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%Sujet : merci à l'académie de la Martinique
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD 2A}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STD 2A~\decofourright\\Antilles-Guyane 12 septembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{Le dessin ci-contre représente en perspective parallèle le clocher d'une abbaye constitué d'un pavé droit surmonté d'une pyramide à base carrée.

\bigskip 

Il est décoré d'une frise en forme de quadrillage régulier. 

\bigskip
 
Les faces ABCD et EFGH sont horizontales et la face ABFE est située dans le plan frontal.}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{ 
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(3.5,9.3)
\pspolygon(0,0)(2,0)(3.1,1.1)(3.1,7.2)(1.55,8.7)(0,6.2)%ABCGSE
\psline(0,6.2)(3.1,6.2)(3.1,7.2)%EFG
\psline(1.55,8.7)(2,6.2)(2,0)%SFB
\psline[linestyle=dashed](0,6.2)(1,7.2)(3.1,7.2)%EHG
\psline[linestyle=dashed](1.55,8.7)(1,7.2)(1,1.1)%SHD
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.1)(3.1,1.1)%ADC
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,5.9)(0.5,6.2)
\psframe(0.5,5.9)(1,6.2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,5.9)(1.5,6.2)
\psframe(1.5,5.9)(2,6.2)
\psframe(0,5.6)(0.5,5.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,5.6)(1,5.9)
\psframe(1,5.6)(1.5,5.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,5.6)(2,5.9)

\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,6.2)(2.275,6.45)(2.275,6.15)(2,5.9)
\pspolygon(2.275,6.45)(2.55,6.7)(2.55,6.4)(2.275,6.15)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.55,6.7)(2.825,6.95)(2.825,6.65)(2.55,6.4)
\pspolygon(2.825,6.95)(3.1,7.2)(3.1,6.9)(2.825,6.65)

\pspolygon(2,5.9)(2.275,6.15)(2.275,5.85)(2,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.275,6.15)(2.55,6.4)(2.55,6.1)(2.275,5.85)
\pspolygon(2.55,6.4)(2.825,6.65)(2.825,6.35)(2.55,6.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.825,6.65)(3.1,6.9)(3.1,6.6)(2.825,6.35)

\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](3.1,1.1){C} \uput[ur](1,1.1){D} 
\uput[l](0,6.2){E}\uput[ur](1.9,6.28){F}\uput[ur](3.1,7.2){G} \uput[ur](1,7.2){H} 
\uput[ur](1.55,8.7){S} \uput[l](0,5.6){K} \uput[l](0,5.9){L}
\end{pspicture}
\end{center}}

\medskip

\emph{Un dessin est donné en annexe (page $6$). Il est à compléter au fur et à mesure de la résolution de l'exercice et à rendre avec la copie. Les candidats sont invités à laisser apparents les traits de construction.}

\medskip
 
Le but de cet exercice est de représenter en perspective centrale l'assemblage décrit ci-dessus. Les images des points A, B, C, ... sont notées $a, b , c , ...$ sur le dessin en perspective centrale.
 
La droite $(\Delta)$ est la ligne d'horizon.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi les droites $(fg)$ et $(bc)$ se coupent sur la ligne d'horizon et justifier que leur point d'intersection est le point de fuite principal. 
\item Sur le document annexe , placer le point de fuite principal $w$ et compléter la représentation du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. 
\item La hauteur de la pyramide SEFGH a une longueur égale au tiers de la longueur AE. Dessiner cette pyramide dans la représentation en perspective centrale sur le document annexe. 
\item Le haut du clocher est décoré d'une frise en damier. Représenter cette frise sur le document annexe. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

Une \textbf{volute} est un motif d'ornementation, constitué par un enroulement en forme de spirale et utilisé notamment dans les chapiteaux de colonnes ioniques.
 
