\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{graphics,graphicx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-eucl,pst-plot,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STD2A},
pdftitle = {Métropole--La Réunion - 16 juin 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole--La Réunion 16 juin 2017\decofourright}\\[4pt] \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

Une équipe de designers revisite le célèbre fauteuil LC4 de Le Corbusier. La figure ci-dessous
montre une représentation dans un repère orthonormal du profil de ce fauteuil. Une unité vaut $40$ ~cm. 

On définit les points O(0~;~0), A(1~;~1), C(0~;~3), I$(-1,5~;~0)$, J(1,5~;~0) et K$(-2~;~2,2)$.

\begin{center}
\psset{unit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(3.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.49,-0.49)(3.49,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psarc[linewidth=1.25pt](0,3){3}{-120}{-60}
\psline(-1.5,0)(-1.5,0.402)\psline(1.5,0)(1.5,0.402)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.75pt]{-2}{1}{0.5 x mul 0.8 add x 3 exp  0.3 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.75pt]{1}{2}{1.3 0.2 x mul  sub x dup mul 0.1 mul sub}
\uput[ur](0,0){O}\uput[ur](1,1){A}\uput[ur](-1,0.6){B}
\uput[ur](-1,0.2){E}\uput[ur](-1.5,0.402){G}\uput[ur](-2,2.2){K}
\uput[ur](1,0.2){F}\uput[ur](1.5,0.402){H}\uput[ur](1.5,0){J}
\uput[ur](2,0.5){L}\uput[ur](1.75,0.7){$\mathcal{P}$}
\uput[ur](0.7,0.15){$\mathcal{C}$}\uput[ur](0,3){C}
\psline[linewidth=1.25pt](-1,0.6)(-1,0.2)%BE 
\psline[linewidth=1.25pt](1,1)(1,0.2)%AF
\end{pspicture*}
\end{center}

On appelle \textbf{assise} du fauteuil l'arc reliant les points A et K.

On appelle $\mathcal{C}$ le cercle de centre C passant par O.

On appelle \textbf{socle} du fauteuil la partie composée de l'arc du cercle $\mathcal{C}$ reliant G à H et des segments [GI] et [HJ] qui sont perpendiculaires au sol.

L'assise est fixée au socle par des montants représentés par les segments [BE] et [AF] qui sont perpendiculaires au sol. Le sol est représenté par l'axe des abscisses du repère.

On appelle \textbf{repose-pieds} du fauteuil l'arc $\mathcal{P}$ reliant les points A et L.

L'assise étant au-dessus du socle, l'ordonnée du point H est inférieure à celle du point A.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude du socle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une équation cartésienne de $\mathcal{C}$.
\item En déduire l'ordonnée du point H puis la longueur HJ en cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire les coordonnées du point G.
		\item Construire le profil du socle sur \textbf{l'annexe 1 à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de l'assise}

\medskip
 
L'assise du fauteuil est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2~;~1]$ par :
 
\[f(x) = - 0,3x^3 + 0,5x + 0,8. \]
 
On note $\mathcal{F}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs de \textbf{l'annexe 1 à rendre avec la copie}.

\emph{On arrondira les résultats au dixième.}
\item Placer les points correspondants dans le repère de \textbf{l'annexe 1 à rendre avec la copie} et esquisser l'allure de la courbe $\mathcal{F}$.
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$.
\item Vérifier que $f'(1) = - \dfrac{2}{5}$. Tracer la tangente à la courbe $\mathcal{F}$ en A.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'(x)  = 0$ si et seulement si $x = - \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ou $x =  \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[- 2~;~1]$.
		\item Donner le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[- 2~;~1]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude du repose-pieds}

\medskip

Le repose-pieds $\mathcal{P}$ est modélisé par une fonction polynôme du second degré $g$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par 

\[g(x) = ax^2 + bx + c.\]

Dans cette partie, on cherche les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ respecte les trois contraintes suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item A(1~;~1) appartient à $\mathcal{P}$ ;
\item L(2~;~0,5) appartient à $\mathcal{P}$ ;
\item le raccord avec l'assise, au point A, est \emph{lisse}, c'est-à-dire que $f'(1) = g'(1)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la troisième condition en termes de tangentes aux courbes $\mathcal{F}$ et $\mathcal{P}$.
\item  Expliquer pourquoi les trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont les solutions du système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{4}a+ \phantom{2}b+c&=&1\\
4a+2b+c						&=&0,5\\
2a+ \phantom{2}b 			&=&-\dfrac{2}{5}
\end{array}\right.\]

\item Vérifier que le système précédent équivaut à :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
c		&=&1-a-b\\
3a+b	&=& - 0,5\\
2a+b	&=& - 0,4
\end{array}\right.\]
\item Résoudre ce second système.
\item On admet que $g(x) = - 0,1x^2 - 0,2x + 1,3$.

