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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrig\'e : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion}\hspace{3mm} correction}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright} \\Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion juin 2009\hspace{3mm}correction}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6,5 points}

\medskip

{\small \textbf{Tous les résultats seront arrondis au centième près, si nécessaire}}

\medskip

Une auto-école propose deux filières possibles pour préparer l'examen du permis de conduire : l'apprentissage anticipé de la conduite (AAC) et la filière traditionnelle.
 
Elle affiche les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% de ses candidats choisissent la formule AAC; 
\item[$\bullet~$] 80\,\% des candidats qui choisissent la formule AAC obtiennent leur permis lors de la première présentation ; 
\item[$\bullet~$] 50\,\% des candidats qui préparent leur permis avec la filière traditionnelle l'obtiennent lors de la première présentation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard un de ses candidats après l'obtention du résultat de sa première présentation.

On note A l'évènement : \og Le candidat a préparé son examen avec la filière AAC \fg.
 
On note B l'évènement : \og Le candidat a obtenu son permis de conduire lors de la première présentation \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construisons l'arbre de probabilités illustrant la situation  en indiquant les probabilités sur chaque branche. 

\begin{center}
\psset{nodesep=1.5pt, labelsep=0.1mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{0,40}}
	  { 
		  \TR{B}\taput{0,80}
		  \TR{$\overline{\text{B}}$}\tbput{\np{0.20}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{0,60}}
	  {
		  \TR{B}\taput{0,50}
		  \TR{$\overline{\text{B}}$}\tbput{\np{0.50}}
	  }
}
\end{center}

\item Calculons la probabilité de l'évènement : \og Le candidat a préparé le permis de conduire avec la filière AAC et l'a obtenu lors de la première présentation \fg, c'est-‡-dire  calculons $p(\text{A} \cap \text{B})$. 

\[p(\text{A} \cap \text{B})= p(\text{A})\times  p_{\text{A}}(\text{B})=\np{0.40}\times \np{0.80}=\np{0.32}.\]

\item   Montrons que la probabilité que le candidat ait obtenu son permis de conduire lors de la première présentation est de $0,62$. 

\[p(\text{B}) =p(\text{A} \cap \text{B})+ p(\overline{\text{{A}} }\cap \text{B})=\np{0.32}+\np{0.6}\times\np{0.5}=\np{0.62}.\]

\item Le candidat interrogé a échoué au permis de conduire lors de la première présentation. Calculons  la probabilité qu'il ait préparé l'examen avec la filière AAC.
\[ p_{\overline{\text{B}}}(\text{A}) =\dfrac{p\left(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\right)}{p(\overline{\text{B}})}=\dfrac{\np{0,4}\times \np{0,2}}{1-\np{0.62}}\approx \np{0,21}.\]
\end{enumerate}
\medskip 

On interroge au hasard et de façon indépendante $10$~candidats de cette auto-école qui viennent de passer leur permis de conduire pour la première fois. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de candidats ayant échoué.

\begin{enumerate}[resume]
\item La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale s'il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (10;\ \np{0.38}). Il s'agit de la  répétition d'une expérience aléatoire ‡ deux résultats ( échec, réussite) de 10 séries indépendantes.  La probabilité d'échouer est \np{0.38} car   la probabilité de réussir lors de la première présentation est \np{0.62}. Nous avons  par conséquent $p(X=k)=\binom{10}{k}(\np{0,38})^k(\np{0,62})^{10-k}$. 
\item Calculons la probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué.
\[ p\left( X \geqslant 1\right) =1-p\left( X = 0\right )=1 - \left(\np{0,62}\right)^{10}\approx \np{0,99}\]
\end{enumerate} 

%\end{document}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 QCM \hfill 5 points}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]-5~;~+ \infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
 
