item  Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
		
$f'(x)>0$  sur $ \left]- \frac{2}{3}~;~\frac{4}{3}\right[$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

$f'(x)<0$ sur $ \left] \frac{4}{3}~;~5 \right]$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $f$ sur $ \left]- \frac{2}{3}~;~5\right]$. 

\medskip

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.35){$-\tfrac{2}{3}$} \uput[u](4.5,2.35) {$\tfrac{4}{3}$}    \uput[u](7.73,2.45){$5$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[d](7.32,0.45){$3+2\ln 17$}
\psline{->}(1.5,0.35)(3.77,1.55)\psline{->}(5.17,1.55)(7.57,0.35)
\uput[u](4.5,1.27){$\frac{20}{3}+2\ln 6$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 $f\left( \dfrac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3}+8+2\ln (4+2)=\frac{20}{3}+2\ln 6$,

 $f(5)=-5+8+2\ln (3\times 5 + 2)=3+2\ln 17$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminons une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. 

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est  $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$.

 $f(0)=8+2\ln 2 \quad f^\prime (0)=2$.

Une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y=2x+8+2\ln 2$.  
\item %Le tableau de valeurs est complété  sur l'annexe 1. 
\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$- 0,65$&$- 0,5$&0&1&$\frac{4}{3}$&2&3&4&5\\ \hline%
$f(x)$&\np{2.7}&\np{9.4}&\np{10.0}&\np{10.2}&\np{10.3}&\np{10.2}&\np{9.8}&\np{9.3}&\np{8.7}\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

Les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près

\item $\mathcal{C}_{f}$ et (T) sont tracées ci-dessous.
\end{enumerate}
\hspace{-0.05\linewidth}

\psset{xunit=3cm,yunit=1cm,comma=true,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-1)(5.1,11.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-1,-1)(5.05,11)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{-0.659}{5}{8 x sub 2 2 x 3 mul  add ln mul add}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=red,linewidth=0.5pt] {-1}{0.8}{ 2 x mul 8 add 2 ln 2 mul add}
\uput[u](4.9,8.825){$\mathcal{C}_f$} \uput[ul](-0.79,7.16){(T)}\uput[dl](-0.01,-0.1){\scriptsize O}
\psline[linecolor=green,linewidth=0.75pt](-0.66667,-1)(-0.66667,11)
\psline[linecolor=red,linewidth=0.5pt]{<->}(1,10.25019)(1.6667,10.25019)
\psline[linecolor=red,linewidth=0.25pt](1.333333,10.1)(1.333333,10.3)
\rput(5.05,-0.2){$x$}\rput(-0.1,11.1){$y$}
\end{pspicture}

\hspace{\linewidth}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 : VRAI-FAUX \hfill 6 points}

\medskip
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquons  si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant la réponse.
 
%Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point.
 
\textbf{Proposition 1 :} $\dfrac{4}{3}$ est solution de l'équation $\text{e}^{-3x+4} = 1$.\hfill {\textbf{Vraie}}

En remplaçant $x$ par $\frac{4}{3}$ dans $-3x+4$, nous obtenons $0$ et $\text{e}^0=1$ 
\bigskip
 
\textbf{Proposition 2 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-3x+1} = - \infty$. \hfill {\textbf{Fausse}}

 Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $-3x+1$ tend vers $-\infty$ or $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\text{e}^x=0$

\bigskip
 
\textbf{Proposition 3 :} 	$x^2 + x < 0$ pour tout $x \in  ]-1~;~0[$. \hfill {\textbf{Vraie}}

Un trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ pour $x\in\mathopen{]}x_1~;~x_2\mathclose{[}$, nous avons $a=1$, $x_1=-1$ et $x_2=0$.
\bigskip

\textbf{Proposition 4 :} 	$\ln (72) = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$. \hfill {\textbf{Vraie}}

$72 = 2^3 \times 3^2$ par conséquent $\ln 72= \ln(2^3\times 3^2)=\ln2^3+\ln3^2 = 3\ln 2+2\ln 3$.
\bigskip

\textbf{Proposition 5 :} 	La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (x - 2)\text{e}^{- x}$ est une primitive de la fonction $f$ définie 
sur $\R$ par $f(x) = (3 - x)\text{e}^{- x}$.\hfill {\textbf{Vraie}}

$F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si $F^\prime =f$.

$F^\prime(x)=\text{e}^{-x}+(x-2)(-\text{e}^{-x})=\text{e}^{-x}(1-(x-2))=(3-x)\text{e}^{-x}=f(x)$.
\bigskip
 
\textbf{Proposition 6 :} $\displaystyle\int_{-1}^0 \left(2\text{e}^x + x^2 \right)\:\text{d}x = - 2\text{e}^{-1} + \dfrac{1}{3}$. \hfill {\textbf{Fausse}}

$\displaystyle\int_{-1}^0 \left(2\text{e}^x + x^2 \right)\:\text{d}x =\left[2\text{e}^x+\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}=2-2\text{e}^{-1}+\frac{1}{3}=-2\text{e}^{-1}+\frac{7}{3}$



\end{document}