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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD 2A}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Antilles-Guyane 18 juin 2014~\decofourright}\\[4pt]\textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

\medskip
 
Un designer-graphiste a imaginé le logo ci-dessous. Il est constitué de deux demi-cercles concentriques et d'une courbe. L'objectif de cet exercice est de reproduire ce logo. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(6,5.5)
\psarc(2,2){3}{0}{180}
\psarc(2,2){2.828}{45}{225}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{5}{x dup mul 0.64 mul  x 3 exp 0.072 mul sub x sub}
\qdisk(2,2){3pt}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A : Les demi-cercles}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le repère orthonormal \Oij{} de l'annexe 1, on a placé les points A(5~;~2) et B$(-1~;~2)$ puis on a tracé le demi-cercle supérieur joignant les points A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB]. 
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d'intersection de l'axe des ordonnées avec ce demi-cercle.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure de l'annexe 1, placer le point C(4~;~4) puis tracer le demi-cercle joignant les points C et O, correspondant au deuxième demi-cercle du logo. 
		\item Tracer la droite $(T)$, tangente à ce demi-cercle au point O. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de $(T)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : La courbe}

\medskip
 
On souhaite construire la base du logo avec un raccordement lisse en O.
 
Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~5] par 

\[f(x) = - 0,072 x^3 + 0,64 x^2 - x.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le repère de l'annexe 1.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points O et A. 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Calculer $f'(5)$ et donner une interprétation graphique du résultat obtenu. 
		\item Vérifier que $f'(x) = 0,008 (5 - x)(27x - 25)$.
	\end{enumerate} 
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5]. 
\item Sur l'annexe 1, compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ (on arrondira à $10^{-3}$ près). 
\item Sur l'annexe 1, compléter le logo en traçant $\mathcal{C}_{f}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie sans aucune justification.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapportera $1$ point. Une fausse réponse ne rapportera aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le niveau d'intensité sonore, exprimé en décibels (dB), est donné par la formule : 

\[L = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_{0}} \right)\]

où $I$ représente l'intensité sonore exprimée en W/m$^2$ et $I_{0}$ une intensité sonore de référence.
 
Si $L = 70$~dB, alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $I  = 10^{-7}I_{0}$&\textbf{b.~~} $I = = 7I_{0}$	& 
\textbf{c.~~} $I = = 10^{7}I_{0}$& \textbf{d.~~} $I = \log (60)I_{0}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère le cube ABCDEFGH représenté dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0.5,0.8)(3.8,0.1)(3.8,3.4)(0.5,4.1)%ABFE
\psline(3.8,0.1)(5.1,1.5)(5.1,4.8)(3.8,3.4)%BCGF
\psline(5.1,4.8)(1.8,5.5)(0.5,4.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(1.8,2.2)(5.1,1.5)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.8,2.2)(1.8,5.5)%DH
\uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[dr](3.8,0.1){B} \uput[r](5.1,1.5){C} \uput[ur](1.8,2.2){D} 
\uput[ul](0.5,4.1){E} \uput[dr](3.8,3.4){F} \uput[ur](5.1,4.8){G} \uput[ul](1.8,5.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center} 

Le triangle EBD est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}  quelconque& \textbf{b.~~}  isocèle non équilatéral& 
\textbf{c.~~}  rectangle& \textbf{d.~~}  équilatéral
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Le cube précédent est invariant par rotation d'axe (AG) et d'angle : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 60 \degres&\textbf{a.~~} 90 \degres&\textbf{c.~~} 120 \degres&\textbf{d.~~}   180 \degres  
\end{tabularx}
\medskip 

\item On a représenté en perspective centrale le carrelage ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\psframe(6,6)
\pspolygon(3,0)(6,3)(3,6)(0,3)
\pspolygon*(0,3)(1.5,1.5)(3,3)(1.5,4.5)
\pspolygon*(3,3)(4.5,1.5)(6,3)(4.5,4.5)
\end{pspicture}
\end{center}