Tracer l'arc de parabole $\mathcal{P}$ dans la figure de \textbf{l'annexe 1 à rendre avec la copie}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\begin{center}
\emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes}\end{center}


\begin{enumerate}
\item ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, BC = 9 cm, CA = 7 cm. 

Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \emph{On arrondira le résultat au degré}.
\item Déterminer la valeur de $I$ tel que $10\log\left(\dfrac{I}{10^{-7}}\right) = 20$. 
\item ~

\parbox{0.48\linewidth}{La figure ci-contre représente un logo composé de quatre arcs de cercles concentriques, de centre le point O qui est l'origine du repère orthonormal du plan
(O, C, A).

On rappelle que le sens de rotation positif est le sens contraire des aiguilles d'une montre.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.3)(4.3,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,griddots=10] 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(4.3,4)
\psarc[linewidth=1.75pt](0,0){3}{-180}{90}
\psarc[linewidth=1.75pt,linecolor=lightgray](0,0){2}{90}{180}
\psarc[linewidth=1.75pt](0,0){1}{90}{180}
\psarc[linewidth=1.75pt](0,0){1}{-90}{0}
\uput[r](0,1){A} \uput[dr](0,-1){B} \uput[ur](1,0){C} 
\uput[r](0,2){D} \uput[d](-2,0){E} \uput[d](-1,0){F} 
\uput[u](- 3,0){H} \uput[l](0,3){I} \uput[ur](0,0){O} 
\end{pspicture*} }

	\begin{enumerate}
		\item L'arc reliant les points B et C admet pour représentation paramétrique 
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& \cos (t)\\ 
y(t) &=& \sin (t) 
\end{array}\right., \:  t \in \left[\dfrac{3\pi}{2}~;~2\pi\right]$.

À l'aide d'une lecture graphique, donner une représentation paramétrique de l'arc de cercle reliant les points D et E.
		\item Dans un autre projet de logo, seul le plus grand arc de cercle est conservé, les trois autres arcs de cercle sont remplacés par une ellipse passant par le point E et dont le petit axe est [AB].

L'équation $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ est-elle une équation cartésienne de cette ellipse ?

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item ~

\parbox{0.48\linewidth}{Dans la figure ci-contre, ABCDEFGH est un cube et
$\left(\text{E}~ ;~\vect{\text{EA}},~\vect{\text{EF}},~\vect{\text{EH}}\right)$ est un repère orthonormal de l'espace.

\medskip

Les vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{DE}}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 5}
\begin{pspicture}(8.5,7.5)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.5)(5.7,5.7)%ABCD
\psline(5.7,0.5)(8.3,2.1)(8.3,7.3)(3.1,7.3)(0.5,5.7)(5.7,5.7)(8.3,7.3)%BFGHDCG
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.1,2.1)(0.5,0.5)%EA
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.1,2.1)(8.3,2.1)%EF
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.1,2.1)(3.1,7.3)%EH
\uput[d](0.5,0.5){A} \uput[d](5.7,0.5){B} \uput[dr](5.7,5.7){C} \uput[l](0.5,5.7){D} 
\uput[ur](3.1,2.1){E} \uput[ur](8.3,2.1){F} \uput[ur](8.3,7.3){G} \uput[u](3.1,7.3){H}
 
\end{pspicture}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\begin{center}\textbf{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}

