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%tapuscrit : Denis Vergès
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole--La Réunion 18 juin 2015 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{Dans la vitrine d'un magasin de jouets est exposé un objet cubique (un Rubik's cube) éclairé par un spot (voir illustration ci-contre).}\hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-6)(15.5,11)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-4.2,2)(-0.7,-1)(8.4,-6)(15.2,-1.6)(4.5,3.1)
\def\droiter{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0)(1.5,0.8)(1.5,2.9)(0,2.1)}
\def\droiteb{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0)(1.5,0.8)(1.5,2.9)(0,2.1)}
\def\droitev{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0)(1.5,0.8)(1.5,2.9)(0,2.1)}
\def\droitej{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(1.5,0.8)(1.5,2.9)(0,2.1)}
\def\droiteo{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=orange](0,0)(1.5,0.8)(1.5,2.9)(0,2.1)}
\def\gauchev{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0)(-1.4,0.7)(-1.4,2.8)(0,2.1)}
\def\gaucheblanc{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(-1.4,0.7)(-1.4,2.8)(0,2.1)}
\def\gaucheb{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0)(-1.4,0.7)(-1.4,2.8)(0,2.1)}
\def\gauchej{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(-1.4,0.7)(-1.4,2.8)(0,2.1)}
\def\gaucheo{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=orange](0,0)(-1.4,0.7)(-1.4,2.8)(0,2.1)}
\def\gaucher{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0)(-1.4,0.7)(-1.4,2.8)(0,2.1)}
\def\hautblanc{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1.5,0.8)(0.1,1.5)(-1.4,0.7)}
\def\hautb{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0)(1.5,0.8)(0.1,1.5)(-1.4,0.7)}
\def\hautv{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0)(1.5,0.8)(0.1,1.5)(-1.4,0.7)}
\def\hautj{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(1.5,0.8)(0.1,1.5)(-1.4,0.7)}
\def\hautr{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0)(1.5,0.8)(0.1,1.5)(-1.4,0.7)}
\rput(0,0){\droiter}\rput(1.5,0.8){\droiteb}\rput(0,2.1){\droiteb}
\rput(3,1.6){\droiteb}\rput(3,5.8){\droiteb}
\rput(0,4.2){\droitev}\rput(3,1.6){\droitev}\rput(1.5,2.9){\droitev}
\rput(3,3.7){\droitej}
\rput(1.5,5){\droiteo}
\rput(0,0){\gauchev}\rput(-1.4,2.8){\gauchev}\rput(-2.8,1.4){\gauchev}
\rput(-1.4,0.7){\gaucheblanc}\rput(0,2.1){\gaucheblanc}
\rput(-2.8,3.5){\gaucheb}\rput(-1.4,4.9){\gauchej}\rput(-2.8,5.6){\gaucheo}
\rput(0,4.2){\gaucher}
\rput(0,6.3){\hautblanc}\rput(-2.8,7.7){\hautblanc}\rput(0.2,9.3){\hautblanc}
\rput(-1.4,7){\hautb}\rput(1.5,7.1){\hautb}
\rput(3,7.9){\hautr}\rput(1.6,8.6){\hautv}\rput(-1.3,8.5){\hautv}
\rput(0.1,7.8){\hautj}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A : représentation en perspective cavalière}

\medskip

On a commencé en annexe 1 la représentation de ce cube en perspective cavalière.

Le cube ABCDEFGH est posé sur une table sur sa face (ABCD).

La source lumineuse est assimilée à un point S situé à la verticale des sommets D et H.

Sur l'annexe 1, compléter le dessin du Rubik's cube (uniquement les faces visibles), puis
construire son ombre portée.

\bigskip

\textbf{Partie B : représentation en perspective centrale}

\medskip

\emph{Questions préliminaires}

\medskip

\parbox{0.58\linewidth}{On se place dans un repère orthonormé \Oij.

On considère le carré OMNP.

Les points M, N et P ont les coordonnées suivantes :

M(3~;~0), N(3~;~3) et P(0~;~3).

K est le milieu du segment [OM].

