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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STD2A  Nouvelle--Calédonie~\decofourright}\\[5pt] \textbf{27 novembre 2020}}

\medskip

\emph{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg, est autorisé.}
 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}La société DBB, qui produit du prêt-à-porter pour enfant, souhaite changer son ancien logo, pour celui représenté ci-contre.

L'objet de l'exercice est d'étudier une modélisation mathématique de la forme de ce logo qui peut être décomposé en trois parties. Chaque partie peut être modélisée :
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item \og la queue\fg{} de l'éléphant, par la courbe représentative d'une fonction déjà dessinée sur l'annexe 1.
\item \og le corps\fg{} de l'éléphant par un cercle et \og l'oreille\fg{} par un arc de cercle (les pattes et l'œil étant déjà représentés sur l'annexe 1).
\item \og la trompe\fg{} de l'éléphant, par la courbe représentative d'une fonction $f$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth}
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-13,-9)(4,8)
\pscircle[linewidth=1.75pt](-5,-0.5){5.025}
\psarc[linewidth=1.75pt](-3.6,2){1.8}{50}{310}
\psline[linewidth=1.75pt](-8.6,-4)(-8.6,-7)(-6,-7)(-6,-5.45)
\psline[linewidth=1.75pt](-4,-5.45)(-4,-7)(-1.45,-7)(-1.45,-4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.75pt]{-12}{-10}{x dup mul 0.9 mul 21.7 x mul add 127 add}
\pscircle[linewidth=1.75pt](-1.5,0.6){0.5} \psdots[dotscale=1.3](-1.5,0.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.75pt]{0}{2}{x dup mul 9 mul x  13.5 mul sub x  3 exp 1.5 mul sub }
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\emph{L'annexe $1$ est à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip

\textbf{Partie A : Modélisation du \og corps\fg{} de l'éléphant (corps et oreille)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie} sont représentés, dans le repère orthonormé (O~;~I, J), les points de coordonnées suivantes : O(0~;~0), A$(- 5~;~- 0,5)$ et B$(0,5~;~- 6,75)$ et le cercle $C$ constituant le corps de l'éléphant. 

On considère la droite (T) qui passe par les points O et B. On admet que cette droite est tangente au cercle $C$ au point O.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AO}} \cdot \vect{\text{BO}}$.
En déduire que le point A n'est pas le centre du cercle $C$. Justifier.
		\item Tracer la droite (T) en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}, puis en déterminer une équation.
	\end{enumerate}
\item Tracer, sur l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}, la courbe $\mathcal{C}_1$ définie par la représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x(t) &=& -4 + 2 \cos (t)\\
y(t) &=& 2 + 2\sin (t) 
\end{array}\right.  \: \text{pour}\: t \in \left[\dfrac{\pi}{4}~;~\pi\right]\]

Tracer, ensuite la courbe $\mathcal{C}_2$, symétrique de la courbe $\mathcal{C}_1$ par symétrie d'axe la droite $(D)$ d'équation $y = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Modélisation de la \og trompe\fg{} de l'éléphant}

\medskip

On modélise la trompe à l'aide de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction polynomiale de degré 3 sous la forme $f(x) = ax^3 + bx^2+ cx + d$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

L'objectif de cette partie est de déterminer les coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ vérifiant les contraintes suivantes :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Le point O(0~;~0) appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point O est $-13,5$.
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point D$(1~;~- 6)$ et elle y admet une tangente horizontale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire mathématiquement toutes ces contraintes et en déduire que les nombres réels $a$,
$b$, $c$ et $d$ sont solutions du système :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
d		&=&0\\
c		&=&-13,5\\
a +b 	&=&7,5\\
3a +2b 	&=&13,5
\end{array}\right.\]

\item Résoudre ce système et en déduire que l'expression de la fonction $f$ est:

\[f(x) = -\dfrac{3}{2}x^3 +9x^2 -\dfrac{27}{2}x.\]

\item Étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0; 2]. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item Établir les variations de la fonction $f$ sur [0~;~2].
	\end{enumerate}
\item Tracé de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie} $\left(\text{arrondir à }\:10^{-2}\right)$. 
		\item Tracer en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}, la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.49\linewidth}On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AE = 6 cm et AD =12 cm, représenté en perspective cavalière ci-contre.

