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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole 21 juin 2013 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

La société \og design \fg{} souhaite commercialiser un fauteuil à l'effigie de son nom (figure 1).
 
La production en série de ce fauteuil nécessite la réalisation d'un gabarit. On se propose, au travers des deux premières parties du problème, de compléter le tracé figurant sur le document 1 (annexe 1) représentant une réduction à l'échelle $1/10$ d'une partie du gabarit de ce fauteuil. La troisième partie sera consacrée à l'étude de l'indice de confort du fauteuil.

\begin{center} 
\emph{Les trois parties sont indépendantes}

\medskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(5,5)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\pscurve[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,1.6)(0.5,1.45)(1,1.25)(1.5,1.15)(2,1.2)(2.6,2)(3,2.8)(3.5,3.6)(4,4.15)(4.8,4.7)(4.5,4.28)(4.3,4)(4,3.5)(3.8,3)(3.7,2.5)(3.8,2)(4,1.65)(4.6,1)(4.7,0.7)(4.5,0.3)(4,0.4)(3.7,1)(3.5,1.5)(3.2,2)(3,1.85)(2.45,1)(2,0.4)(1.3,0)(1,0.1)(0.5,0.6)(0.3,1.6)
\pscurve(4.5,0.3)(4,0.4)(3.7,1)(3.5,1.5)(3.2,2)(3,1.85)(2.9,1.75)(3,1.4)(3.2,1)(3.5,0.565)(4,0.36)(4.5,0.3)
\pscurve(0.3,1.6)(0.2,1.5)(0,1.25)(0.1,1)(0.5,0.4)(0.8,0.15)(1.3,0)(1,0.1)(0.5,0.6)(0.4,0.9)(0.3,1.6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(11.5,13.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,griddots=7,gridcolor=orange]
%\psarc(5.75,2.25){2.25}{-175}{64}
%\psarc(10.875,8.5){5.875}{137}{226}
%\psarc(6.5,9){3.5}{90}{175}%arc fin en B
%\psplot[plotpoints=3000]{-4}{3}{x dup mul 4 div x add 4 add}
%\psplot[plotpoints=3000]{-4}{3.5}{x 1.5 mul 2 add x 3 exp 8 div sub}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-4,4)(-3,0.875)(-2,0)(-1,0.625)(0,2)(1,3.375)(2,4)(3,3.125)(3.5,1.89)
\end{pspicture*}
 
figure 1

\medskip
 
Partie A : Étude de la fonction associée au profil de l'assise

\end{center}
 
Le profil de l'assise du fauteuil peut être modélisé par un arc de parabole notée 
$\mathcal{P}$ dont une équation est de la forme $y = ax^2 + bx + 4$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à déterminer.
 
Dans le repère orthonormé d'axes (O$x$) et (O$y$) d'origine O(0~;~0), la courbe 
$\mathcal{P}$ passe par les points A$(-4~;~4)$ et B$(3~;~9,25)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$. 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[-4~;~3]$ par : 

\[f(x) = 0,25x^2 + x + 4.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-4~;~3]$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ ci-dessous. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$- 4$	&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	& $0$	& $1$	& $2$	& $3$\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Compléter le tracé sur l'annexe 1  en traçant la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~3]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
Partie B : Étude de la fonction associée au profil des pieds du fauteuil
\end{center}
 
Le profil d'une partie des pieds du fauteuil peut être modélisé par la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[-4~;~3,5]$ par : 

\[g(x) = -\dfrac{1}{8}x^3 + \dfrac{3}{2}x +2.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g'(x) = - \dfrac{3}{8}(x - 2) (x + 2)$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur $[-4~;~3,5]$.
	\end{enumerate} 
\item À l'aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ ci-dessous (valeurs arrondies à $10^{- 1}$ près). 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$- 4$ 	&$- 3$ 	&$- 2$ 	&$- 1$ 	&$0$ &$1$ 	&$2$&$3$&$3,5$\\ \hline
$g(x)$	&		&		&		&		&	 &		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Comparer $f(- 4)$ et $g(- 4)$. Que peut-on en conclure graphiquement ? 
\item Compléter le tracé sur l'annexe 1 en traçant la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-4~;~3,5]$.
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie C : Étude de l'indice de confort}
\end{center}
 
L'indice de confort du fauteuil se mesure à l'aide de l'angle noté $\alpha$ formé par les tangentes à l'arc de parabole $\mathcal{P}$ aux points A et B. Le fauteuil se verra décerner le label \og confort + \fg{} si l'angle $\alpha$ a une mesure comprise entre 60~\degres et 70~\degres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{P}$ en A et le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{P}$ en B. 
		\item On considère le point C$(- 0,5~;~0,5)$. Vérifier que (AC) est la tangente à $\mathcal{P}$ en A et que (BC) est la tangente à $\mathcal{P}$ en B. 
Tracer ces deux tangentes sur l'annexe 1. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{CB}} \cdot \vect{\text{CA}}$ en utilisant l'expression analytique du produit scalaire. 
		\item Exprimer $\vect{\text{CB}} \cdot \vect{\text{CA}}$ en fonction de $\cos \alpha$. 
		\item En déduire au degré près la valeur de $\alpha$ et vérifier que le fauteuil étudié se verra décerner le label \og confort + \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{La troisième question de cet exercice est indépendante des deux premières}

\medskip
 
Pour se protéger du soleil, on décide d'installer sur une terrasse une toile triangulaire tendue. On suppose cette toile plane. On dispose d'une toile triangulaire ABC dont les dimensions sont : AB = 7~m, AC = BC = 5~m.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de cette toile. 
\item Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, puis donner une valeur arrondie de cet angle au degré près. 
\item On décide de tendre cette toile triangulaire en haut de trois poteaux verticaux. Les points A et B sont fixés en haut de deux poteaux de 3~m de haut chacun. La hauteur du poteau soutenant C n'est que de 2~m. On note D, E et F les pieds respectifs de ces trois poteaux.
 
