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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STD2A},
pdftitle = {Métropole--La Réunion - 6 septembre 2018},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STD2A  Métropole--La Réunion~\decofourright}\\[5pt] \textbf{6 septembre 2018}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

Un centre de bien-être fait appel à une agence de communication pour créer un logo.

L'agence propose l'esquisse suivante :

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psellipse(0,0)(6,4)
%\pscircle(-2,-2){4.47214}
\psarc(-2,-2){4.47214}{63}{153}
%\psdots(-2,-2)(-6,0)(0,2)
%\uput[dr](-2,-2){K}\uput[l](-6,0){A$'$}\uput[u](0,2){G}
\psplot[plotpoints=3000]{0}{6}{x 3 exp 216 div x 2 div sub 2 add}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objectif de cet exercice est d'étudier la construction de ce logo.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

La figure de l'\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, sera complétée au fur et à mesure.

\bigskip

\textbf{Partie A : Ellipse et arc de cercle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Ellipse}

\medskip

L'ellipse $\mathcal{E}$ de centre O, de grand axe (AA$'$) et de petit axe (BB$'$) est représentée en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. Les sommets A, A$'$, B et B$'$ de l'ellipse $\mathcal{E}$ ont pour coordonnées A(6~;~0) ; A$'(-6~;~0)$ ; B(0~;~4) et B$'(0~;~-4)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ est une équation cartésienne de l'ellipse $\mathcal{E}$.
		\item Vérifier que le point F$\left(3~;~\sqrt{12}\right)$ est un point de l'ellipse $\mathcal{E}$.
		\item Donner une représentation paramétrique de l'ellipse $\mathcal{E}$.
 	\end{enumerate}
\item \textbf{Arc de cercle}
	
\medskip

On appelle $\mathcal{C}$ le cercle de centre K$( -2~;~-2)$ et de rayon GK où G est le point de coordonnées
G(O~;~2).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
		\item $\widearc{\text{A}'\text{G}}$ est l'arc du cercle $\mathcal{C}$ reliant les points A$'$ et G(0~;~2) qui se trouve au-dessus du grand axe de l'ellipse $\mathcal{E}$. Tracer l'arc $\widearc{\text{A}'\text{G}}$ sur l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
		\item Donner une représentation paramétrique du cercle $\mathcal{C}$.
		\item On considère le point H(2~;~1). Montrer que la droite (GH) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ au
point G.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (GH).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Raccordement et courbe}

\medskip

On souhaite relier le point G au point A par la courbe représentative d'une fonction décroissante sur
l'intervalle [0~;~6]. $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par : $f(x) = ax^3 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

Dans cette partie on cherche à déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $f'(x)$.
\item On souhaite que $\mathcal{C}_f$ passe par le point G (0~;~2) et que la tangente à $\mathcal{C}_f$ en G ait pour coefficient directeur $-0,5$. Déduire de ces deux conditions les valeurs de $b$ et $c$.
\item  Sachant que $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(6~;~0), déterminer la valeur de $a$.
\item  Dans cette question, on admet que la fonction [ est définie sur l'intervalle [0~;~6] par:

\[f(x) =  \dfrac{1}{216}x^3 -\frac{1}{2}x + 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~6].
		\item  Calculer $f'(6)$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
		\item  Montrer que l'arc de cercle $\mathcal{E}$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont la même tangente au point G.
		
\emph{On pourra utiliser les résultats de la} \textbf{Partie A} \emph{question} 2.
		\item  Compléter le tableau de valeurs de l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
		
\emph{On arrondira les résultats au dixième}.
		\item  Compléter la figure de l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie} par le tracé de la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\medskip

Pour chacune des questions, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte}. 

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse
incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$,\: $\log \left(\dfrac{10^x}{5}\right)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~~$ $\dfrac{x}{5}$&$\bullet~~$ $x - \log (5)$&$\bullet~~$ $x\log (2)$ &$\bullet~~$ $log(x) + 2$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  $\dfrac{1}{243}$ est solution de l'équation $3x^a = 1$ donc $a$ vaut:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~~$ 0 &$\bullet~~$1,5&$\bullet~~$ 5&$\bullet~~$$\dfrac{1}{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2~;~4]$ est donnée
ci-dessous.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-4)(5,2.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.9,-3.9)(4.9,2.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{x 3 exp 3 div 4 x mul sub 0.46 mul 1 sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