On considère les points M, N, P, R, S et T sur la figure ci- contre où M est sur [AB], N sur [BC], P sur [BF], R sur [EF], S sur [EH] et T sur [AE] et tels que:

AM = BN = BP = ES = ET = FR= 3 cm, avec $x \in [0~;~6]$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\psframe(0.5,0.5)(3.3,3.3)%ABFE
\psline(3.3,0.5)(6.6,2.4)(6.6,5)(3.3,3.3)%BCGF
\psline(6.6,5)(3.8,5)(0.5,3.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.8,2.4)(3.8,5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](3.8,2.4)(6.6,2.4)%DC
\psline(2.3,0.5)(3.3,2.3)(4.2,1.)%MPN
\psline(0.5,1.5)(1.5,3.3)(1.4,3.8)%TRS
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(1.4,3.8)%TS
\uput[d](0.5,0.5){A} \uput[d](3.5,0.5){B} \uput[r](6.6,2.4){C} \uput[ur](3.8,2.4){D} 
\uput[u](0.5,3.3){E} \uput[u](3.3,3.3){F} \uput[ur](6.6,5){G} \uput[u](3.8,5){H} 
\uput[d](2.3,0.5){M} \uput[dr](4.2,1.){N} \uput[r](3.3,2.3){P} \uput[ur](1.5,3.3){R} 
\uput[ul](1.4,3.8){S} \uput[l](0.5,1.5){T} 
\end{pspicture}
\end{minipage}


\textbf{Les deux parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la position des points M, N, P{}, R, S et T pour que la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST soit maximale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du triangle BNM, en cm$^2$, est égale à $- \dfrac{x^2}{2} + 3x$. 
\item Exprimer en fonction de $x$ le volume du tétraèdre MBNP.
\item En déduire la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST.
\item On considère la fonction $V$ définie sur [0~;~6] par $V(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 2x^2$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.65\linewidth}On admet que le tableau de signe sur [0~;~6] de la fonction dérivée de $V$ est donné par :
\end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,1)
\psframe(4.5,1)\psline(0,0.5)(4.5,0.5)
\psline(1.5,0)(1.5,1)
\uput[u](0.75,0.4){$x$}\uput[u](1.65,0.4){$0$}\uput[u](3,0.4){$4$}\uput[u](4.4,0.4){$6$}
\uput[u](0.75,-0.1){$V' (x)$}\uput[u](2.25,-0.1){$+$}\uput[u](3,-0.1){$0$}\uput[u](3.75,-0.1){$-$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

À partir de ces informations, en déduire la valeur exacte de $x$ pour laquelle la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST est maximale, et donner ce volume arrondi au cm$^3$.

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}Dans cette partie, on suppose que $x =3$, c'est-à- dire que les points M, P, R et T sont les milieux respectifs des segments [AB], [BF], [EF] et [AE], c'est-à-dire:

\[\text{AM} = \text{BN} = \text{BP} = \text{ES} = \text{ET} = \text{FR} = 3~\text{cm}\]