\textbf{Partie A : Un pavage}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(24.1,22.1)
\def\R{\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,2)(2,2)(2,1)(0,1)(1,1)(2,0)}
\def\Re{\psscalebox{-1 1}{\R}}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\rput(1,1){\R}\rput(17,1){\R}\rput(1,1){\R}\rput(1,1){\R}
\rput(9,5){\R}\rput(1,9){\R}\rput(17,9){\R}\rput(9,13){\R}
\rput(1,17){\R}\rput(17,17){\R}\rput(9,21){\R}
\rput{180}(11,3){\R}\rput{180}(3,7){\R}\rput{180}(19,7){\R}
\rput{180}(11,11){\R}
\rput{180}(3,15){\R}\rput{180}(19,15){\R}\rput{180}(11,19){\R}
\rput{180}(3,23){\R}\rput{180}(19,23){\R}
\rput(7,19){\Re}\rput(7,11){\Re}\rput(7,3){\Re}
\rput{-180}(5,17){\Re}\rput{-180}(5,9){\Re}\rput{-180}(5,1){\Re}\rput{-180}(21,1){\Re}
\rput{-180}(21,17){\Re}\rput{-180}(21,9){\Re}
\rput{-180}(13,5){\Re}\rput{-180}(13,13){\Re}\rput{-180}(13,21){\Re}
\rput(23,19){\Re}\rput(23,11){\Re}\rput(23,3){\Re}
\rput(15,15){\Re}\rput(15,7){\Re}\rput(15,-1){\Re}
\end{pspicture*} 
\end{center}

La figure ci-dessus montre un pavage obtenu à partir d'un \og carreau \fg{} constitué d'un carré sur lequel est représenté un \og R \fg{} stylisé. Ce \og carreau\fg{} est grisé sur \textbf{l'annexe 2 à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Réalisation du pavage}

Le pavage peut être réalisé en translatant un \og motif élémentaire\fg{} par répétition de deux translations. Sur \textbf{l'annexe 2 à rendre avec la copie}, repasser en couleur le contour d'un \og motif élémentaire\fg{} et représenter les vecteurs définissant ces translations.
\item  \textbf{Étude du pavage}
	\begin{enumerate}
		\item Par quelle transformation du plan passe-t-on du \og carreau\fg{} numéroté 1 au \og carreau\fg{} numéroté 2 ?

\emph{On ajoutera les éléments permettant de définir cette transformation sur le pavage de \textbf{l'annexe $2$ à rendre avec la copie}}.
		\item Par quelle transformation du plan passe-t-on du \og carreau\fg{} numéroté 1 au \og carreau\fg{} numéroté 3 ?
		
\emph{On ajoutera sur le pavage de \textbf{l'annexe $2$ à rendre avec la copie} les éléments permettant de définir cette transformation.}
		\item On passe du \og carreau numéroté 4 au \og carreau \fg{} numéroté 5 en appliquant successivement deux transformations. Quelles sont ces transformations ?
		
\emph{On ajoutera sur le pavage de \textbf{l'annexe $2$ à rendre avec la copie} les éléments permettant de définir ces transformations.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Modèle en perspective}

\medskip

On souhaite paver une cour afin de réaliser un pavage identique à celui représenté dans la partie A. 

On fabrique dans ce but des pavés cubiques identiques au pavé ABCDEFGH représenté ci-dessous
en perspective parallèle. Un motif représentant un \og R \fg{} stylisé est inscrit dans la face carrée supérieure de chacun de ces pavés comme cela est représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(10,9)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(6.3,5.8)
\psline(6.3,0)(9.1,2.1)(9.1,7.9)(3.3,7.9)(0.5,5.8)(6.3,5.8)(9.1,7.9)%BFGHDCG
\psline[linewidth=0.2pt](1.95,5.8)(4.75,7.9)
\psline[linewidth=0.2pt](3.40,5.8)(6.2,7.9)
\psline[linewidth=0.2pt](4.85,5.8)(7.65,7.9)
\psline[linewidth=0.2pt](1.2,6.3025)(7,6.3025)
\psline[linewidth=0.2pt](1.9,6.805)(7.6,6.805)
\psline[linewidth=0.2pt](2.6,7.3075)(8.3,7.3075)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(3.3,2.1)(3.3,7.9)
\psline[linestyle=dashed](3.3,2.1)(9.1,2.1)
\uput[ul](0.5,0){A} \uput[ul](6.3,0){B} \uput[dr](6.3,5.8){C} \uput[dl](0.5,5.8){D} 
\uput[ul](3.3,2.1){E} \uput[ul](9.1,2.1){F} \uput[ur](9.1,7.9){G} \uput[ul](3.3,7.9){H}
\psline[linewidth=1.75pt](2.6,6.3025)(3.98,7.32)(6.85,7.32)(6.2,6.8)(3.32,6.8)\psline[linewidth=1.75pt](4.75,6.8)(5.5,6.3025)%lettre R 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Dans l'annexe 3 à rendre avec la copie}, on a commencé à représenter en perspective centrale le pavé représenté ci-dessus en perspective parallèle. Les points $a$, $b$, $c$, \ldots représentent respectivement les points A, B, C, ...

