\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
%\usepackage{slashbox}
\usepackage{cancel}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=1.5cm, bottom=2.6cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small correction \hspace{3mm}{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Nouvelle--Calédonie novembre 2009}\hspace{3mm} Correction}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

La probabilité qu'un tireur à l'arc atteigne sa cible est égale à $\dfrac{3}{4}$.

Le tireur effectue 12 lancers successifs et indépendants.

X est la variable aléatoire égale au nombre de fois où le tireur atteint sa cible.

\medskip

Les réponses au  QCM sont données en annexe A.

%Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

%Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans une kermesse, un jeu est organisé. Le joueur réalise un tirage en deux étapes.

\medskip

\textbf{1\up{re} étape :}

\medskip

Le joueur tire au hasard un billet dans un sac. Dans ce sac, on a placé 4 billets indiscernables au toucher :

3 billets sont marqués \og U$_{1}$ \fg{} et 1 billet est marqué \og U$_{2}$ \fg.

\medskip

\textbf{2\up{e} étape :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le joueur a obtenu un billet marqué \og U$_1$ \fg, il tire alors un jeton dans une urne U$_{1}$.
Dans cette urne sont placés 10 jetons :
8 jetons sont marqués \og perdant \fg{} et 2 jetons sont marqués \og gagnant\fg.
\item[$\bullet~$] Si le joueur a obtenu le billet marqué \og U$_{2}$ \fg, il tire alors un jeton dans une urne U$_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans cette urne sont placés 10 jetons :

5 jetons sont marqués \og perdant \fg{} et 5 jetons sont marqués \og gagnant\fg.

On note U$_{1}$ l'événement \og le joueur a tiré un billet U$_{1}$ \fg.

On note U$_{2}$ l'événement \og le joueur a tiré un billet U$_{2}$ \fg.

On note G l'événement \og le joueur a tiré un jeton marqué \og gagnant \fg.

Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près si nécessaire.

\begin{enumerate}
\item  Construisons un arbre de probabilités  décrivant cette situation en précisant les probabilités sur chaque branche.

\begin{center}
%\psset{nrot:U,labelpos=0.1pt}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$U_1$}\taput{\small{$\frac{3}{4}$}}}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{\small{$\frac{1}{5}$}}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{\small{$\frac{4}{5}$}}   
	  } 
	\pstree{\TR{$U_2$}\tbput{\small{$\frac{1}{4}$}}}
	  {
		  \TR{$G$}\taput{\small{$\frac{1}{2}$}}
	 \TR{$\overline{G}$}\tbput{\small{$\frac{1}{2}$}}
 }
}
\end{center}

\item Calculons la probabilité de l'événement U$_{1} \cap$ G.\[p(\text{U}_1\cap\text{G})=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{20}=\np{0.15}\]
Calculons maintenant, la probabilité  de l'événement U$_{2}~\cap$~G.\[p(\text{U}_2\cap\text{G})=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}=\np{0.125}\]
\item Déterminons la probabilité de l'événement G. \[p(\text{G})=p(\text{U}_1\cap\text{G})+p(\text{U}_2\cap\text{G})=\dfrac{3}{20}+ \dfrac{1}{8}=\dfrac{11}{40}=\np{0.275}\]
\item Sachant que le joueur a gagné, la probabilité que son billet gagnant soit tiré de l'urne U$_{1}$ est $p_{\text{G}}(\text{U}_1)$.
\[ p_{\text{G}}(\text{U}_1)=\dfrac{p(\text{G}\cap\text{U}_1)}{ p({\text{G}})}=\dfrac{\frac{3}{20}}{\frac{11}{40}}=\frac{3}{20}\times\frac{40}{11}=\frac{6}{11}\approx\np{0.545}\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe B est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur I = ]2~;~10] par

\[f(x) = a \ln(x - 2) - x + b \quad \text{où} ~ a~ \text{et}~ b~\text{sont deux réels.}\]

La droite (T), tangente à la courbe au point A d'abscisse 8, est parallèle à l'axe des abscisses.
\begin{enumerate}
\item Déterminons graphiquement :
\begin{description}
\item[a. $f(3)$.] Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 3. Il en résulte $f(3)=-1$.
\item[b. $f'(8)$.]  Au point de la courbe d'abscisse 8, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est nul. Le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ à la courbe représentative de $f$, par conséquent $f'(8)=0$.
\end{description}
\item Calculons $f'(x)$ pour tout $x$ de ]2~;~10].
\[f^\prime(x)=a\dfrac{1}{x-2}-1=\dfrac{a}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2}=\dfrac{a+2-x}{x-2}\]
\item Déterminons les réels $a$ et $b$.

\begin{tabular}{ccccc}
$\begin{cases}
f(3)=a\ln(3-2)-3+b\\
f^\prime(8)=\dfrac{a+2-8}{x-2}
\end{cases}$
&
d'où
&
$\begin{cases}
-3+b=-1\\
\dfrac{a-6}{6}=0
\end{cases}$
&
par conséquent
&
$\begin{cases}
b=2\\
a=6
\end{cases}$\\
\end{tabular}

\medskip

Il en résulte $f(x)=6\ln(x-2)-x+2$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que $f$ est la fonction définie sur I = ]2~;~10] par 

\[f(x) = 6 \ln(x - 2) - x + 2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en 2.
		
		\[\displaystyle \lim_{x \to 2}f(x)=\lim_{x \to 2}4\ln(x-2)+\lim _{x \to 2}-x+2=(-\infty)+(0) =-\infty.\] car $\displaystyle \lim_{X \to 0}\ln X=-\infty$.
		