Alors:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~~$ $f'(x) \geqslant 0$ sur $[- 2~;~-1]$&$\bullet~~$$f'(0) > 0$&$\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur 
$[-2~;~2]$&$\bullet$ $f'(3) < 0$
\end{tabularx}
\medskip

\item ABC est un triangle tel que AB = 2 ; AC = 4 et $\widehat{\text{BAC}} = 60\degres$. La distance BC est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~~$3 &$\bullet~~$3,5 &$\bullet~~$$\sqrt{2}$ &$\bullet~~$$\sqrt{12}$
\end{tabularx}
\medskip

\item \Oijk{} est un repère orthonormé de l'espace dans lequel les points E, F et G ont pour
coordonnées: E(1~;~0~;~0), F(0~;~2~;~0) et G(0~;~0~;~1). On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~~$ $\vect{\text{EF}} \cdot \vect{\text{EG}} = 1$&$\bullet~~$$\vect{\text{EF}}$ et $\vect{\text{EG}}$ sont orthogonaux&$\bullet~~$EF = EG&$\bullet~~$EF = 2EG
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\medskip

Le pavage représenté ci-dessous à gauche a été réalisé à l'aide des deux motifs \og hexagone \fg{} et \og étoile \fg{} représentés ci-dessous à droite.

\vspace{-1.5cm}
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(30.45,19)
%\psgrid
\def\hexa{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,1)(-2,1)(-3.73205,0)(-2,-1)(2,-1)(3.73205,0)}
\multido{\n=1.0000+9.4641}{4}{\rput(\n,1){\hexa}}%bas 1 horizon
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,5.73205){\hexa}}%bas 2 horizon
\multido{\n=1.0000+9.4641}{4}{\rput(\n,10.4641){\hexa}}% bas 3 horizon 
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,15.1962){\hexa}}%bas 4 horizon
\def\hexav{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,2)(0,3.73205)(-1,2)(-1,-2)(0,-3.73205)(1,-2)}
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,1){\hexav}}%vertical bas 1
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,10.46410){\hexav}}%vertical bas 2
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,19.9282){\hexav}}%vertical bas 3
\multido{\n=1.00000+9.46410}{4}{\rput(\n,5.73205){\hexav}}%vertical bas 2
\multido{\n=1.00000+9.46410}{4}{\rput(\n,15.1962){\hexav}}%vertical bas 2
\end{pspicture*}
} \hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(16,18)
\def\hexa{\pspolygon(2,1)(-2,1)(-3.73205,0)(-2,-1)(2,-1)(3.73205,0)
\uput[u](2,1){\footnotesize A} \uput[u](-2,1){\footnotesize B} \uput[l](-3.73205,0){\footnotesize C} 
\uput[d](-2,-1){\footnotesize D} \uput[d](2,-1){\footnotesize E} \uput[r](3.73205,0){\footnotesize F}
\rput(0,0){\footnotesize hexagone}}
 
\def\etoile{\pspolygon(1,1)(0,2.73205)(-1,1)(-2.73205,0)(-1,-1)(0,-2.73205)(1,-1)(2.73205,0)
\rput(0,0){\footnotesize étoile}
\psframe[linestyle=dashed](-1,-1)(1,1)}
\rput(4,12){\hexa}
\rput(4,6){\etoile}
\end{pspicture}
}

\vspace{-1.5cm}

\textbf{Partie A : Les motifs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'hexagone ABCDEF est constitué d'un rectangle ABDE tel que AB = 4 cm et BD = 2 cm.

Les triangles AEF et BCD sont équilatéraux et situés à l'extérieur du rectangle ABDE.

Déterminer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{CDE}}$.
\item  L'étoile est constituée d'un carré et de triangles équilatéraux dont les côtés mesurent 2~cm.

Justifier qu'il ne reste pas d'espace vide lorsque l'on place des hexagones identiques à l'hexagone
ABCDEF autour de cette étoile comme dans le pavage représenté ci-dessus à gauche.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude du pavage}
 
\medskip
 
\emph{On représentera, sur} \textbf{l'annexe 2 à rendre avec la copie}, \emph{les points et les vecteurs permettant de définir les transformations du plan utilisées dans les questions de cette partie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une transformation du plan qui permet de passer du motif \og hexagone\fg{} numéroté 1 au motif \og hexagone \fg{} numéroté 2 ?
\item  On peut passer du motif \og hexagone\fg{} numéroté 1 au motif \og hexagone\fg{} numéroté 3 en appliquant successivement deux transformations du plan. Quelles sont ces transformations ?
\item  Par quelle transformation du plan passe-t-on du motif \og étoile\fg{} numéroté 4 au motif \og étoile\fg{} numéroté 5 ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Construction d'une autre étoile en perspective centrale}
 
 \medskip
 
L'étoile représentée ci-dessous est inscrite dans un carré GHIJ situé dans un plan horizontal.
 