Le tableau de variations de $f$ est donné ci-dessous.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,3)
\psframe(12,3) \psline(0,2)(12,2)\psline(0,2.5)(12,2.5)
\psline(3,0)(3,3) \psline(3.1,0)(3.1,2.5) \psline(3.15,0)(3.15,2.5)
\psline{->}(3.7,1.7)(5.7,0.2) 
\psline{->}(6.3,0.2)(8.3,1.7)
\psline{->}(9.7,1.7)(11.3,0.2)
\uput[u](1.5,2.5){$x$} \uput[u](3.125,2.5){$-5$} \uput[u](6,2.5){$0$} \uput[u](9,2.5){$2$} \uput[u](11.7,2.5){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.25){Signe de $f'(x)$} 
\rput(1.5,1){Variations de $f$}
\uput[u](4.5,2){$-$}  \uput[u](6,2){$0$} \uput[u](7.5,2){$+$}
 \uput[u](9,2){$0$} \uput[u](10.5,2){$-$}
\uput[d](3.4,2){$+ \infty$} \uput[u](6,0){$0$} \uput[d](9,2){$3 - \ln \left(\frac{1}{3}\right)$} \uput[u](11.7,0){$- \infty$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\medskip

Le \textbf{QCM} est donné \textbf{en annexe}.

\medskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.}
%Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée ‡ cette partie sera zéro.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 8,5 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]-3~;~+\infty [$ par 

\[g(x) =  \text{e}^{2x} - \dfrac{3}{x + 3}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 
\item[$\bullet~$] 0,5~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons la limite en $+ \infty$ de $g$. 
		\[\displaystyle \lim_{x \to +\infty}g(x)=\lim_{x \to +\infty}\text{e}^{2x}+\lim _{x \to  +\infty}-\dfrac{3}{x+3}=+\infty +0= +\infty.\]
		\item  Déterminons la limite en $-3$ de $g$ 
\[\displaystyle \lim_{x \to -3}g(x)=\lim_{x \to -3}\text{e}^{2x}+\lim _{x \to -3}-\dfrac{3}{x+3}=\text{e}^{-6}-\infty = -\infty.\]
 Par conséquent, la droite d'équation $x=-3$ est asymptote ‡ la courbe représentative de $g$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons $g^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de $]-3~;~+\infty [$. $g^\prime(x)=2\text{e}^{2x}+ \dfrac{3}{(x+3)^2}$.
		\item  $g'(x)>0$  sur $]-3~;~+\infty [$ comme somme de réels strictement positifs. 
		\item Si pour tout $x\in I,\:f^{\prime}(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
		
$g^{\prime}(x)>0$  sur $]-3~;~+\infty [$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $g$ sur $]-3~;~+\infty [$. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline[linewidth=0.5pt](1.2,0)(1.2,3) \psline(0,2)(8,2) \psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-3$}      \uput[u](7.7,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](4.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.45,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.2,1.95){$+\infty $}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Déterminons une équation de la tangente $(T)$ ‡ la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 0. 

L'équation de la tangente ‡ la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est

 $y=f^\prime(a)(x - a)+f(a)$. $g(0)=0 \quad g^\prime (0)=2+\frac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$.

Une équation de la tangente $T$ ‡ $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$ est $y=\dfrac{7}{3}x$.  
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   Le tableau de valeurs est complété en annexe. 
		\item   $\mathcal{C}_{g}$ et (T)  sont construites dans le repère \Oij ci-dessous.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $G$ définie sur $]-3~;~+\infty [$ par 
		
\[G(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 3\ln (x + 3)\]

 est une primitive de $g$ si $G^\prime(x)=g(x)$. 
 
  \[G^\prime(x) = \dfrac{1}{2}(2\text{e}^{2x}) - 3\dfrac{1}{x + 3}=\text{e}^{2x} - \dfrac{3}{x + 3}=g(x)\]
 		\item Calculons  I. \[I = \displaystyle\int_{0}^4 g(x)\:\text{d}x=G(4)-G(0)=\dfrac{1}{2}\text{e}^8-3\ln 7-\left(\dfrac{1}{2}-3 \ln 3\right)=\dfrac{1}{2}\text{e}^8+3\ln \dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{2}\]. 
		\item I est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation  $x=0$ et $x=4$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true,labelsep=0.1pt}

\begin{pspicture}(-3.5,-15)(1.5,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-15)(2,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-3.5,-15)(2,11)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.8}{1.232}{ 2.71828 2 x mul exp 3 3 x add div sub}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt] {-3.5}{2}{7 3 div x mul }
\uput[u](1,9.25){$\mathcal{C}_g$} \uput[ul](1.75,2.6){(T)}\uput[ul](0,0){\scriptsize O}
\psline(-3,-15)(-3,11)
\end{pspicture}
\end{center}
\textbf{Exercice 3}


