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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion\hspace{3mm}correction}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion juin 2011\\}Correction}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier vos réponses. 

Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point.
 
\begin{enumerate}
\item On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$&$-6$ &$-4$ &$-1$ &2 &5 &12\\ \hline 
\rule[-4mm]{0mm}{9mm}$P\left(X= x_{i}\right)$&$\dfrac{3}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{10}$\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

Proposition 1 : E$(X) = 0$  \hfill{\large\textbf{Vrai}}  \[ \text{E}(x)=-6 \times \np{0.3} -4 \times \np{0.1}-1 \times \np{0.2}+2 \times \np{0.1}+5 \times \np{0.2}+12 \times \np{0.1}=0\]

\item A et B sont deux événements tels que : $p(\text{A}) = 0,7 \quad p(\text{B}) = 0,4 \quad
p(\text{A} \cap \text{B})= 0,2$. 

Proposition 2 : Les événements A et B sont indépendants \hfill{\large\textbf{Faux}} 

car $p(\text{A} \cap \text{B})\not= p(\text{A})\times p(\text{B})$

Proposition 3 : $p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,9$. \hfill{\large\textbf{Vrai}}   \[p(\text{A} \cup \text{B})= p(\text{A})+p(\text{B})-p(\text{A} \cap \text{B}).p(\text{A} \cup \text{B})=\np{0.7}+\np{0.4}-\np{0.2}.\]

Proposition 4 : $p\left(\text{A} \cap  \overline{\text{B}}\right) = 0,5$. \hfill{\large\textbf{Vrai}}

 $\text{A}\cap \overline{\text{B}}$ et $\text{A}\cap \text{B}$ forment une partition de $\text{A}$. 

donc $p(\text{A})=p(\text{A} \cap \text{B})+p(\text{A}\cap \overline{\text{B}})\quad p(\text{A}\cap \overline{\text{B}})=\np{0.7}-\np{0.2}=\np{0.5}$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \ln (x - 1) - \dfrac{1}{x - 1}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1$. 
\[\displaystyle \lim_{x\to 1}\ln (x - 1) - \dfrac{1}{x - 1}=-\infty\]

$\displaystyle \lim_{x\to 1}\ln(x-1)=-\infty \quad \lim_{x\to 1}-\dfrac{1}{x-1}=-\infty$  car $\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln(x)=-\infty \ \text{et }\lim_{\stackrel{x\to 0}{x>0}}-\dfrac{1}{x}=-\infty$
\item Déterminons la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 

\[\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln (x - 1) - \dfrac{1}{x - 1}=+\infty\]

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\ln(x-1)=+\infty \quad \lim_{x\to +\infty}-\dfrac{1}{x-1}=0$  car $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty \quad \text{et }\lim_{x \to +\infty}-\dfrac{1}{x}=0$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $f^\prime$ fonction dérivée de $f$.\[f'(x) = \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1+1}{(x-1)^2}=	\dfrac{x}{(x - 1)^2}\] pour tout $x$ de l'intervalle $]1~;~+\infty[$. 
		\item  $x >1$ par conséquent $x>0$ et $( x-1)^2>0$. Il en résulte $f'(x)>0$ sur $]1~;~+\infty[$. 
		\item Dressons le tableau de variations de $f$ sur $]-1~;~5]$.
		
Si pour tout $x\in I, \,f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

  $f^{\prime}(x)>0$ pour $x \in]1~;~+\infty]$ donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$}      \uput[u](7.65,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](4.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.2,1.95){$+\infty $}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item Déterminons une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse 2. 

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est

 $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$. $f(2)= -1 \quad f^\prime (2)=\frac{2}{(2-1)^2}=2$

Une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $2$ est $y=2(x-2)-1$, soit $y=2x-5$.  
 
