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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD 2A}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Antilles-Guyane 18 juin 2015~\decofourright}\\\textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Un designer de l'entreprise \og Duo \fg{} lance un projet de fauteuil double (figure 1). Le profil du dossier de ce fauteuil est modélisé mathématiquement. On se propose, au cours des deux parties du
problème, d'en effectuer le tracé en annexe 1.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=1.1pt}
\begin{pspicture}(6,6.5)
%\psgrid
\psline(0.6,2.3)(0.6,3.52)
\psline(3,2.3)(3,5.1)
\psline(5,0.9)(5,3.9)
\psline(5.3,2)(5.3,2.4)
\psline(5.45,3)(5.45,4.6)
\psbezier(0.85,6.4)(0.45,5.2)(0,5.15)(1.7,5)
\psbezier(1.7,5)(5,5.2)(4.5,5.2)(5.3,5)
\psbezier(5.3,5)(5.7,4.6)(5.2,4.1)(5,3.9)
\psbezier(5.3,3.2)(5.7,2.8)(5.2,2.3)(5,2.1)
\psline(0.45,3.55)(0.45,5.35)
\psline(0.85,5.08)(0.85,6.4)
\psbezier(0.45,3.58)(1.4,3.05)(1.4,3.3)(1.7,3.2)
\psbezier(1.7,3.2)(5,3.4)(4.5,3.4)(5.3,3.2)
\psbezier(5.3,3.2)(5.7,2.8)(5.2,2.3)(5,2.1)
\psbezier(5,2.1)(3,2.6)(3.3,2.9)(3,3.25)
\rput(3,0.5){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A : Étude de la fonction associée à un premier dossier}

\medskip

Le profil de l'un des deux dossiers de ce fauteuil peut être modélisé par un arc de parabole noté $P_f$ dont l'équation est de la forme $y = - x^2 + 6x - 8$.

On considère la fonction $f$ définie sur [2~;~4] par : 

\[f(x) = - x^2 + 6x - 8.\]

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~4]. Justifier.
\item  Recopier et compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau de valeurs de la fonction $f$ ci-dessous (on laissera les valeurs exactes).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&2	&2,25	&2,5	&2,75	&3	&3,25	&3,5	&3,75	&4\\ \hline
$f(x)$	&	&		&		&		&	&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Tracer, sur l'annexe 1, l'arc de parabole $P_f$ représentatif de la fonction $f$ sur
l'intervalle [2~;~4].
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f'(2)$, nombre dérivé de la fonction $f$ en $2$, est égal à $2$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Tracer, sur l'annexe 1, la tangente $(T)$ à $P_f$ au point A d'abscisse $2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination de la fonction associée au second dossier}

\medskip

Le profil du second dossier du fauteuil est un arc de parabole noté $P_g$ représentant la fonction $g$ définie sur [2~;~4] par :

\[g(x) = ax^2 + bx + c\quad  \text{où}\:\: a,\: b \:\text{et}\: c\:\: \text{sont des nombres réels.}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Cet arc de parabole $P_g$ passe par l'origine du repère O(0~;~0) et se raccorde à l'arc $P_f$ au point A de coordonnées (2~;~0).
		
En déduire les valeurs de $g(0)$ et de $g(2)$.
		\item On veut que les deux arcs de parabole admettent une tangente commune au point
d'abscisse 2.
		
À l'aide de la question 4. a. de la partie A, préciser la valeur du nombre dérivé $g'(2)$.
	\end{enumerate}
\item En exploitant les résultats des deux questions précédentes 1. a. et 1. b., établir que $c = 0$, puis que $a$ et $b$ sont solutions du système:
	
	\[\left\{\begin{array}{l c l}
4a+2b &=&0\\
4a+b&=&2
	\end{array}\right.\]
	
Résoudre le système et en déduire l'expression de la fonction $g$.
\item On admet que l'arc de parabole $P_g$ est symétrique de l'arc $P_f$ par rapport au point A.
Tracer $P_g$, sur l'annexe 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Un infographiste doit retoucher la photo d'une route plane et rectiligne traversant un désert américain
jusqu'à l'horizon. li veut y insérer deux panneaux publicitaires rectangulaires identiques, posés sur des pieds, de telle sorte que l'écartement entre les panneaux soit égal au double de la largeur de chaque panneau, et que la hauteur de chaque panneau soit égale au double de la hauteur de chaque pied.

