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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole 21 juin 2013 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

%La société \og design \fg{} souhaite commercialiser un fauteuil à l'effigie de son nom (figure 1).
% 
%La production en série de ce fauteuil nécessite la réalisation d'un gabarit. On se propose, au travers des deux premières parties du problème, de compléter le tracé figurant sur le document 1 (annexe 1) représentant une réduction à l'échelle $1/10$ d'une partie du gabarit de ce fauteuil. La troisième partie sera consacrée à l'étude de l'indice de confort du fauteuil.
%
%\begin{center} 
%\emph{Les trois parties sont indépendantes}
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture*}(5,5)
%%\psgrid[subgriddiv=10]
%\pscurve[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,1.6)(0.5,1.45)(1,1.25)(1.5,1.15)(2,1.2)(2.6,2)(3,2.8)(3.5,3.6)(4,4.15)(4.8,4.7)(4.5,4.28)(4.3,4)(4,3.5)(3.8,3)(3.7,2.5)(3.8,2)(4,1.65)(4.6,1)(4.7,0.7)(4.5,0.3)(4,0.4)(3.7,1)(3.5,1.5)(3.2,2)(3,1.85)(2.45,1)(2,0.4)(1.3,0)(1,0.1)(0.5,0.6)(0.3,1.6)
%\pscurve(4.5,0.3)(4,0.4)(3.7,1)(3.5,1.5)(3.2,2)(3,1.85)(2.9,1.75)(3,1.4)(3.2,1)(3.5,0.565)(4,0.36)(4.5,0.3)
%\pscurve(0.3,1.6)(0.2,1.5)(0,1.25)(0.1,1)(0.5,0.4)(0.8,0.15)(1.3,0)(1,0.1)(0.5,0.6)(0.4,0.9)(0.3,1.6)
%%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(11.5,13.5)
%%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,griddots=7,gridcolor=orange]
%%\psarc(5.75,2.25){2.25}{-175}{64}
%%\psarc(10.875,8.5){5.875}{137}{226}
%%\psarc(6.5,9){3.5}{90}{175}%arc fin en B
%%\psplot[plotpoints=3000]{-4}{3}{x dup mul 4 div x add 4 add}
%%\psplot[plotpoints=3000]{-4}{3.5}{x 1.5 mul 2 add x 3 exp 8 div sub}
%%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-4,4)(-3,0.875)(-2,0)(-1,0.625)(0,2)(1,3.375)(2,4)(3,3.125)(3.5,1.89)
%\end{pspicture*}
% 
%figure 1

\medskip
 
Partie A : Étude de la fonction associée au profil de l'assise

%\end{center}
 
%Le profil de l'assise du fauteuil peut être modélisé par un arc de parabole notée 
%$\mathcal{P}$ dont une équation est de la forme $y = ax^2 + bx + 4$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à déterminer.
% 
%Dans le repère orthonormé d'axes (O$x$) et (O$y$) d'origine O(0~;~0), la courbe 
%$\mathcal{P}$ passe par les points A$(-4~;~4)$ et B$(3~;~9,25)$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
A$(-4~;~4)$ appartient à  $\mathcal{P}$ se traduit par : $4 = 16a - 4b + 4$ ou encore $16a - 4b = 0$ et enfin $4a - b = 0$.

B$(3~;~9,25)$ appartient à  $\mathcal{P}$ se traduit par : $9,25 = 9a + 3b + 4$ soit $9a + 3b = 5,25$ et en simplifiant par 3 : $3a + b = 1,75$.
On a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
4a - b &=& 0\\
3a + b &=& 1,75
\end{array}\right. \Rightarrow 7a = 1,75$ (en ajoutant membres à membres).
Finalement 

$a = \dfrac{1,75}{7} = 0,25$.

En remplaçant dans la première équation $b = 4a = 4 \times 0,25 = 1$.

L'équation de $\mathcal{P}$ est donc $y = 0,25x^2 + x + 4$.
\item %On considère la fonction $f$ définie sur $[-4~;~3]$ par : 

%\[f(x) = 0,25x^2 + x + 4.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-4~;~3]$.
On a $f'(x) = 2\times 0,25x + 1 = 0,5x + 1$.
		
Or $0,5x + 1 > 0$ si $0,5x > - 1$ ou $x > - 2$.

De même $f'(x) < 0 $ si $x < - 2$.

Donc :

$\bullet~~$$f'(x) > 0$ sur $[- 2~;~3]$ : la fonction est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur $[- 4~;~- 2]$ : la fonction est décroissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$f'(- 2) = 0$. Le point $(- 2~;~3)$ est le minimum de la fonction.