En extrayant les deux tétraèdres MBNP et REST, on obtient l'objet ci-contre tracé en perspective cavalière.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.49\linewidth}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
%\psframe(0.5,0.5)(3.3,3.3)%ABFE
\pspolygon(0.5,0.5)(2.3,0.5)(3.3,2.3)(3.3,3.3)(1.5,3.3)(0.5,1.5)%AMPFRT
\psline(4.2,1.)(6.6,2.4)(6.6,5)(3.3,3.3)%NCGF
\psline(6.6,5)(3.8,5)(1.4,3.8)%GHS
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.8,2.4)(3.8,5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](3.8,2.4)(6.6,2.4)%DC
\pspolygon(0.5,0.5)(2.3,0.5)(3.3,2.3)(4.2,1.)(2.3,0.5)%AMPNM
\psline(2.3,0.5)(3.3,2.3)(4.2,1.)%MPN
\psline(0.5,1.5)(1.5,3.3)(1.4,3.8)%TRS
\psline(0.5,1.5)(1.4,3.8)%TS
\uput[d](0.5,0.5){A}  \uput[r](6.6,2.4){C} \uput[ur](3.8,2.4){D} 
 \uput[u](3.3,3.3){F} \uput[ur](6.6,5){G} \uput[u](3.8,5){H} 
\uput[d](2.3,0.5){M} \uput[dr](4.2,1.){N} \uput[r](3.3,2.3){P} \uput[ur](1.5,3.3){R} 
\uput[ul](1.4,3.8){S} \uput[l](0.5,1.5){T} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

Les points désignés par une lettre majuscule A, B, C, D, ... sont nommés par la même lettre en minuscule a, b, c, d, ... dans la représentation en perspective centrale.

Le segment [BF] est dans un plan frontal et le plan (ABC) est horizontal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}, l'image abcdefgh du pavé droit 

ABCDEFGH en laissant les traits de construction.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point image p est-il le milieu du segment [bf] ? Justifier. 
		\item Placer les points p et t.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le point image m est-il le milieu du segment [ab] ? Justifier.
		\item Construire les points m et r en laissant les traits de construction.
	\end{enumerate}
\item Placer le point s en utilisant le point n et repasser en couleur l'objet obtenu.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip
Le but de cet exercice est d'étudier un pavage du plan construit à partir d'un trapèze particulier.

\bigskip

\textbf{Partie A : Construction du trapèze}

\medskip

On considère un triangle équilatéral ABC tel que AB $= 4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'\textbf{annexe 3-A à rendre avec la copie}, construire le point D, distinct du point B, tel que le triangle ACD soit équilatéral.

De même construire le point E, distinct du point A, tel que triangle BCE soit équilatéral.
\item Déterminer les angles du trapèze ABEO.
\item Déterminer la valeur exacte de AE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Construction du motif}

\medskip

On considère le motif ci-dessous construit à partir du trapèze isocèle ABED.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.6)(5,3.5)
%\psgrid
\def\trar{\pspolygon[linewidth=1.5pt](1.8;-120)(1.8;-60)(1.8;0)(1.8;180)}%ABED
\def\trae{\pspolygon[linewidth=1.5pt](1.8;0)(1.8;60)(1.8;120)(1.8;180)}%ABED à l'endroit
\rput{180}(0,3.118){\trae}
\rput(0,0){\trae}\rput(0,0){\trar}
\rput{-60}(-2.7,1.559){\trae}
\rput{120}(-2.7,1.559){\trae}
\rput{60}(2.7,1.559){\trae}
\rput{-120}(2.7,1.559){\trae}
\rput{-120}(-2.7,-1.559){\trae}
\rput{60}(-2.7,-1.559){\trae}
\rput{-60}(2.7,-1.559){\trae}
\rput{120}(2.7,-1.559){\trae}
\rput(0,-3.118){\trae}

\rput(0,2.4){T1}\rput(0,0.8){T2}\rput(-2,1.8){T3}\rput(0,-0.8){T4}
\uput[l](-1,1.559){A}\uput[r](1,1.559){B}
\uput[u](1.8,3.118){E}\uput[u](-1.8,3.118){D}
\uput[d](-1.8,0){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Par quelles transformations passe-t-on de T1 à T2, de T1 à T3 et de T1 à T4 ? (On précisera les éléments caractéristiques de chacune des transformations).