On nomme L le point d'intersection de $D_1$ et $D_2$.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,4.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.99,-0.99)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-1}{2.5}{3 2 x mul sub}
\psplot{-1}{4.5}{x}
\uput[ur](0,3){\footnotesize P} \uput[dr](3,3){\footnotesize N}
\uput[ur](3,0){\footnotesize M}\uput[dl](0,0){\footnotesize O}\uput[ul](4,4){$D_1$}
\uput[dl](-0.4,4){$D_2$}\uput[dl](1.5,0){\footnotesize K}\uput[ul](1,1){\footnotesize L}
\psdots(0,0)(3,0)(1.5,0)(3,3)(0,3)(1,1)
\end{pspicture*}}

On désigne par $D_1$ et $D_2$ les droites (ON) et (KP).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la droite $D_1$ a pour équation $y = x$.
		\item Vérifier que la droite $D_2$ a pour équation $y = - 2x + 3$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites $D_1$ et $D_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Construction du jouet en perspective centrale}

\medskip

On donne en annexe 2 le début de la représentation du jouet en perspective centrale. La face
(EFBA) est frontale. La ligne d'horizon est la droite $(\Delta)$.

\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] Construire le point de fuite principal sur l'annexe 2.
\item[\textbf{4.}] Terminer sur l'annexe 2 le dessin du Rubik's cube en perspective centrale (uniquement les faces apparentes) en laissant les traits de construction apparents.

On pourra utiliser le résultat géométrique obtenu dans la partie préliminaire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{Il s'agit de réaliser le patron d'un sac à main en cuir constitué
de deux pièces identiques (avant et arrière, notées $P$), cousues
entre elles pour former une poche, et d'un rabat (noté $R$),
dans le style du sac présenté ci-contre (dessin au trait).}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(13.5,15)
%\psgrid
\pscurve[linewidth=1.5pt](1.3,6.3)(2,4.4)(3,2.7)(4,1.4)(5,0.65)(6,0.2)(7.5,0)(9,0.35)(10,1.1)(11,2.3)(12,3.9)(13,6.7)(13.2,7.5)
\pscurve[linewidth=1.5pt](1.2,7.2)(2,6.7)(3,6.1)(4,5.5)(5,4.85)(6,4.4)(7,4.1)(8,4)(9,4.15)(10,4.4)(11,5)(12,5.75)(13,7.2)(13.2,7.6)
\pscurve[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](1.7,7.25)(2,7)(3,6.35)(4,5.8)(5,5.15)(6,4.7)(7,4.4)(8,4.3)(9,4.45)(10,4.7)(11,5.3)(12,6.05)(13,7.6)
\psline[linewidth=1.5pt](1.2,7.2)(13.2,7.6)
\pscurve[linewidth=1.25pt](1.2,7.2)(1.25,6.7)(1.2,6.25)(1,6.55)(0.9,7)(0.7,8)(0.45,9)(0.25,10)(0.1,11)(0.05,11.7)(0.075,12)(0.2,13)(0.8,14)(1,14.2)(2,14.85)(3,14.9)(4,14.6)(5,14.2)(6,13.8)(7,13.5)(8,13.3)(9,13.28)(10,13)(11,12.3)(12,11.1)(13,8.1)(13.2,7.6)
\pscurve[linewidth=1.25pt](1.2,7)(1,8)(0.82,9)(0.68,10)(0.52,11)(0.45,11.5)(0.4,12)(0.6,13)(1.3,14)(2,14.5)(3,14.55)(4,14.25)(5,13.9)(6,13.5)(7,13.1)(8,13)(9,12.98)(10,12.7)(11,11.9)(12,10.5)(12.8,7.6)
\pscurve[linewidth=1.25pt](7.4,13.4)(7,13.25)(7.4,13)
\pscircle[linewidth=1pt](7.4,13.2){0.6mm}
\pscircle[linewidth=1pt](8,13.15){0.6mm}
\rput{-4}(8.3,12.9){\psframe[doubleline=true](0.7,0.6)}
\pscircle[linewidth=1pt](8.6,13.13){0.6mm}
\pscircle[linewidth=1pt](9.2,13.08){0.6mm}
\pscircle[linewidth=1pt](9.8,12.95){0.6mm}
\pscircle[linewidth=1pt](10.4,12.6){0.6mm}
\end{pspicture}}

\textbf{Partie A : étude du patron de la pièce $P$}

\medskip

Dans un repère \Oij, représenté sur l'annexe 3, on considère que les points O et B ont pour
coordonnées O(0~;~0) et B(7,95~;~0).