D'autre part $f(- 4) = 4 - 4 + 4 = 4$ et $f(3) = 2,25 + 3 + 4 = 9,25$ (on retrouve les coordonnées de A et de B.

On a donc le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.25,2.4){$- 4$} \uput[u](4,2.4){$- 2$} \uput[u](6.85,2.4){$3$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,2.){$-$} \uput[u](4,2.){$0$} \uput[u](5.5,2.){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](1.15,2){4}\uput[u](4,0){3}\uput[d](6.6,2){9,25}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)  
\end{pspicture}
\end{center}
  
		\item %À l'aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ ci-dessous. 
~
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$- 4$	&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	& $0$	& $1$	& $2$	& $3$\\ \hline
$f(x)$	&4		&3,25	&3		&3,25	&4		&5,25	&7		&9,25\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item %Compléter le tracé sur l'annexe 1  en traçant la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~3]$.
Voir l'annexe à la fin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
 
Partie B : Étude de la fonction associée au profil des pieds du fauteuil
\end{center}
 
%Le profil d'une partie des pieds du fauteuil peut être modélisé par la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[-4~;~3,5]$ par : 
%
%\[g(x) = -\dfrac{1}{8}x^3 + \dfrac{3}{2}x +2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $g'(x) = - \dfrac{3}{8}(x - 2) (x + 2)$.
		On calcule : $g'(x) = - 3 \times \dfrac{1}{8}x^2 +  \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{8}x^2 = \dfrac{3}{8}\left(4 - x^2\right) = - \dfrac{3}{8}\left(x^2 - 4\right) = - \dfrac{3}{8}(x + 2)(x - 2)$.
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur $[-4~;~3,5]$.
La dérivée est un trinôme qui s'annule en $- 2 $ et $2$ qui est négatif sauf entre $- 2$ et $2$ :

$\bullet~~$$f'(x) > 0$ sur $[- 2~;~2]$

$\bullet~~$$f'(x) < 0$ sur $[- 4~;~- 2]$ et sur [2~;~3].

D'où le tableau de variations de $g$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){$- 4$} \uput[u](4,2.4){$- 2$} \uput[u](7,2.4){$2$}\uput[u](9.7,2.4){3,5} 
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$} \uput[u](2.5,2.){$-$} \uput[u](4,2.){$0$} \uput[u](5.5,2.){$+$}\uput[u](7,2.){$0$}\uput[u](8.5,2.){$-$}  
\rput(0.5,1){$g(x)$}\uput[d](1.15,2){4}\uput[u](4,0){0}\uput[d](7,2){4}
\uput[u](9.6,0){9,25}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)  
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate} 
\item %À l'aide de la calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ ci-dessous (valeurs arrondies à $10^{- 1}$ près). 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$- 4$ 	&$- 3$ 	&$- 2$ 	&$- 1$ 	&$0$ &$1$ 	&$2$&$3$&$3,5$\\ \hline
$g(x)$	&4		&0,875		&0		&0,625		&2	 &3,375		&4	&3,125	&1,9\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\item %Comparer $f(- 4)$ et $g(- 4)$. Que peut-on en conclure graphiquement ?
On a vu que $f(- 4) = 4$ et on calcule $g(- 4) = -\dfrac{1}{8}(- 4)^3 + \dfrac{3}{2}\times (- 4) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$.

Conclusion : les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ ont en commun le point A$(-4~;~4)$. 
\item %Compléter le tracé sur l'annexe 1 en traçant la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-4~;~3,5]$.
Voir l'annexe à la fin.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} 
\textbf{Partie C : Étude de l'indice de confort}
\end{center}
 
%L'indice de confort du fauteuil se mesure à l'aide de l'angle noté $\alpha$ formé par les tangentes à l'arc de parabole $\mathcal{P}$ aux points A et B. Le fauteuil se verra décerner le label \og confort + \fg{} si l'angle $\alpha$ a une mesure comprise entre 60~\degres et 70~\degres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{P}$ en A et le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{P}$ en B.
Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{P}$ en A est le nombre dérivé $f'(- 4) = 0,5\times (- 4) + 1 = - 1$.