Le soir, un lampadaire vertical éclaire la toile. Le pied du lampadaire est en O, et la source lumineuse en S. On souhaite représenter l'ombre générée (voir annexe 2, document 1). 
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer que les quatre points O, S, F et C appartiennent à un même plan ? 
		\item Construire sur l'annexe 2 (document 1), l'ombre du poteau FC, en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Achever la construction de l'ombre des deux autres poteaux.
		\item En déduire l'ombre de la toile.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
La figure ci-dessous représente un pavage proposé pour la moquette d'un ascenseur. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\def\lettre{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](-0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
\def\lettred{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
\def\lettrea{\scalebox(1,-1){\lettre}}
\psframe(12,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7]
\rput(1.5,7){\lettre}\rput(7.5,7){\lettre}\rput(1.5,3){\lettre}\rput(7.5,3){\lettre}
\rput{180}(4.5,5){\lettre}\rput{180}(10.5,5){\lettre}
\rput{180}(10.5,1){\lettre}\rput{180}(10.5,1){\lettre}
\rput(4.5,7){\lettred}\rput(10.5,7){\lettred}\rput(4.5,3){\lettred}
\rput(10.5,3){\lettred}\rput{180}(4.5,1){\lettre}
\rput{180}(1.5,5){\lettred}\rput{180}(7.5,5){\lettred}
\rput{180}(1.5,1){\lettred}\rput{180}(7.5,1){\lettred}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Le motif (la lettre J) a été jugé trop simple par le client. Le concepteur a donc ajouté au motif deux éléments : un quart de cercle, et deux segments adjacents. Sur l'annexe 2 (document 2), compléter le pavage sachant que l'on utilise les mêmes transformations que celles du pavage initial.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère un triangle OIJ rectangle en O, avec OI = 2~cm et OJ = 1~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant ce triangle rectangle, construire un pavage du plan à l'aide de la symétrie de centre O et des translations de vecteur $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OJ}}$. 

\medskip

\emph{On répondra sur la copie, en pavant une zone carrée de $8$~cm de côté.}

\medskip
 
\item En utilisant ce triangle rectangle, construire deux autres pavages du plan à l'aide de la symétrie de centre O, de la symétrie d'axe (OI) et des translations de vecteur $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OJ}}$. 

\medskip

\emph{On répondra sur la copie, en pavant dans chaque cas une zone carrée de $8$cm de côté.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
{\large \textbf{Annexe 1, à compléter et à rendre avec la copie}}
 
\vspace{1cm}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-5,-1)(11.5,13.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(11.5,13.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,griddots=7,gridcolor=orange]
\psarc(5.75,2.25){2.25}{-175}{64}
\psarc(10.875,8.5){5.875}{137}{226}
\psarc(6.5,9){3.5}{90}{175}%arc fin en B
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](3,9.25)(-4,4)
\uput[ul](3,9.25){B} \uput[ur](-4,4){A}
\end{pspicture*}

\end{center}
\newpage

\begin{center}
{\large Annexe 2, à compléter et à rendre avec la copie}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Document 1}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,9)

\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.8,0.4)(2,5)(2,1.6)(5,3.15)(5,1.15)(5.35,6)(5.35,2.15)%OBECFAD



\psline[linewidth=1mm](2,5)(2,1.6)
\psline[linewidth=1mm](5,3.15)(5,1.15)
\psline[linewidth=1mm](5.35,6)(5.35,2.15)
\pspolygon*(5.35,6)(2,5)(5,3.15)
\uput[l](0.8,0.4){O}  \uput[l](2,5){B} \uput[l](2,1.6){E} 
\uput[l](5,3.15){C} \uput[d](5,1.15){F} \uput[ur](5.35,6){A} \uput[r](5.35,2.15){D}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,9)(12,9)(12,3.9)(7.6,7.2)(0,4.8)
\uput[ur](0.8,8.45){S}
\psline[linewidth=1mm](0.8,0.4)(0.8,8.45)

\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.8,8.45){0.2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0.8,8.45)  
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Document 2}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\def\lettre{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](-0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
\def\lettred{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
\def\lettrea{\scalebox(1,-1){\lettre}}
\psframe(12,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7]
\rput(1.5,7){\lettre}\rput(7.5,7){\lettre}\rput(1.5,3){\lettre}\rput(7.5,3){\lettre}
\rput{180}(4.5,5){\lettre}\rput{180}(10.5,5){\lettre}
\rput{180}(10.5,1){\lettre}\rput{180}(10.5,1){\lettre}
\rput(4.5,7){\lettred}\rput(10.5,7){\lettred}\rput(4.5,3){\lettred}
\rput(10.5,3){\lettred}\rput{180}(4.5,1){\lettre}
\rput{180}(1.5,5){\lettred}\rput{180}(7.5,5){\lettred}
\rput{180}(1.5,1){\lettred}\rput{180}(7.5,1){\lettred}
\psline(3,2)(4,3)(4,4)
\psarc(6,2){1}{90}{180}
\end{pspicture}


\end{center} 
\end{document}