Le patron de la pièce P du sac est défini sur sa partie supérieure par un segment [OB], et sur
sa partie inférieure par une demi-ellipse $\epsilon$ de petit axe [OB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point $\Omega$, centre de l'ellipse, et calculer la longueur O$\Omega$.
\item En déduire l'équation cartésienne de l'ellipse $\epsilon$ sachant que le point C de coordonnées (3,975~;~-5) est un sommet de cette ellipse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude du patron de la pièce $R$}

\medskip

On considère le point D de coordonnées D(6,5~;~-1,69).
Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~6,5] par :

\[f(x) = 0,04 x^3 - 0,3 x^2.\]

On note $C_f$ sa courbe représentative et $f'$ sa fonction dérivée.

On modélise le bord du rabat par la courbe $C_f$ et par les segment [BD] et [OB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le point O appartient-il à $C_f$ ? Justifier la réponse par le calcul.
\item Calculer $f(6,5)$. Que peut-on en déduire ?
\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~6,5], puis le tableau de
variations de $f$ sur cet intervalle.
\item Remplir le tableau de valeurs de l'annexe 3, en arrondissant les valeurs numériques au
centième. Tracer la courbe représentative $C_f$ dans le repère de l'annexe 3, ainsi que les
segments [BD] et [OB], pour compléter le tracé du patron du rabat.
\item Déterminer par le calcul la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au
point D.
\item Déterminer par le calcul la valeur arrondie au millième du coefficient directeur de la
droite (BD). Interpréter graphiquement ces deux derniers résultats.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\textbf{Partie A : motif Hélice}

On considère le parallélogramme ABDC ci-contre.

On sait que AE = EF = FD = EB = FC.

Les droites (BE) et (FC) sont perpendiculaires à (AD).}\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-1,0)(7,4.8)
%\psgrid
\uput[l](0,2.25){A}\uput[u](2.25,4.5){B} \uput[d](4.5,0){C} \uput[r](6.75,2.25){D}
\uput[d](2.25,2.25){E} \uput[u](4.5,2.25){F}
\pspolygon(0,2.25)(2.25,4.5)(6.75,2.25)(4.5,0)
\psline(0,2.25)(6.75,2.25)%AD
\psline(2.25,4.5)(2.25,2.25)%BE
\psline(4.5,0)(4.5,2.25)
\end{pspicture}}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item On considère le motif hélice ci-contre. Sachant que les trois sommets de cette hélice forment un triangle équilatéral, par quelles transformations peut-on obtenir ce motif à partir du parallélogramme précédent ?
\item Par quelles transformations obtient-on le décor présenté
en annexe 4 à partir du motif hélice ? On pourra placer et nommer sur l'annexe 4 des points pour définir précisément ces transformations.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-6)(7,6)
%\psgrid
\def\aile{\pspolygon(0,0)(2.25,2.25)(6.75,0)(4.5,-2.25)}
\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(0,0){\aile}}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie B : motif Étoile}

\medskip


\parbox{0.55\linewidth}{On considère un triangle équilatéral MNO (voir figure ci-contre).

Soit L le point du segment [MN] tel que ML = $\dfrac{1}{3}$ MN. On considère
la droite $(d)$ perpendiculaire au segment [MN] en L. Soit K le point
situé sur $(d)$, à l'intérieur du triangle MNO, et tel que LK = ML.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\pspolygon(0.5,0.5)(6.5,0.5)(3.5,5.196)
\psline(0.5,0.5)(2.5,2.5)(6.5,0.5)
\uput[dl](0.5,0.5){M}\uput[dr](6.5,0.5){N}\uput[u](3.5,5.196){O}
\uput[ur](2.5,2.5){K}\uput[dr](2.5,0.5){L}
\psline[linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,5.5)
\psframe(2.5,0.5)(2.8,0.8)
\end{pspicture}}

\bigskip

\parbox{0.6\linewidth}{\begin{enumerate}
\item On considère le polygone 

$P$ = A$_0$A$_1$A$_2$A$_3$A$_4$A$_5$A$_6$A$_7$A$_8$A$_9$A$_{10}$A$_{11}$ ci-contre,
correspondant au motif étoile. Tous les triangles en pointillés sont identiques.

Comment construire ce polygone $P$ à partir du triangle MNK défini précédemment ?
\item  Quelle est la nature du polygone 

$H$ = A$_0$A$_2$A$_4$A$_6$A$_8$A$_{10}$ ? 

Justifier la réponse. 
\item  On suppose que le segment [A$_0$A$_2$]  mesure 3 centimètres. 