\bigskip

\textbf{Partie C : Construction du pavage}

\medskip

On a obtenu le pavage du plan représenté en \textbf{annexe 3-B} à partir du motif de la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer un motif de la partie B contenu dans le pavage représenté en \textbf{annexe 3-B à rendre avec la copie}.
\item Par quelles transformations peut-on obtenir ce pavage à partir du motif hachuré précédemment ?

(On précisera les éléments caractéristiques de ces transformations en plaçant et en nommant le cas échéant des points sur l'\textbf{annexe 3-B à rendre avec la copie}).
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large Annexe 1 (à rendre avec la copie)}

\bigskip

\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-13,-9)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,subgridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-13,-9)(4,8)
\uput[u](3.9,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$}
\uput[ur](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\uput[d](-5,-0.5){A}\uput[r](0.5,-6.75){B}
\pscircle[linewidth=1.75pt](-5,-0.5){5.025}
\psline[linewidth=1.75pt](-8.6,-4)(-8.6,-7)(-6,-7)(-6,-5.45)
\psline[linewidth=1.75pt](-4,-5.45)(-4,-7)(-1.45,-7)(-1.45,-4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.75pt]{-12}{-10}{x dup mul 0.9 mul 21.7 x mul add 127 add}
\pscircle[linewidth=1.75pt](-1.5,0.6){0.5} \psdots[dotscale=2.3](-1.5,0.6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-5,-0.5)(0.5,-6.75)
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

{\large \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5&1	&1,5&2\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}}

\end{center}
\newpage

\begin{center}

\textbf{\Large Annexe 2 (à rendre avec la copie)}

\medskip
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,22)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1.3,8)(5.8,8)(5.4,12.3)(4,6.6)(7.7,4.6)%bfauc
\rput{-90}(1.5,8.5){b} \rput{-90}(6.2,8.2){f} \rput{-90}(5.6,12.6){a} \rput{-90}(4.2,6.2){n} \rput{-90}(7.9,4.2){c}
\psline[linewidth=1.75pt](12,0)(12,22)
\rput{-90}(12.3,19.5){Ligne d'horizon}
\psline[linewidth=1.75pt](1.3,8)(5.8,8)
\psline[linewidth=1.75pt](1.3,8)(7.7,4.6)
\psline[linewidth=1.75pt](1.3,8)(5.4,12.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\Large Annexe 3-A (à rendre avec la copie)}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,6)
\pspolygon[linewidth=1.5pt](2;-30)(2;90)(2;210)
\uput[dr](2;-30){B}\uput[u](2;90){C}\uput[dl](2;210){A}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{\Large Annexe 3-B (à rendre avec la copie)}

\bigskip


\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-6)(11,8.5)
%\psgrid
\def\trar{\pspolygon[linewidth=1.3pt](1.8;-120)(1.8;-60)(1.8;0)(1.8;180)}%ABED
\def\trae{\pspolygon[linewidth=1.3pt](1.8;0)(1.8;60)(1.8;120)(1.8;180)}%ABED à l'endroit
\def\motif{
\rput{180}(0,3.118){\trae}
\rput(0,0){\trae}\rput(0,0){\trar}
\rput{-60}(-2.7,1.559){\trae}
\rput{120}(-2.7,1.559){\trae}
\rput{60}(2.7,1.559){\trae}
\rput{-120}(2.7,1.559){\trae}
\rput{-120}(-2.7,-1.559){\trae}
\rput{60}(-2.7,-1.559){\trae}
\rput{-60}(2.7,-1.559){\trae}
\rput{120}(2.7,-1.559){\trae}
\rput(0,-3.118){\trae}
}
\rput(0,2){\motif}
\rput(0,-4.235){\motif}
\rput(-8.1,3.559){\motif}
\rput(-8.1,-2.676){\motif}
\rput(8.1,3.559){\motif}
\rput(8.1,-2.676){\motif}
\end{pspicture}
\end{document}