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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion juin 2011}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier vos réponses. 

Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point.
 
\begin{enumerate}
\item On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$&$-6$ &$-4$ &$-1$ &2 &5 &12\\ \hline 
\rule[-4mm]{0mm}{9mm}$P\left(X= x_{i}\right)$&$\dfrac{3}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{10}$\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

Proposition 1 : E$(X) = 0$ 

\item A et B sont deux évènements tels que : $p(\text{A}) = 0,7 \quad p(\text{B}) = 0,4 \quad
p(\text{A} \cap \text{B})= 0,2$. 

Proposition 2 : Les évènements A et B sont indépendants 

Proposition 3 : $p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,9$.

Proposition 4 : $p\left(\text{A} \cap  \overline{\text{B}}\right) = 0,5$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \ln (x - 1) - \dfrac{1}{x - 1}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'(x) = 	\dfrac{x}{(x - 1)^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]1~;~+\infty[$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]1~;~+\infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
		 
\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.} 
		\item Construire la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$, dans un repère orthonormal. On prendra pour unité graphique 2 cm sur chacun des axes.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par : 

\[F(x) = (x - 2) \ln (x -1) - x .\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $f(3)$, puis démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle [3~;~5]. on a $f(x) \geqslant 0$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{3}^5 f(x)\:\text{d}x$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip 

Un internaute a installé sur son ordinateur un nouveau logiciel qui permet de filtrer les messages sur sa messagerie électronique. Des tests sur l'efficacité de ce logiciel ont conduit aux résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 70\,\% des messages reçus sont indésirables ; 
\item 95\,\% des messages indésirables sont éliminés ; 
\item 2\,\% des messages non indésirables sont éliminés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
L'internaute reçoit un message. 

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] I : l'évènement \og le message est indésirable \fg.  
\item[ ] E : l'évènement \og le message est éliminé \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 
  
\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près si nécessaire.}
 
\begin{enumerate}
\item Donner $p$(I) et $p_{\text{I}}(\text{E})$. 
\item Dessiner un arbre de probabilités correspondant à la situation. 
\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item \og Le message est indésirable et éliminé \fg. 
		\item \og Le message est éliminé \fg.
	\end{enumerate} 
\item Le message est éliminé. Quelle est la probabilité qu'il soit indésirable ? 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie) }
\end{center}

\vspace{2,5cm}

\textbf{Exercice 2 :}

\bigskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&1,2 	&1,5 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6\\ \hline 
$f(x)$	&		&		&	&	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}
 
\end{document}