(h) désignant la ligne de fuite du plan contenant ce carrelage, dans quel cas les règles de perspective centrale ont-elles été respectées ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.}&\textbf{b.}\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,5.5) 
\psline(0,4.6)(7.,4.6) \uput[u](7,4.5){$h$}
\pspolygon(3.2,0.1)(4.2,2.3)(2.6,2.7)(1.2,2.1)
\pspolygon(1.75,1.5)(3.9,1.7)(3.2,2.6)(2,2.45)
\pspolygon*(2.9,1.6)(3.9,1.7)(3.4,2.3)(2.7,2.2)
\pspolygon*(2.7,2.2)(2.6,2.5)(2,2.5)(1.95,2.1)
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(8.5,5.5)
\psline(0,4.6)(7.,4.6) \uput[u](7,4.5){$h$}
\pspolygon(1.3,3)(3.3,1.2)(4.4,4)(3.3,4.3)
\pspolygon(2,2.4)(4.1,3.3)(3.7,4.2)(2.6,3.85)
\pspolygon*(3.3,2.93)(4.1,3.3)(3.9,3.8)(3.3,3.6)
\pspolygon*(3.3,3.6)(3.3,4.1)(2.6,3.85)(2.35,3.2)
\end{pspicture}\\
\textbf{c.}&\textbf{d.}\\ 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,5) 
\psline(0,4.6)(7.,4.6) \uput[u](7,4.5){$h$}
\pspolygon(0.7,1.2)(4,1.2)(5.7,3.4)(2.3,3.4)
\pspolygon(2.4,1.2)(4.85,2.35)(4.05,3.4)(1.6,2.3)
\pspolygon*(1.6,2.3)(2,1.7)(3.25,2.3)(2.8,2.85)
\pspolygon*(3.25,2.3)(3.63,1.8)(4.85,2.35)(4.45,2.9)
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,5) 
\psline(0,4.6)(7.,4.6) \uput[u](7,4.5){$h$}
\pspolygon(1.2,0.7)(4.7,0.7)(2.85,3.15)(1.5,3.15)
\pspolygon(2.95,0.7)(3.74,1.95)(2.25,3.15)(1.35,2)
\pspolygon*(3.4,1.4)(3.74,1.95)(3,2.5)(2.55,1.96)
\pspolygon*(2.55,1.96)(1.75,2.53)(1.4,2)(2.15,1.4)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\medskip

\item On considère l'ellipse dont l'équation réduite est : 

\[\dfrac{(x + 2)^2}{9} + \dfrac{(y - 1)^2}{4} = 1.\]  

Cette ellipse est représentée dans un repère orthonormal par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.}&\textbf{b.}\\
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(6,1.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.9,-3)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psellipse(2,-1)(3.5,2)\uput[dl](0;0){0}
\end{pspicture*}
&\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(5.5,3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-1.5)(5.5,2.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psellipse(2,1)(3,2)\uput[dl](0;0){0}
\end{pspicture*}\\
\textbf{c.}&\textbf{d.}\\ 
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-5.5,-1.5)(1.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5.5,-1.5)(1.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psellipse(-2,1)(3,2)\uput[dl](0;0){0}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-5)(4.5,1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.5,-4.9)(4.5,0.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psellipse(1,-2)(3,2.5)\uput[dl](0;0){0}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Dans un repère orthonormal de l'espace, on considère les vecteurs: 

\[\vect{u}(5~;~1~;~0) \quad \text{et} \quad  \vect{v}(1~;~-3~;~1).\]
 
Le produit scalaire $\vect{u} \cdot  \vect{v}$ vaut : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 1$& 
\textbf{b.~~} $0$ &
\textbf{c.~~} $1$ &
\textbf{d.~~} $2$
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\begin{center}

\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante}
 
\medskip
 
\textbf{Partie A : observation du pavage}
\end{center}
 
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on a construit le pavage donné en annexe 2.
 
Ce pavage est constitué d'hexagones identiques.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle transformation permet de passer de l'hexagone 1 à l'hexagone 2. Préciser les caractéristiques de cette transformation.
\item Hachurer sur le pavage de l'annexe 2 tous les hexagones qui sont l'image de l'hexagone 1 par une translation.
\end{enumerate}

\begin{center}
 
\textbf{Partie B : Obtention du motif}
\end{center} 

On considère un triangle équilatéral ABC de côté 5~cm et un point M situé à l'intérieur du triangle ABC tel que AM = 4~cm et BM = 2~cm.
 
Le point M$_{1}$ est l'image du point M par la symétrie axiale d'axe (AB).
 
Le point M$_{2}$ est l'image du point M par la symétrie axiale d'axe (BC).
 