\item 

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau de valeurs est complété sur l'annexe A.
 		\item Traçons la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal. Voir à la fin.%On prendra pour unité graphique 2 cm sur chacun des axes.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par : 
\[F(x) = (x - 2) \ln (x -1) - x .\]
	\begin{enumerate}
		\item  $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ si $F^\prime =f$.\[ F^\prime(x)=\ln(x-1)+\dfrac{x-2}{x-1}-1=\ln(x-1)+\dfrac{x-2-(x-1)}{x-1}=\ln(x-1)-\dfrac{1}{x-1}=f(x)\]
		\item  $f(3)=\ln(2)-\dfrac{1}{2}$. $f(3)>0$ car $ \ln(2)>\dfrac{1}{2} $ et nous avons montré que $f$ est strictement croissante sur $]1~;~+\infty[$ a fortiori sur $[3~;~5]$ par conséquent pour tout $x$ de l'intervalle [3~;~5] nous avons $f(x) \geqslant 0$. 
		\item  $\displaystyle\int_{3}^5 f(x)\:\text{d}x=F(5)-F(3)= 3\ln(4)-5-(\ln2-3)=3\times 2\ln 2-5-\ln 2+3=5\ln(2)-2$. 

Puisque pour tout $x\in[3~;~5],\quad f(x)\geqslant 0 $, nous pouvons interpréter ce résultat comme l'aire(en unités d'aire) de la partie de plan délimité par $(\mathcal{C}_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=3$ et $x=5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip 

Un internaute a installé sur son ordinateur un nouveau logiciel qui permet de filtrer les messages sur sa messagerie électronique. Des tests sur l'efficacité de ce logiciel ont conduit aux résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 70\,\% des messages reçus sont indésirables ; 
\item 95\,\% des messages indésirables sont éliminés ; 
\item 2\,\% des messages non indésirables sont éliminés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
L'internaute reçoit un message. 

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] I : l'événement \og le message est indésirable \fg.  
\item[ ] E : l'événement \og le message est éliminé \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 
  
\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près si nécessaire.}
 
\begin{enumerate}
\item  70\,\% des messages reçus sont indésirables $p(\text{I})=\np{0.7}$ 

et 95\,\% des messages indésirables sont éliminés $p_{\text{I}}(\text{E})=\np{0.95}$. 

\newpage

\item Dessinons l'arbre de probabilités correspondant à la situation. 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$I$}\taput{\small{$0,70$}}}
	  { 
		  \TR{$E$}\taput{\small{$0,95$}}
		  \TR{$\overline{E}$}\tbput{\small{$0,05$}}   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{I}$}\tbput{\small{$0,30$}}}
	  {
		  \TR{$E$}\taput{\small{$0,02$}}
		  \TR{$\overline{E}$}\tbput{\small{$0,98$}}  
	  }
	
}
\end{center}

\item Calculons les probabilités des événements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item \og Le message est indésirable et éliminé \fg. $p(\text{I}\cap \text{E})=\np{0,70}\times \np{0,95}=\np{0,665}$
		\item \og Le message est éliminé \fg. \[p(\text{I})=p(\text{I}\cap\text{E})+p(\overline{\text{I}} \cap \text{E})=\np{0,665}+\np{0,30}\times\np{0,02}=\np{0,671}\]
	\end{enumerate} 
\item Le message est éliminé.   La probabilité qu'il soit indésirable est 

 \[p_{\text{E}}(\text{I})=\dfrac{p(\text{I}\cap \text{E})}{p(\text{E})}=\dfrac{\np{0,665}}{\np{0,671}}=\np{0,991}\]
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE A }%(à compléter et à rendre avec la copie) }
\end{center}

\vspace{2,5cm}

\textbf{Exercice 2 :}

\bigskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&1,2 	&1,5 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6\\ \hline 
$f(x)$	&$-\np{6.6}$		&	$-\np{2.7}$	&$-1$	&$\np{0.2}$	&$\np{0.8}$	&$\np{1.1}$	&$\np{1.4}$\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
		 
\emph{Les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près.}

\newpage
\setlength\parindent{-15mm}
%\newgeometry{left=0.5cm,right=1cm,top=2cm, bottom=2.5cm}

%\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-7.5)(8.7,2.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-7.5)(8.6,2.6)
\multido{\n=-0.5+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-7.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=-7.5+.5}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(8.5,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0.5,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot{0}{3.75}{2 x mul 5  sub}
\psline(1,-7.5)(1,2.5)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,algebraic]{1.2}{8.5}{ln(x-1)-1/(x-1)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1.1739}{8.5}{x 1 sub ln 1 x 1 sub div sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](7.75,2.1){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0.25,-5){$T$}
\end{pspicture}
%\end{center}




 
\end{document}