Déterminer l'aire du polygone $P$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{
\def\etoile{\psset{unit=0.5cm}\psline(-3,-5.196)(-1,-3.196)(3,-5.196)
\pspolygon[linestyle=dashed,dash=1mm 1mm](-3,-5.196)(3,-5.196)(0,0)}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\etoile}}
\end{pspicture}
}

\bigskip

\textbf{Partie C : pavage}

\medskip


Un carreleur veut obtenir le résultat suivant:

\begin{center}
\def\aile{\psset{unit=0.2cm}\pspolygon*(0,0)(2.25,2.25)(6.75,0)(4.5,-2.25)}
\def\helice{\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(0,0){\aile}}}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(10,8)
%\psgrid
\psframe(10,8)
\multido{\n=1.00+2.35}{4}{\rput(0,\n){\helice}}
\multido{\n=-0.17+2.35}{4}{\rput(2,\n){\helice}}
\multido{\n=-1.34+2.35}{5}{\rput(4,\n){\helice}}
\multido{\n=-2.51+2.35}{6}{\rput(6,\n){\helice}}
\multido{\n=-3.68+2.35}{7}{\rput(8,\n){\helice}}
\multido{\n=-4.85+2.35}{8}{\rput(10,\n){\helice}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 1\up{er} cas : Il peut uniquement disposer de carreaux monochromes, de la forme qu'il
souhaite. Peut-il réaliser ce pavage en utilisant ensemble des carreaux blancs tous
identiques et des carreaux noirs tous identiques ? 

Si oui, préciser la forme et la couleur des carreaux nécessaires.
\item 2\up{e} cas: Il peut uniquement disposer d'une seule sorte de carreaux bicolores, blancs
et noirs, tous identiques. Est-il possible d'obtenir le résultat souhaité ? 

Si oui, tracer sur la copie un carreau qui convient et le colorier. Quelles transformations doit-on alors appliquer pour obtenir le pavage à partir de ce carreau ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1, à rendre avec la copie}

\bigskip

\emph{Représentation du Rubik's cube et de son ombre portée en perspective cavalière}

\bigskip

\begin{pspicture}(12,15)
%\psgrid
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.2,7.5)(11,5)(11,9)(9.6,11.5)
\rput{90}(1.,7.2){S} \rput{90}(10.6,4.7){A} \rput{90}(11.3,9.){B} \rput{90}(9.9,11.7){C} 
\psline(11,5)(11,9)(9.6,11.5)%ABC
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2, à rendre avec la copie}

\bigskip

\emph{Représentation du Rubik's cube en perspective centrale}

\bigskip

\begin{pspicture}(12.5,13)
\psline(0.85,0)(0.85,13)
\psdots(5.3,1)(12,1)(12,7.7)(5.3,7.7)(8.3,10.3)
\pspolygon(5.3,1)(12,1)(12,7.7)(5.3,7.7)%eabf
\psline(12,7.7)(8.3,10.3)
\rput{90}(5,0.7){e} \rput{90}(12.3,0.7){a} \rput{90}(12.3,7.9){b} \rput{90}(5.,7.5){f} \rput{90}(8.6,10.5){c} 
\rput{90}(0.6,1){$(\Delta)$}

\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 3, à rendre avec la copie}

\bigskip

\emph{Annexe $3$, à rendre avec la copie}

\bigskip

\emph{Tracé du patron du rabat}

\bigskip

\psset{unit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(8.1,0.5)
\rput{-90}(6,0){\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=6,subgriddots=10](0,0)(8,-5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.1,-5.1)(8.1,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(8.1,0.5)
\psscalebox{1 1.25786}{\psarc[linecolor=blue](3.975,0){3.975}{180}{0}}
\psdots(6.5,-1.69)(7.95,0)(0,0)
\uput[dr](6.5,-1.69){D}\uput[ul](7.95,0){B}\uput[ul](0,0){O}
}

\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
\bigskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &0 &0,5 &1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4 &4,5 &5 &5,5 &6 &6,5\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 4, à rendre avec la copie}

\vspace{0.75cm}

\def\aile{\psset{unit=0.2cm}\pspolygon(0,0)(2.25,2.25)(6.75,0)(4.5,-2.25)}
\def\helice{\multido{\n=0+120}{3}{\rput{\n}(0,0){\aile}}}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(10,8)
%\psgrid
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\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}