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{P}$ en B est le nombre dérivé $f'(3) = 0,5\times 3 + 1 = 2,5$.
		\item %On considère le point C$(- 0,5~;~0,5)$. Vérifier que (AC) est la tangente à $\mathcal{P}$ en A et que (BC) est la tangente à $\mathcal{P}$ en B.
		(AC) a pour coefficient directeur $\dfrac{4 - 0,5}{- 4 - (- 0,5)} = \dfrac{3,5}{- 3,5} = - 1$.
		
La droite (AC) contient le point A de la parabole et a pour coefficient directeur le nombre dérivé $f'(- 4)$ : c'est donc la tangente à  $\mathcal{P}$ en A.

De même (BC) a pour coefficient directeur $\dfrac{9,25 - 0,5}{3 - (- 0,5)} = \dfrac{8,75}{3,5} = 2,5$.

La droite (BC) contient le point B de la parabole et a pour coefficient directeur le nombre dérivé $f'(3)$ : c'est donc la tangente à  $\mathcal{P}$ en B.
%Tracer ces deux tangentes sur l'annexe 1.

Voir les deux tangentes à la fin. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{CB}} \cdot \vect{\text{CA}}$ en utilisant l'expression analytique du produit scalaire.
Avec $\vect{\text{CB}}(3,5~;~8,75)$ et $\vect{\text{CA}}(-3,5~;~3,5)$, 		on a  $\vect{\text{CB}} \cdot \vect{\text{CA}} = - 3,5 \times 3,5 + 8,75 \times 3,5 = 3,5 \times (8,75 - 3,5) = 3,5 \times 5,25 = 18,375$.
		\item %Exprimer $\vect{\text{CB}} \cdot \vect{\text{CA}}$ en fonction de $\cos \alpha$.
		On a également $\vect{\text{CB}} \cdot \vect{\text{CA}} = \text{CB} \times \text{CA} \times \cos \widehat{\text{ACB}}$.
		
Or CB$^2	 = 8,75^2 + 3,5^2 = \np{88,8125}$ d'où BC $ = \sqrt{\np{88,8125}}$ ;

CA$^2	= (- 3,5)^2 + 3,5^2 = 24,5$, d'où CA $ = \sqrt{24,5}$.

On a donc en utilisant les deux écritures du produit scalaire :

$18,375 = \sqrt{\np{88,8125}} \times \sqrt{24,5} \times  \cos \widehat{\text{ACB}}$, d'où $\cos \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{18,375}{\sqrt{\np{88,8125} \times 24,5}} \approx \np{0,3939}$.


\item %En déduire au degré près la valeur de $\alpha$ et vérifier que le fauteuil étudié se verra décerner le label \og confort + \fg.
La calculatrice livre :

$\alpha \approx 66,8$~\degres.

L'angle est compris entre 60 et 70~\degres, il aura donc le label \og confort \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{La troisième question de cet exercice est indépendante des deux premières}

\medskip 
%Pour se protéger du soleil, on décide d'installer sur une terrasse une toile triangulaire tendue. On suppose cette toile plane. On dispose d'une toile triangulaire ABC dont les dimensions sont : AB = 7~m, AC = BC = 5~m.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'aire de cette toile.
Le triangle ABC est isocèle en C. En considérant le milieu H du côté [AB], l'are du triangle ABC est égale à la somme des aires des triangles AHC et BHC qui ont pour aire commune $\dfrac{\text{AB}}{2}\times \text{CH} \times \dfrac{1}{2}$.

L'aire du triangle ABC est donc égale à  $\dfrac{\text{AB}}{2}\times \text{CH}$.

En utilisant le théorème de Pythagore dans AHC :

$\text{CH}^2 = \text{AC}^2 - \text{AH}^2 = 5^2 - 3,5^2 = 8,5 \times 1,5 = 12,75$. D'où CH $ = \sqrt{12,75}$.

L'aire du triangle ABC est donc égale à : $\dfrac{\text{AB}}{2}\times \text{CH} = \dfrac{7}{2}\times \sqrt{12,75} \approx \np{12,4975}$.
\item %Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, puis donner une valeur arrondie de cet angle au degré près.
D'après la formule d'Al Kashi : $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 - 2 \times \text{AB} \times \text{BC} \times \cos \widehat{\text{ABC}} = 49 + 25 - 70 \cos \widehat{\text{ABC}} = 25$, soit 

$\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{49}{70} = \dfrac{7}{10} = 0,7$.

La calculatrice livre $\widehat{\text{ABC}} \approx 45,73 \approx 46~\degres$.   
\item %On décide de tendre cette toile triangulaire en haut de trois poteaux verticaux. Les points A et B sont fixés en haut de deux poteaux de 3~m de haut chacun. La hauteur du poteau soutenant C n'est que de 2~m. On note D, E et F les pieds respectifs de ces trois poteaux.
 
