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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2014}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Métropole-Antilles-Guyane-La Réunion septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un site Internet permet aux particuliers de vendre ou d’acheter des objets.

Le vendeur propose un objet à un prix de vente initial en mettant une annonce en ligne sur ce site.

Pendant deux semaines, au fur et à mesure des offres des internautes intéressés, le prix affiché de l’objet augmente pour atteindre son prix final.

À la fin de cette période, l’internaute qui a fait l’offre la plus élevée achète l’objet au prix final.

Si une annonce reçoit une offre, alors la vente de l'objet est obligatoire au prix final même si le vendeur le juge trop bas.

Sur ce site, une étude statistique a montré que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 60\,\% des annonces reçoivent une première offre dès la première semaine ; dans ce cas, 75\,\% des vendeurs sont satisfaits du prix final ;
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des annonces reçoivent une première offre seulement en deuxième semaine ; dans ce cas, 57\,\% des vendeurs sont satisfaits du prix final ;
\item[$\bullet~~$] les autres annonces ne reçoivent aucune offre durant ces deux semaines et le vendeur retire alors son objet de la vente.
\end{itemize}

\medskip

Une annonce est mise en ligne sur ce site.

On note $A$, $B$, $C$ et $S$ les évènements suivants :
\begin{description}
\item[] A : \og l'annonce reçoit une première offre dès la première semaine\fg{} ;
\item[] B : \og l'annonce reçoit une première offre seulement en deuxième semaine \fg{} ;
\item[] C : \og l'annonce ne reçoit aucune offre\fg{} ;
\item[] S : \og le vendeur est satisfait du prix final\fg.
\end{description}

\medskip 

\emph{Les probabilités seront exprimées sous forme décimale, arrondies à $10^{-3}$ près si nécessaire.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Compléter l’arbre de probabilité donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
\item Calculer $P(A\cap S)$. 
\item En déduire que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix final est de $0,621$.
\item Quelle est la probabilité qu’un objet ait reçu une première offre dès la première semaine, sachant que le vendeur est satisfait du prix final ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Compléter le QCM fourni en \textbf{ annexe B (à rendre avec la copie)}.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’enlève et n’ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cet exercice sera zéro.

\medskip

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]-3~;~+\infty[$  par \[f(x)=x^2+x+2\ln(x+3).\]
 On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé d’unité graphique \np[cm]{2}.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $-3$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Démontrer que $f'(x)=\dfrac{2x^2+7x+5}{x+3}$ pour tout $x $ de $]-3~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $2x^2+7x+5$ pour tout $x$ de $]-3~;~+\infty[$
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de $]-3~;~+\infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f $ sur $]-3~;~+\infty[$ .
	\end{enumerate}
On y indiquera les valeurs exactes de $f\left(-\dfrac{5}{2}\right)$ et $f(-1)$.

\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 0.
\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
\item Construire la tangente (T), la courbe $\mathcal{C}_f$ et les éventuelles asymptotes sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie) }

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1 :}

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{$B$}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{$C$}}
	{\Tn
	\Tn
	}
}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{EXERCICE 3 Les résultats seront arrondis au dixième près}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$-\np{2.8}$&$-\np{2.5}$&$-2$&$-\np{1.5}$&$-1$&$-\np{0.5}$&$0$&$\np{0.5}$&$1$\\
\hline
$f(x)$&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}


\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres n = 7 
et p = 0,2. 

La probabilité P($X = 3$), arrondie à $10^{-3}$ près, est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
 0,028 & 0,115& 0,003\\
\end{tabularx}

\medskip
\item  Soit $Y$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
$k$&0&1&2&3\\\hline
P($Y = k$)&0,26&0,37&0,18&0,19\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

L’espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
1,3&0,25& 1,5\\
\end{tabularx}
\item  Soient deux évènements $A$ et $B$ tels que P($A$) = 0,3 , P($B$) = 0,4 et P($A\cap B$)= 0,1.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$A$ et $B$ sont indépendants& $A$ et $B$ ne sont pas indépendants& $A$ et $B$ sont incompatibles.\\
\end{tabularx}
\item Une primitive de la fonction $f $définie sur $\R$ par  $f(x)=\e^{3x}-2x^2+1 $ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$F(x)=3\e^{3x}-4x$&$F(x)=\dfrac{1}{3}\e^{3x}-\dfrac{2}{3}x^3+x+3$&$F(x)=\e^{3x}-\dfrac{2}{3}x^3+x$

\end{tabularx}
\item La valeur de l’intégrale $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\mathrm{d}x$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
0& 1& 2\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage
\setlength\parindent{-20mm}

\begin{minipage}{18cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(6,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-1)(6,10)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\end{document}