Le but de cet exercice est de déterminer une fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}_{f}$ restreinte à l'intervalle [0~;~4] permet de raccorder le segment [RO] à une spirale au point I en respectant les trois contraintes suivantes :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est une fonction polynôme de degré 3 
\item Au point O, les tangentes à la courbe $C_{f}$ et au segment [RO] sont communes. 
\item Au point I, les tangentes à la courbe $C_{f}$ et à la spirale sont communes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sur la figure ci-dessous, le repère est orthonormé. Les points R, O , I et C ont pour coordonnées :
 
\[\text{R}(-1~;~0),\quad \text{O}( 0~;~0),\quad  \text{I}(4~;~3) \quad \text{et} \quad  \text{C}( 6~;~2).\] 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.5)(7.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(7.5,6.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{0}{4}{x 3 exp 32 div x dup mul 16 div add}
\psarc[linecolor=blue](6,2){2.23607}{90}{152}
\psarc[linecolor=blue](6,2.88){1.36364}{0}{90}
\psarc[linecolor=blue](6.5,2.88){0.86}{-90}{0}
\psarc[linecolor=blue](6.5,2.5){0.5}{-180}{-90}
\psdots[dotscale=1.1](-1,0)(0,0)(4,3)(6,2)(6,4.236)
\uput[u](2.6,1){$C_{f}$}
\psline[linewidth=1.5pt](-1,0)
\uput[ur](-1,0){R}\uput[ur](0,0){O}\uput[r](4,3){I}\uput[u](6,4.236){B}\uput[dl](6,2){C}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$. 
\item Soit $(T)$ la tangente en I à l'arc de cercle BI de centre C. Soit le point A de coordonnées A(5~;~5). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{IA}}$ et $\vect{\text{IC}}$. Calculer $\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{IC}}$  et en déduire que la droite (IA) et la tangente $(T)$ sont confondues. 
		\item Quel est le coefficient directeur de $(T)$ ? 
		\item En déduire que $f(4) = 3$ et $f'(4) = 2$. 
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ cherchée est une fonction polynôme de degré 3, et s'écrit 

\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad \text{où }\: a, b, c\: \text{et}\: d\: \text{sont des nombres réels}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$. 
		\item En utilisant la question 1, montrer que $c = d = 0$. 
		\item On admet que $f$ est définie par 
		
		\[f(x) = \dfrac{1}{32}x^3 + \dfrac{1}{16}x^2.\]
		
Vérifier les quatre conditions de raccordement: $f(0) = 0,\, f'(0) = 0,$

$f(4) = 3,\:f'(4) = 2$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{x(3x + 4)}{32}$ 	et en déduire  le tableau de variation de $f$ sur [0~;~4]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}
 
\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux méthodes de construction d'une ellipse.

\medskip
 
\emph{Les deux parties de cet exercice sont largement indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Construction d'une ellipse par la méthode du \og jardinier \fg.} 

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,5)
%\psgrid
\psellipse(2.4,2.5)(2.4,1.45)
\psdots(0.5,2.5)(4.3,2.5)(1.1,3.7)
\uput[d](0.5,2.5){A}\uput[d](4.3,2.5){B}\uput[u](1.1,3.7){M}
\psline(0.5,2.5)(1.1,3.7)(4.3,2.5)
\psellipse(8.9,2.5)(2.9,1.7)
\psline(0.5,2.5)(0.5,2.8)\psline(4.3,2.5)(4.3,2.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6,2.5)(8.9,2.5)(11.8,2.5)(8.9,4.2)(8.9,0.8)(6.5,2.5)(11.3,2.5)(6.75,3.6)
\psline(6.5,2.5)(6.75,3.6)(11.3,2.5)
\psline(6,2.5)(11.8,2.5)
\psline(8.9,4.2)(8.9,0.8)
\uput[ur](6.5,2.5){A}  \uput[ur](11.3,2.5){B}  \uput[ul](6.75,3.6){M}  \uput[l](6,2.5){G}  
\uput[u](8.9,4.2){F}  \uput[dr](8.9,2.5){O}  \uput[d](8.9,0.8){H}  \uput[r](11.8,2.5){E}
\psframe(8.9,2.5)(9.2,2.8)  
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tracer une ellipse, Paul plante deux piquets en A et B. Il fixe une extrémité d'une ficelle au piquet A et l'autre extrémité au piquet B. Il tend la ficelle avec un bâton, il déplace le bâton en maintenant la ficelle tendue et il contourne les deux piquets. Son bâton trace une ellipse sur le sol.