On a ainsi, sur la figure 2 ci-dessous, son projet représenté en perspective parallèle :
\begin{center}
AB = BC = CD = DE \quad et \quad  IF = $2$AF.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,6.5)
\psline(2.4,0.2)(9.6,3.3)
\psline(0,0.6)(9.6,4.8)
\psline(1.85,1.4)(1.85,3.7)(3.3,4.3)(3.3,2)%AIHB
\psline(6,3.25)(6,5.5)(7.3,6.05)(7.3,3.8)%DMLE
\psdots[dotscale=0.75](4.6,2.6)%C
\uput[d](1.85,1.4){A} \uput[d](3.3,2){B} \uput[d](4.6,2.6){C} 
\uput[d](6,3.25){D} \uput[d](7.3,3.8){E} \uput[l](1.85,2.2){F} 
\uput[r](3.3,2.9){G} \uput[ur](3.3,4.3){H} \uput[l](1.85,3.7){I} 
\uput[l](6,4){J} \uput[r](7.3,4.6){K} \uput[r](7.3,6.05){L} 
\uput[l](6,5.5){M} 
\psline(1.85,2.2)(3.3,2.9)%FG
\psline(6,4)(7.3,4.6)%JK
\rput(5,0.2){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'annexe 2représente la photo retouchée par le graphiste, qui est une situation de
perspective centrale.

Sur cette annexe :
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point c, image du point C, et justifier sa construction.
		\item Justifier la construction du point i, image du point 1.
		\item Terminer avec précision la construction sur l'annexe 2. Laisser les traits de
construction apparents et repasser en traits forts les contours des panneaux et des
pieds.
	\end{enumerate}
\item Le graphiste décide finalement de travailler sur une autre prise de vue représentée en
annexe 3, mais la présence d'une source lumineuse ponctuelle le contraint à intégrer les ombres des panneaux et des pieds sur la photo.
		
Sur l'annexe 3, le point s représente la source lumineuse, le segment [sv] est vertical et v est
un point du sol.
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'ombre du segment [ai], et justifier cette construction.
		\item Terminer la construction des ombres des pieds et des panneaux, en laissant les traits de construction apparents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 8 points}

\medskip

Un parquet est composé de pièces de bois de forme identique (figure 3), appelées dans la suite
\og élément de base $T$ \fg.

Le recouvrement du sol par ce parquet est une situation de pavage du plan.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.25)
\pspolygon(1,1)(1,3)(3,3)(5,1)
\rput(3,0.2){Figure 3 - élément de base $T$}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans un repère orthonormé du plan (O~;~I~;~J) la pièce de bois est représentée par le trapèze
rectangle OABJ (figure 4). Les points A et B ont pour coordonnées : A(2~;~0) et B(1~;~1).

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.8)(4.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5](-1.2,-1.)(4.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.2,-1.2)(4.2,2.2)
\pspolygon(0,0)(0,1)(1,1)(2,0)
\psdots(0,0)(0,1)(1,1)(2,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](0,1){J} \uput[ur](1,1){B} \uput[ur](2,0){A}\uput[dl](1,0){I}
\rput(1.5,-1.5){Figure 4}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item On utilise différentes transformations du plan pour réaliser le pavage.
On effectuera tous les tracés demandés sur l'annexe 4.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le symétrique de OABJ par rapport à l'axe (OA) en nommant
respectivement C et D les symétriques de B et J.
		\item Construire le symétrique du polygone ABJDC par rapport au point A.
		\item Construire l'image, par la rotation de centre A et d'angle 90\degres dans le sens antihoraire, des deux polygones obtenus précédemment.
		
Quelle est l'image du segment [AB] par cette rotation ? Justifier la réponse.

\smallskip
		
L'ensemble constitue alors un motif $M$ constitué de quatre pentagones.
		\item Déterminer deux translations qui, appliquées successivement, permettent de paver le
plan à partir du motif $M$ : tracer sur l'annexe 4 un représentant des vecteurs de
chacune de ces translations.
		
Paver ainsi la zone rectangulaire délimitée par les pointillés en annexe 4.
	\end{enumerate}
\item Dans l'élément de base $T$, on souhaite teinter le triangle ABJ en noir et le triangle OAJ en blanc, pour faire en sorte que le pavage ne soit pas uni.
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'annexe 4, griser les parties du parquet teintées en noir.
		\item On s'intéresse au triangle ABJ :
		
Calculer le produit scalaire $\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{JB}}$.
		
En déduire une valeur arrondie, au dixième de degré près, de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$.
		\item Quelle proportion relative de noir et de blanc faut-il prévoir pour teinter le pavage ?
	\end{enumerate}
\item Un autre motif de parquet est représenté en annexe 5.
	