\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.2}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $- 2,7$& $-2,5$ &$-2$&$-1,5$&$-1$&$-0,5$&$0$&$0,5$&1&$1,5$\\  \hline
$g(x)$&$\np{-10.0}$&$\np{-6.0}$&$\np{-3.0}$&$\np{-2.0}$&$\np{-1.4}$&$\np{-0.8}$&$0$&$\np{1.9}$&$\np{6.6}$&$\np{19.4}$  \\ \hline
\end{tabularx}\]
\emph{Les résultats sont arrondis ‡ 0,1 près}


%\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (‡ compléter et ‡ remettre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  QCM}

\medskip

{\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée ‡ cette partie sera zéro.}}

\textbf{Cocher} pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ passe par le point :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
A$(-5~;~0)$ & B$(2~;~0)$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}C$(2~;~3 + \ln 3)$\\
\end{tabularx}\]

\item $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote d'équation :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$x = - 5$ & $y = - 5$&On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}\]

\item $f(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$[2~;~+ \infty[$ & $]-5~;~0]$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}\]

\item L'équation $f'(x) = 0$ admet pour solution(s) :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
\hspace{-3.5mm}\ding{52}0 et 2 &  $0$ et $3 - \ln \left(\dfrac{1}{3}\right)$&$-5$\\
\end{tabularx}\]

\item $f'(4)$ est :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
positif & \hspace{-3.5mm}\ding{52}négatif&On ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}\]
\end{enumerate}

\end{document}
\textbf{Exercice 3}


\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.2}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $- 2,7$& $-2,5$ &$-2$&$-1,5$&$-1$&$-0,5$&$0$&$0,5$&1&$1,5$\\  \hline
$g(x)$&$\np{-10.0}$&$\np{-6.0}$&$\np{-3.0}$&$\np{-2.0}$&$\np{-1.4}$&$\np{-0.8}$&$0$&$\np{1.9}$&$\np{6.6}$&$\np{19.4}$  \\ \hline
\end{tabularx}\]
\emph{Les résultats sont arrondis ‡ 0,1 près}


\vspace{2cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true,labelsep=0.1pt}

\begin{pspicture}(-3.5,-15)(1.5,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-15)(2,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-3.5,-15)(2,11)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.8}{1.232}{ 2.71828 2 x mul exp 3 3 x add div sub}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt] {-3.5}{2}{7 3 div x mul }
\uput[u](1,9.25){$\mathcal{C}_g$} \uput[ul](1.75,2.6){(T)}\uput[ul](0,0){\scriptsize O}
\psline(-3,-15)(-3,11)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}


\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.2}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $- 2,7$& $-2,5$ &$-2$&$-1,5$&$-1$&$-0,5$&$0$&$0,5$&1&$1,5$\\  \hline
$g(x)$&$\np{-10,0}$&$\np{-6,0}$&$\np{-3,0}$&$\np{-2,0}$&$\np{-1,4}$&$\np{-0,8}$&$0$&$\np{1,9}$&$\np{6,6}$&$\np{19,4}$  \\ \hline
\end{tabularx}\]
\emph{Les résultats sont arrondis ‡ 0,1 près}


\vspace{2cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true,labelsep=0.1pt}

\begin{pspicture}(-3.5,-15)(1.5,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-15)(2,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-3.5,-15)(2,11)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.8}{1.232}{ 2.71828 2 x mul exp 3 3 x add div sub}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt] {-3.5}{2}{7 3 div x mul }
\uput[u](1,9.25){$\mathcal{C}_g$} \uput[ul](1.75,2.6){(T)}\uput[ul](0,0){\scriptsize O}
\psline(-3,-15)(-3,11)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}