\medskip
 
Paul a tracé une ellipse dont les axes mesurent respectivement 15~m et 9~m.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la longueur $\ell$ de la ficelle en utilisant les points M, A et B. 
		\item En considérant les cas où M est en G et en E, montrer que GA = BE puis que $\ell = 15$~mètres.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\ell$ lorsque M est en F. Déterminer la longueur FA. 
		\item Montrer que OA = 6 mètres. 
		\item Quel est l'écartement entre les deux piquets A et B ? 
	\end{enumerate}
\item L'ellipse est tracée dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.375cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(8,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-8,-5)(8,5)
\psellipse(0,0)(7.5,4.5)
\psline(-6,0)(6,2.7)(6,0)
\psdots(-6,0)(6,0)(0,0)(1,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\uput[dr](-7.5,0){G}\uput[dr](0,4.5){F}\uput[dl](7.5,0){E} \uput[ur](0,-4.5){H}
\uput[u](-6,0){A}\uput[ur](6,0){B}\uput[ur](6,2.74){M}
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{ 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les coordonnées des points A, B, E et F. 
		\item Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse. 
Le point M (6~;~2,7) appartient-il à l'ellipse ? 
		\item Justifier par le calcul.
	\end{enumerate}}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Construction de cette ellipse à partir d'un cercle.}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on cherche à établir une autre méthode pour construire l'ellipse étudiée dans la partie A.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le point N$(7,5 \cos(t)~;~7,5 \sin(t))$ où $t$ est un nombre réel fixé.
 
Montrer que le point N appartient au cercle C de centre O et de rayon $7,5$.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{ 
\item On a placé un point N sur la figure ci-contre.
 
La perpendiculaire à (O$x$) en N coupe l'axe des abscisses en K.
 
On considère le point P du segment [NK] tel que $\vect{\text{KP}} = 0,6 \vect{\text{KN}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont, en fonction de $t$, les coordonnées du point K? du vecteur $\vect{\text{KN}}$ ? 
		\item Montrer que les coordonnées du point P sont $(7,5 \cos(t)~;~4,5 \sin(t))$. 
		\item En déduire, par le calcul, que le point P appartient à l'ellipse. 
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-6)(5,6)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=5,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,subticks=1](0,0)(-5,-6)(5,6)
\psellipse(0,0)(3.75,2.25)
\pscircle(0,0){3.75}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.2](0,0)(0.5,0)(0,0.5)(-3.75,0)(3.75,0)(0,2.25)(0,-2.25)(-3,0)(3,0)(2.2,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\uput[ur](-3.75,0){G} \uput[ur](-3,0){A}
\uput[ur](3.75,0){E} \uput[ur](3,0){B}
\uput[ur](0,2.25){F} \uput[ur](0,-2.25){H}
\uput[ul](-2,3){$(C)$}\uput[ur](2.2,3){N}
\end{pspicture}}  	
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document Annexe - À rendre avec la copie}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(16,15)
\psline(0,15)(16,15)
\psline(3.7,6.3)(2.8,5.4)(1,5.4)(1,11.6)
\uput[r](3.7,6.3){$c$}\uput[dr](2.8,5.4){$b$}\uput[dl](1,5.4){$a$}
\uput[l](1,10.7){$k$}\uput[l](1,11.1){$l$}  \uput[l](1,11.5){$e$}
\uput[d](0.5,15){$\Delta$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.2](1,10.7)(1,11.1)(1,11.5)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}