\item Par conséquent, la droite d'équation $x=2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.   
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la fonction dérivée de $f$, pour tout $x\in I$.
 \[f^\prime(x)=6\dfrac{1}{x-2}-1=\dfrac{6}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2}=\dfrac{8-x}{x-2}.\]
{\scriptsize \emph{remarque}

 Puisque la fonction $f$ est celle de la Partie A avec $a=6$ et $b=2$, en remplaçant par ces valeurs dans le calcul précédent de $f^\prime(x)$, nous avons bien
 $f'(x) = \dfrac{8 - x}{x - 2}$ pour tout $x$ de I.}
		\item   Pour tout $x\in I,\quad x-2>0$ par conséquent $f'(x)$ est du signe de $(8 - x)$ sur I.
		
		Dans $\R$,	$8-x>0$ si et seulement si $x<8$.
 		
 		par conséquent si $2< x <8, \quad f'(x)>0$ et si $8<x\leqslant 10,\quad f^\prime(x)<0$.
 		\item  Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
		
$f'(x)>0$  sur $\mathopen{]}2~;~8 \mathclose{[}$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

$f'(x)<0$ sur $\mathopen{]}8~;~10\mathclose{]}$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $f$ sur $\mathopen{]}2~;~10 \mathclose{]}$ . 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$2$} \uput[u](4.5,2.45) {$8$}    \uput[u](7.73,2.45){$10$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[d](7.32,0.45){$18\ln2-8 $}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$6\ln6-6$}
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip
$f(8)= 6\ln(8-2)-8+2=6\ln6-6$.

 $f(10)= 6\ln(10-2)-10+2=6\ln8-8=18\ln2-8$.
\end{enumerate}
		\item Déterminons une équation de la tangente (T$_{1}$) à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 3. 

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est  $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$.

 $f(3)=6\ln(3-2)-3+2=-1 \quad f^\prime (0)=\frac{8-3}{(3-2)}=5$.

Une équation de la tangente (T$_{1}$) à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $3$ est $y=5(x-3)-1$ ou  en simplifiant $y=5x-16$.  

\item   (T$_{1}$) et l'asymptote $x=2$ sont tracées dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur I par :
		
\[F(x) = 6(x - 2)\ln(x - 2) - \dfrac{1}{2}x^2 - 4x\]
		
 $F$ est une primitive de $f$ sur I si $F^\prime=f$.
Déterminons la dérivée de $F$.

\[F^\prime(x)=6(1)\ln(x-2)+6\cancel{(x-2)}\times\dfrac{1}{\cancel{x-2}}-\dfrac{1}{2}(2x) - 4=6\ln(x-2)-x+2=f(x)\]
		\item  Calculons la valeur exacte, puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\displaystyle\int_{4}^8 f(x)\:\text{d}x$.
	\[\displaystyle\int_{4}^8 f(x)\:\text{d}x =\Big[F(x)\Big]^{8}_4=F(8)-F(4)=36\ln6-32-32-(12\ln2-8-16)=36\ln6-12\ln2-40=12\ln108-40.\]	
{\small\emph{remarque} $36\ln6-12\ln2 =12(3\ln6-\ln2)=12\ln\frac{6^3}{2}=12\ln108$.}

	$\displaystyle\int_{4}^8 f(x)\:\text{d}x\approx \np{16.19}.$

$f$ étant continue et positive sur 	$\mathopen{[}4~;~8 \mathclose{]}$, 
$\displaystyle\int_{4}^8 f(x)\:\text{d}x$  représente l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 4$ et $x = 8$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)} \end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : QCM}

\medskip

Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$n = 12 ~\text{et}~p =\dfrac{3}{4}$ &$n = \dfrac{1}{4}~\text{et}~	p = 12$	\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item  La probabilité que le tireur atteigne 9 fois la cible, arrondie à $10^{-4}$ près, est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
\np{0,0317} & \np{0,0004}	\\
\hspace{-3.5mm}\ding{52}\np{0,2581}	& \np{0,0751}	\\
\end{tabularx}
 
 $p(\text{X}=9)=\dbinom{12}{9}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^9\right)\left(\left( \frac{1}{4}\right )^3\right)$.
\medskip


\item  La probabilité que le tireur atteigne au moins 10 fois la cible est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
$P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)$ &$1 - [P(\text{X} = 10) + P(\text{X} = 11) + P(\text{X} =~12)]$		\\
$1 - [P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)]$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$ P(\text{X} = 10) + P(\text{X} = 11) + P(\text{X} = 12)$\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 

\item L'espérance de la variable aléatoire X est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\Box~~$}X}}
3 &	\hspace{-3.5mm}\ding{52}9	\\
1 & 4 \\
\end{tabularx}
  
  Pour une loi binomiale, l'espérance de la variable aléatoire X est $np$.
\medskip
 

\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE B }%(à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Représentation graphique de} \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-16)(11,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-16)(11,8)
\psplot[plotpoints=10000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.07}{10}{x 2 sub ln 6 mul x sub 2 add}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,-16)(\n,8)}
\multido{\n=-16+1}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(11,\n)}
\psline{<->}(6,4.75056)(10,4.75056) \uput[r](10,4.75056){(T)}\uput[u](8,4.75056){A}\uput[r](2.1,-15){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=red,linewidth=0.5pt] {0}{4.8}{ 5 x mul 16 sub}\uput[l](4.65,7.25){(T$_1$)}
\psline[linecolor=green,linewidth=0.75pt](2,-16)(2,8)
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=lightgray](4,0)(4,2.1589)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=0.25pt,linecolor=blue]{4}{8}{6 x 2 sub ln mul 2 x sub add}
\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=lightgray](8,4.7506)(8,0)
}
\uput[u](6.25,2){{\huge\textcolor{red}{$\mathcal{A}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}