\emph{On complètera au fur et à mesure la représentation du pavé \textbf{sur l'annexe $3$ à rendre avec la copie.}}

\emph{On laissera apparents les traits de construction.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La face ABCD se situe dans un plan frontal. Construire le point $e$ en justifiant la construction.
\item  Dans la représentation en perspective parallèle, les droites (BF) et (CG) sont parallèles.

Dans la représentation en perspective centrale, les droites $(bf)$ et $(cg)$ ne le sont pas. 

Pourquoi et où se coupent-elles ?
\item  Représenter le cube $abcdefgh$.
\item  Construire le point $m$, image du centre de la face supérieure CDHG du cube.

En déduire le quadrillage de la face supérieure CDHG du cube.
\item  Terminer la représentation du pavé en perspective centrale. On repassera le motif \og R \fg{} stylisé en couleur.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1}

\bigskip\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-2$ 	&$- 1,5$ 	&$- 1$ 	&$-0,5$ &0	& 0,5 	&1 \\ \hline
$f(x)$	&		&			&		&		&	&		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-0.1)(2.3,4.1)
%\rput{90}(3,2.3){
\multido{\n=-2.3+0.1}{47}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3.1)\uput[d](\n,0){\tiny \n}}
\multido{\n=0.0+0.1}{31}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](-2.3,\n)(2.3,\n)\uput[l](0,\n){\tiny \n}}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-2.3,0)(2.3,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,3.1)%}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}


\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 - Partie A}

\bigskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(24.1,22.1)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,16)(4,20)
\def\R{\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,2)(2,2)(2,1)(0,1)(1,1)(2,0)}
\def\Re{\psscalebox{-1 1}{\R}}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\rput(1,1){\R}\rput(17,1){\R}\rput(1,1){\R}\rput(1,1){\R}
\rput(9,5){\R}\rput(1,9){\R}\rput(17,9){\R}\rput(9,13){\R}
\rput(1,17){\R}\rput(17,17){\R}\rput(9,21){\R}
\rput{180}(11,3){\R}\rput{180}(3,7){\R}\rput{180}(19,7){\R}
\rput{180}(11,11){\R}
\rput{180}(3,15){\R}\rput{180}(19,15){\R}\rput{180}(11,19){\R}
\rput{180}(3,23){\R}\rput{180}(19,23){\R}
\rput(7,19){\Re}\rput(7,11){\Re}\rput(7,3){\Re}
\rput{-180}(5,17){\Re}\rput{-180}(5,9){\Re}\rput{-180}(5,1){\Re}\rput{-180}(21,1){\Re}
\rput{-180}(21,17){\Re}\rput{-180}(21,9){\Re}
\rput{-180}(13,5){\Re}\rput{-180}(13,13){\Re}\rput{-180}(13,21){\Re}
\rput(23,19){\Re}\rput(23,11){\Re}\rput(23,3){\Re}
\rput(15,15){\Re}\rput(15,7){\Re}\rput(15,-1){\Re}
\uput[ur](0,8){1}\uput[ur](0,12){2}
\uput[ur](8,8){4}\uput[ur](12,10){5}
\uput[ur](16,4){3}

\end{pspicture*} 

\newpage
\textbf{\large EXERCICE 3 - Partie B}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(18,20)
\psline(0,20)(18,20)
\uput[u](16,20){ligne d'horizon}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1.5,8.7)(7,8.7)(8.5,14.7)
\uput[l](1.5,8.7){$a$} \uput[r](7,8.7){$b$} \uput[r](8.5,14.7){$f$} 
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}