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%Original aimablement fourni par J. C. Souque
%Tapuscrit : J. C. Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Métropole--Antilles--Guyane--Réunion septembre 2012}}

\bigskip

L'annexe A est à rendre avec la copie 
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1} \hfill 5,5 points

\medskip

Le mildiou est une maladie qui affecte différents types de végétaux que l'on peut traiter avec de la bouillie
bordelaise.

Des études effectuées dans une région ont permis d'estimer que parmi les pieds de tomates non traités,
60\,\% sont atteints par cette maladie.

Parmi ceux qui sont traités, des tests d'efficacité ont montré que 85\,\% ne sont pas atteints par cette maladie.
Sur une parcelle de culture située dans cette région, 25\,\% des pieds de tomates n'ont pas pu être traités
contre cette maladie.

On prélève un pied de tomates au hasard dans cette parcelle.

On considère les évènements suivants :

$T$: \og Le pied de tomates a été traité \fg

$M$ : \og Le pied de tomates est atteint par le mildiou \fg

Dans tout l'exercice, les probabilités demandées seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-4}$ près.

\begin{enumerate}
\item  Décrire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités, en précisant les probabilités sur chacune des branches.
\item  Définir l'évènement $T \cap M$ et calculer sa probabilité.
\item  Calculer la probabilité $P\left(\overline{T} \cap M \right)$.
\item  Prouver que la probabilité d'avoir un pied de tomates atteint par le mildiou est de \np{0.2625}.
\item  Sachant que le pied de tomates est atteint par la maladie, calculer la probabilité qu'il n'ait pas été traité.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 :}\hfill (4 points)

\medskip

En {\textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}}, vous trouverez les questions portant sur la fonction $g$ définie sur $\R$,

dont on donne le tableau de variation ci-dessous :

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10.5,3.5)
\psframe(10,3)
\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(2.5,0)(2.5,3)  \psline(0,2)(10,2)
\uput[l](1.5,2.75){$x$}  \uput[l](3.35,2.75){$-\infty$} \uput[l](5.5,2.75){$-1$} \uput[l](7.65,2.75){$1$}\uput[l](9.80,2.75){$+\infty$}
\uput[r](0,2.2){Signe de $g^{\prime}(x)$}\uput[l](4.4,2.2){$+$}\uput[l](5.5,2.2){0}\uput[l](6.61,2.2){$-$}\uput[l](7.71,2.2){0}\uput[l](8.8,2.2){$+$}
\rput(1.3,1){ Variations de $g$}\uput[l](3.35,0.25){$0$}\uput[l](5.5,1.75){$\e$}\uput[l](7.65,0.25){$-2$}\uput[l](9.8,1.75){$+\infty$}
\psline{->}(3.4,0.3)(5.15,1.60) \psline{->}(5.5,1.6)(7,0.3)\psline{->}(7.55,0.3)(9.4,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

Compléter le QCM fourni en \textbf{annexe A}.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse
n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.

Aucune justification n'est demandée.

\newpage

\textbf{Exercice 3 :} \hfill (10,5 points)

\medskip

La courbe $ \mathcal{C} $ donnée dans le \textbf{document 1} est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable
sur $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

 La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Par lecture graphique, en expliquant votre démarche, déterminer :
\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 0$ .
\item Le nombre dérivé $f ^{\prime}(0)$ .
\item Le sens de variation de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{3}{2}\right]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right]$ par $f(x)=-\dfrac{1}{2}\e^{2x}+x+\dfrac{9}{2} $

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout x de $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right]$

\item \begin{enumerate}
 \item Résoudre dans $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right]$  l'inéquation $- \e^{2x} +1 \geqslant 0 $.
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right]$

On donnera la valeur exacte de $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
\end{enumerate}

\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

\item \begin{enumerate}\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle \text{I} = \int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

\item  Interpréter graphiquement ce résultat
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Document 1}
\end{center}


\vspace{3cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-3)(2,5.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-9.1,-3)(2.4,5.25)
\multido{\n=-9+1}{12}{\psline[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\n,-3.5)(\n,5.2)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-9,\n)(2.2,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=8000]{-8.2}{1.48169}{2.71828 2 x mul exp 1 2 div mul neg x add 9 2 div add}
\uput[u](-8,4){$\mathcal{D}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](-7,-3){$\mathcal{C}$ }
\psline[linecolor=blue!30,linewidth=0.75pt](-9,4)(2.2,4)
%\psline[linestyle=dashed](-4.71239,0)(-4.71239,4.71239)
%\psline[linestyle=dashed](3.14159,0)(3.14159,-6.14159) 



\end{pspicture}
\newpage
\begin{center}
{\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}}
\end{center}
\medskip

{\textbf{Exercice 2 QCM}}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, cocher l'affirmation qui est exacte.
\begin{enumerate}
\item L'équation $g ( x ) = 1$ admet dans $\R$ 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
 trois solutions & deux solutions & une solution\\
\end{tabularx}\]
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $g (x)\leqslant 0$ est
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$]- \infty~;~-1]$ &$[-1~;~1]$ & on ne sait pas
\end{tabularx}\]
\item  La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $g$ admet une asymptote d'équation
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
 x = 0 & y = 0& y = \e \\
\end{tabularx}\]
\item \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$g(-2) < g(1)$ & $g(0) < g(0,5)$ & $g(2) < g(3)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{document}