Le point M$_{3}$ est l'image du point M par la symétrie axiale d'axe (AC). 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,11.5)
\pspolygon[linewidth=1.2pt](1.4,2)(8,2.2)(4.5,7.9)%ABC
\psline[linewidth=0.6pt](1.4,2)(6.3,0.2)(8,2.2)%AM1B
\psline[linewidth=0.6pt](1.4,2)(0.6,7.3)(4.5,7.9)%AM3C
\psline[linewidth=0.6pt](8,2.2)(7,4.8)(4.5,7.9)%BM2C
\psline[linestyle=dashed](1.4,2)(6.15,4.2)(8,2.2)%AMB
\psline[linestyle=dashed](6.15,4.2)(4.5,7.9)%MC
\uput[dl](1.4,2){A} \uput[dr](8,2.2){B} \uput[u](4.5,7.9){C} 
\uput[d](6.3,0.2){M$_{1}$} \uput[ur](7,4.8){M$_{2}$} \uput[ul](0.6,7.3){M$_{3}$} 
\uput[ul](6.15,4.2){M} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'hexagone AM$_{1}$BM$_{2}$CM$_{}$ a pour aire le double de l'aire du triangle ABC. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En appliquant la formule d'Al-Kashi dans le triangle MAB, déterminer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ puis la mesure approchée au dixième de degré de cet angle. 
		
		En déduire la mesure approchée au dixième de degré de l'angle 
		$\widehat{\text{MAC}}$. 
		\item Dans cette question, on prendra 37,7~\degres{} comme mesure de l'angle $\widehat{\text{MAC}}$.
		
Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de centimètre près de la longueur CM.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 	

\begin{center}	 
\textbf{Partie C : Construction d'un pavage différent}
\end{center}
 
\emph{L'objectif de cette partie est de construire un pavage différent.\\
 On place cette fois le point M à l'extérieur du triangle équilatéral.}
 
 \medskip
  
Sur l'annexe 3, un triangle équilatéral ABC est tracé. M est un point extérieur au triangle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire le symétrique M$_{1}$ de M par rapport à l'axe (AB), le symétrique M$_{2}$ de M par rapport à l'axe (BC), le symétrique M$_{3}$ de M par rapport à l'axe (AC). Tracer en couleur l'hexagone AM$_{1}$BM$_{2}$CM$_{3}$. 
\item En utilisant des couleurs différentes, construire soigneusement l'image de cet hexagone par la rotation de centre A et d'angle 120~\degres, puis par la rotation de centre A et d'angle 240~\degres, le sens de rotation choisi étant le sens anti-horaire (le sens inverse des aiguilles d'une montre). 

Laisser les traits de construction apparents. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large 
Annexe 1 - Exercice 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\bigskip 


\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-2)(6.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5]
\psarc(2,2){3}{0}{180}
\psdots[dotscale=1.4](0,0)(1,0)(0,1)(-1,2)(2,2)(5,2)
\uput[ul](-1,2){B}\uput[ur](5,2){A}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture*}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&0&1&2&3&4&5\\ \hline
$f(x)$&&&$- 0,016$&&1,632&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe 2 - Exercice 3 (à rendre avec la copie)}

\vspace{3cm}
\psset{unit=0.8cm}
\def\hexagone{\pspolygon(0,0)(-0.3,1.02)(-1.2,2.3)(-2.8,2.15)(-2.6,0.1)(-0.7,-0.75)}  
\begin{pspicture}(15,14)
%\psgrid
\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(6.85,5.9){\hexagone}}
\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(10.83,8.02){\hexagone}}
\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(2.87,3.78){\hexagone}}
\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(3.05,8.3){\hexagone}}%-3.8,2.4
\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(10.65,3.5){\hexagone}}%+3.8,-2.4
\rput(6.68,1.39){\hexagone}
\rput{-120}(6.68,1.39){\hexagone}
\rput{120}(7.03,10.4){\hexagone}
\rput(5.3,6.7){1}\uput[ul](4.3,6){A}\uput[r](5.6,8.2){C}
\uput[ur](6.8,5.9){B}\rput(6.8,4.4){2}
\end{pspicture}
\end{center}


\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe 3 - Exercice 3 (à rendre avec la copie)}

\vspace{6cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\pspolygon(3.4;-60)(3.4;60)(3.4;180)
\uput[l](3.4;180){A} \uput[dr](3.4;-60){B}\uput[ur](3.4;60){C}
\psdots(3.6;-90) \uput[l](3.6;-90){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}