%Le soir, un lampadaire vertical éclaire la toile. Le pied du lampadaire est en O, et la source lumineuse en S. On souhaite représenter l'ombre générée (voir annexe 2, document 1). 
	\begin{enumerate}
		\item %Pourquoi peut-on affirmer que les quatre points O, S, F et C appartiennent à un même plan ?
		Les droites (OS) et (FC) perpendiculaires  à (OF) sont parallèles, donc coplanaires. 
		\item %Construire sur l'annexe 2 (document 1), l'ombre du poteau FC, en laissant apparents les traits de construction.
L'ombre de C est l'intersection C$'$ (dans le plan de la question précédente) des droites (SC) et (OF) : voir la figure plus bas. 
		\item %Achever la construction de l'ombre des deux autres poteaux.
De même dans le plan (OSBE) l'ombre de B est B$'$ intersection des droites (SB) et (OE) et dans le plan (OSAD) l'ombre de A est A$'$ intersection des droites (SA) et (OD).
		\item %En déduire l'ombre de la toile.
L'ombre de la toile ABC est le triangle A$'$B$'$C$'$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%La figure ci-dessous représente un pavage proposé pour la moquette d'un ascenseur. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(12,8)
%\def\lettre{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](-0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
%\def\lettred{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
%\def\lettrea{\scalebox(1,-1){\lettre}}
%\psframe(12,8)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7]
%\rput(1.5,7){\lettre}\rput(7.5,7){\lettre}\rput(1.5,3){\lettre}\rput(7.5,3){\lettre}
%\rput{180}(4.5,5){\lettre}\rput{180}(10.5,5){\lettre}
%\rput{180}(10.5,1){\lettre}\rput{180}(10.5,1){\lettre}
%\rput(4.5,7){\lettred}\rput(10.5,7){\lettred}\rput(4.5,3){\lettred}
%\rput(10.5,3){\lettred}\rput{180}(4.5,1){\lettre}
%\rput{180}(1.5,5){\lettred}\rput{180}(7.5,5){\lettred}
%\rput{180}(1.5,1){\lettred}\rput{180}(7.5,1){\lettred}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%Le motif (la lettre J) a été jugé trop simple par le client. Le concepteur a donc ajouté au motif deux éléments : un quart de cercle, et deux segments adjacents. Sur l'annexe 2 (document 2), compléter le pavage sachant que l'on utilise les mêmes transformations que celles du pavage initial.
Voir à la fin.
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère un triangle OIJ rectangle en O, avec OI = 2~cm et OJ = 1~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant ce triangle rectangle, construire un pavage du plan à l'aide de la symétrie de centre O et des translations de vecteur $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OJ}}$. 
Voir à la fin.

\medskip

%\emph{On répondra sur la copie, en pavant une zone carrée de $8$~cm de côté.}

\medskip
 
\item %En utilisant ce triangle rectangle, construire deux autres pavages du plan à l'aide de la symétrie de centre O, de la symétrie d'axe (OI) et des translations de vecteur $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OJ}}$. 
Voir à la fin.
\medskip

%\emph{On répondra sur la copie, en pavant dans chaque cas une zone carrée de $8$cm de côté.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
{\large \textbf{Annexe 1, à compléter et à rendre avec la copie}}
 
\vspace{1cm}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-5,-1)(11.5,13.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(11.5,13.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,griddots=7,gridcolor=orange]
\psarc(5.75,2.25){2.25}{-175}{64}
\psarc(10.875,8.5){5.875}{137}{226}
\psarc(6.5,9){3.5}{90}{175}%arc fin en B
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](3,9.25)(-4,4)(-0.5,0.5)
\uput[ul](3,9.25){B} \uput[ur](-4,4){A}\uput[ur](-0.5,0.5){C}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x dup mul 0.25 mul x add 4 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{3.5}{1.5 x mul x 3 exp 8 div sub 2 add }
\psline[linecolor=cyan](-4,4)(-0.5,0.5)
\psline[linecolor=cyan](3,9.5)(-0.5,0.5) 
\end{pspicture*}

\end{center}
\newpage

\begin{center}
{\large Annexe 2, à compléter et à rendre avec la copie}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Document 1}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,9)
\psgrid
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.8,0.4)(2,5)(2,1.6)(5,3.15)(5,1.15)(5.35,6)(5.35,2.15)%OBECFAD
\psline[linewidth=1mm](2,5)(2,1.6)