Cette étoile est construite à partir du quadrillage régulier représenté en pointillés dans la figure ci-dessous.
Cette étoile est différente de celle du motif \og étoile \fg.
 
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.1,-2.1)(2.1,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linestyle=dashed](-2,-2)(2,2)
\uput[ur](2,2){I}
\uput[ul](-2,2){J}
\uput[dl](-2,-2){G}
\uput[dr](2,-2){H}
\pspolygon(2,0)(0.667,0.667)(0,2)(-0.667,0.667)(-2,0)(-0.667,-0.667)(0,-2)(0.667,-0.667)
\pspolygon[linestyle=dashed](1,0)(0.667,0.667)(0,1)(-0.667,0.667)(-1,0)(-0.667,-0.667)(0,-1)(0.667,-0.667)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans \textbf{l'annexe 2 à rendre avec la copie}, on a commencé à représenter en perspective centrale le
carré GHIJ. Les points $g$, $h$, $i$, \ldots représentent respectivement les points G, H, I...

On complétera au fur et à mesure la représentation de la figure sur l'annexe 2 à rendre avec la
copie. On laissera apparents les traits de construction.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le segment [GH] se situe dans un plan frontal. Construire le point de fuite principal $w$.
\item Les droites (HI) et (GD) sont parallèles. Que peut-on en déduire pour les droites ($hi$) et ($gj$) qui
les représentent dans la représentation en perspective centrale ?

Placer le point $j$.
\item On appelle M le centre du carré GHIJ. Construire l'image $m$ du point M.
\item Construire l'image du quadrillage régulier du carré GHIJ.
\item Représenter l'étoile. On repassera en couleur le contour de l'étoile.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(7,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-5)(7,5)
\psellipse(0,0)(6,4)
%\pscircle(-2,-2){4.47214}
\uput[ur](6,0){A}\uput[ul](-6,0){A$'$}\uput[ur](0,4){B}\uput[dr](6,0){B$'$}
\end{pspicture}


\vspace{1.5cm}

\textbf{EXERCICE 1 - Partie B - 4. d.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 - Partie B}

\bigskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(16.2,15)
%\psgrid
\def\hexa{\pspolygon(2,1)(-2,1)(-3.73205,0)(-2,-1)(2,-1)(3.73205,0)}
\multido{\n=1.0000+9.4641}{4}{\rput(\n,1){\hexa}}%bas 1 horizon
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,5.73205){\hexa}}%bas 2 horizon
\multido{\n=1.0000+9.4641}{4}{\rput(\n,10.4641){\hexa}}% bas 3 horizon 
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,15.1962){\hexa}}%bas 4 horizon
\def\hexav{\pspolygon(1,2)(0,3.73205)(-1,2)(-1,-2)(0,-3.73205)(1,-2)}
%\def\etoile{\pspolygon(1,1)(0,2.73205)(-1,2)(-1,-2)(0,-1)(0,-2.73205)(1,-1)(2.73205,0)}
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,1){\hexav}}%vertical bas 1
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,10.46410){\hexav}}%vertical bas 2
\multido{\n=5.73205+9.46410}{3}{\rput(\n,19.9282){\hexav}}%vertical bas 3
\multido{\n=1.00000+9.46410}{4}{\rput(\n,5.73205){\hexav}}%vertical bas 2
\multido{\n=1.00000+9.46410}{4}{\rput(\n,15.1962){\hexav}}%vertical bas 2
\rput(5.7,12.6){1}\rput(10.5,7.5){2}\rput(13,10.3){3}\rput(12.8,8){4}
\rput(12.8,3){5}
\end{pspicture*}
\vspace{2cm}


\textbf{EXERCICE 3 - Partie C}


\bigskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14,9.3)
\psline(0,9.3)(14,9.3)\uput[d](12,9.3){Ligne d'horizon}
\psline(1,0.3)(6.3,0.3)(7,2.9)%ghi
\uput[d](1,0.3){$g$}\uput[d](6.3,0.3){$h$}\uput[r](7,2.9){$i$}
\end{pspicture}

\end{center}


\end{document}