Comment colorier l'élément de base $T$ pour obtenir, par le même procédé de construction
du motif $M$, le pavage fourni en annexe 5 ?
\end{enumerate} 
 
\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 - exercice 1}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(4.5,1.75) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=4,griddots=16,subgriddots=8](-0.5,-1.5)(4.5,1.75) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.49,-1.49)(4.5,1.75) 
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}


\begin{landscape}

\psset{unit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(25,15)
%\psgrid
\rput{-90}(24.5,6){\textbf{ANNEXE 2 - exercice 2}}
\rput{-90}(23.5,6){\textbf{(à rendre avec la copie)}}
\psline(0,9)(19,9)
\psline(0.7,0.3)(14,9)
\psline(6,0.2)(14,9)
\uput[u](15.5,9){ligne d'horizon}
\psline(5.2,3.1)(5.2,4.9)
\psline(5.2,4.4)(5.6,4.6)
\psline(10.1,6.5)(10.1,7)
\uput[dr](5.2,3.1){a}\uput[l](5.2,4.4){f}\uput[dr](10.1,6.5){e}
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](14,9)(5.2,4.4)
\end{pspicture}

\end{landscape}
\newpage

\begin{landscape}

\psset{unit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(0,-1)(25,16)
%\psgrid
\rput{-90}(24,2){\textbf{ANNEXE 3 - exercice 2}}
\rput{-90}(23,2){\textbf{(à rendre avec la copie)}}
\psline(0.5,0)(20.4,9)(5.8,0)
\psline(0,9)(21,9)
\uput[u](17.5,9){ligne d'horizon}
\psline(7,2.9)(7,6.6)(10.3,7.2)(10.3,4.4)%aihb
\psline(13.6,5.9)(13.6,7.75)(14.6,7.95)(14.6,6.4)%dmle
\psline(7,4.15)(10.3,5.35)%fg
\psline(13.6,6.5)(14.6,6.8)%jk
\psline(2.6,4.4)(2.6,10.2)%vs
\uput[d](7,2.9){a} \uput[d](10.3,4.4){b} \uput[d](13.6,5.9){d} 
\uput[d](14.6,6.4){e} \uput[l](7,4.15){f} \uput[r](10.3,5.35){g} 
\uput[r](10.3,7.2){h} \uput[l](7,6.6){i} \uput[l](13.6,6.5){j} 
\uput[r](14.6,6.8){k} \uput[r](14.6,7.95){l} \uput[l](13.6,7.75){m} 
\uput[dl](2.6,4.4){v} \uput[ul](2.6,10.2){s}  
\end{pspicture}

\end{landscape}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 4 - exercice 3}

\medskip

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.5)(11.2,6.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5](-1.2,-2.5)(11.2,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.2,-2.5)(11.2,6.5)
\pspolygon(0,0)(0,1)(1,1)(2,0)
\psframe[linestyle=dashed](0,-2)(10,6)
%\psdots(0,0)(0,1)(1,1)(2,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](0,1){J} \uput[ur](1,1){B} \uput[ur](2,0){A}\uput[dl](1,0){I}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\textbf{ANNEXE 5 - exercice 3}

\vspace{0,5cm}
\begin{pspicture*}(11.5,8.5)
\psset{unit=1cm}
\def\aoj{\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(0,0){\pspolygon*(0.42,0)(1.26,0)(0.42,0.42)\pspolygon*(0.42,0)(1.26,0)(0.42,-0.42)\psframe*(-0.42,-0.42)(0.42,0.42)}}}
\rput(-0.75,0){\aoj}\rput(1.75,0){\aoj}\rput(4.25,0){\aoj}\rput(6.75,0){\aoj}\rput(9.25,0){\aoj}\rput(11.75,0){\aoj}
\rput(0.5,2){\aoj}\rput(3,2){\aoj}\rput(5.5,2){\aoj}\rput(8,2){\aoj}\rput(10.5,2){\aoj}
\rput(-0.75,4.){\aoj}\rput(1.75,4.){\aoj}\rput(4.25,4){\aoj}\rput(6.75,4){\aoj}\rput(9.25,4){\aoj}\rput(11.75,4){\aoj}
\rput(-2,6){\aoj}\rput(0.5,6){\aoj}\rput(3,6){\aoj}\rput(5.5,6){\aoj}\rput(8,6){\aoj}\rput(10.5,6){\aoj}
\rput(-0.75,8){\aoj}\rput(1.75,8){\aoj}\rput(4.25,8){\aoj}\rput(6.75,8){\aoj}\rput(9.25,8){\aoj}\rput(11.75,8){\aoj}
\end{pspicture*}

\end{center}


\end{document}