\pspolygon*(5.35,6)(2,5)(5,3.15)
\uput[l](0.8,0.4){O}  \uput[l](2,5){B} \uput[l](2,1.6){E} 
\uput[l](5,3.15){C} \uput[d](5,1.15){F} \uput[ur](5.35,6){A} 
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,9)(12,9)(12,3.9)(7.6,7.2)(0,4.8)
\uput[ur](0.8,8.45){S}
\psline[linewidth=1mm](0.8,0.4)(0.8,8.45)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.8,8.45){0.2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0.8,8.45)
\psline(0.8,0.4)(9,1.9)
\psline(0.8,0.4)(3.4,3)
\psline(0.8,8.45)(3,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.82,2.42)(6.4,1.42)(9.37,3.78)
\psline(0.8,8.45)(10,3.4)
\psline[linewidth=1mm,linecolor=cyan](5,1.15)(6.4,1.42) 
\psline[linewidth=1mm,linecolor=cyan](2,1.6)(2.82,2.42)
\uput[l](2.82,2.42){E$'$}
\uput[d](6.4,1.42){F$'$}
\uput[u](9.37,3.78){D$'$}
\psline[linewidth=1mm](5,3.15)(5,1.15)
\psline[linewidth=1mm](5.35,6)(5.35,2.15)
\psline[linewidth=1mm,linecolor=cyan](5.35,2.15)(9.37,3.78)
\psline(0.8,0.4)(10,4)
\psline(0.8,8.45)(7.6,0)
\uput[r](5.35,2.15){D}
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Document 2}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\def\lettre{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](-0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
\def\lettred{\psline[linewidth=2pt](-0.3,0.5)(0.3,0.5)\psline[linewidth=2pt](0,0.5)(0,-0.3)\psarc[linewidth=2pt](0.15,-0.3){0.15}{-180}{0}}
\def\lettrea{\scalebox(1,-1){\lettre}}
\psframe(12,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7]
\rput(1.5,7){\lettre}\rput(7.5,7){\lettre}\rput(1.5,3){\lettre}\rput(7.5,3){\lettre}
\rput{180}(4.5,5){\lettre}\rput{180}(10.5,5){\lettre}
\rput{180}(10.5,1){\lettre}\rput{180}(10.5,1){\lettre}
\rput(4.5,7){\lettred}\rput(10.5,7){\lettred}\rput(4.5,3){\lettred}
\rput(10.5,3){\lettred}\rput{180}(4.5,1){\lettre}
\rput{180}(1.5,5){\lettred}\rput{180}(7.5,5){\lettred}
\rput{180}(1.5,1){\lettred}\rput{180}(7.5,1){\lettred}
\pspolygon(3,2)(4,3)(4,5)(3,6)(2,5)(2,3)
\pspolygon(9,2)(10,3)(10,5)(9,6)(8,5)(8,3)
\psarc(0,6){1}{-90}{90}\psarc(0,2){1}{-90}{90}
\psarc(12,6){1}{90}{-90}\psarc(12,2){1}{90}{-90}
\pscircle(6,6){1}\pscircle(6,2){1}
%\psarc(6,2){1}{90}{180}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Exercice 3 Partie B question 1}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)

\def\tri{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0)(2,0)(0,1)}
\def\triinv{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0)(-2,0)(0,-1)}
\multips(0,0)(0,1){4}{\tri}
\multips(2,0)(0,1){4}{\tri}
\multips(0,4)(0,-1){8}{\triinv}
\multips(-2,4)(0,-1){8}{\triinv}
\multips(2,0)(0,-1){4}{\triinv}
\multips(4,0)(0,-1){4}{\triinv}
\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(2,0)
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](2,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\psframe(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}

\bigskip
\textbf{Exercice 3 Partie B question 2}

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)

\def\tri{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0)(2,0)(0,1)}
\def\triinv{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0)(-2,0)(0,-1)}
\def\trirot1{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0)(0,1)(-2,0)}
\multips(0,0)(0,1){4}{\tri}
\multips(2,0)(0,1){4}{\tri}
\multips(0,0)(0,1){4}{\trirot1}
\multips(-2,0)(0,1){4}{\trirot1}
\multips{180}(0,0)(0,-1){4}{\tri}
\multips{180}(-2,0)(0,-1){4}{\tri}
\multips{180}(0,0)(0,-1){4}{\trirot1}
\multips{180}(2,0)(0,-1){4}{\trirot1}
\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(2,0)
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](2,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\psframe(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}