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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole 12 septembre 2013 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
On inscrira sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse d'équation cartésienne : 

\[	\dfrac{(x - 2)^2}{9} +  \dfrac{(Y + 1)^2}{16}  = 1.\]
 
Alors les coordonnées du centre de cette ellipse sont : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} (9~;~16)& 
\textbf{b.~~} (3~;~4)& 
\textbf{c.~~} (2~;~-1)& 
\textbf{d.~~} (2~;~1).
\end{tabularx}
\medskip 
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les deux vecteurs suivants, définis par leurs coordonnées $\vect{u}\left(\begin{array}{c}1\\- 1\\2\end{array}\right)$ et $\vect{v}\left(\begin{array}{c}2\\1\\- 3\end{array}\right)$.
 
Alors le produit scalaire $\vect{u}~\cdot~\vect{v}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} le vecteur $\vect{w}\left(\begin{array}{c}2\\- 1\\- 6\end{array}\right)$&\textbf{b.~~}Le nombre $- 5$\\ 
\textbf{c.~~} Le nombre $- 2$& 
\textbf{d.~~} Le vecteur $\vect{w}\left(\begin{array}{c}- 2\\1\\6\end{array}\right)$
\end{tabularx}
\medskip  
\item L'équation $x^{0,2} = 4$ a pour solution dans l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} le nombre $4^{-0,2}$& 
\textbf{b.~~} le nombre $4^2$& 
\textbf{c.~~} le nombre $4^5$& 
\textbf{d.~~} le nombre $4^{-5}$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item $x$ est un nombre réel strictement positif. Alors $\log (100x)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $100 \log x$& 
\textbf{b.~~} $2 + \log x$& 
\textbf{c.~~} $2 \log (x)$& 
\textbf{d.~~} $x^{100}$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item La figure suivante est composée d'un carré ABCD de centre I, du triangle AED où E est le milieu de [BC] et du triangle BFC où F est le milieu de [AD].
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.25)(2,2.5) 
\psframe[linewidth=1.25pt](-2,-2)(2,2) 
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,-2)(0,2)(2,-2)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,2)(0,-2)(2,2)
\uput[dl](-2,-2){A}\uput[ul](-2,2){B}\uput[ur](2,2){C}
\uput[dr](2,-2){D}\uput[u](0,2){E}\uput[d](0,-2){F}
\uput[ur](0,0){I}
\psdots[dotstyle=+](0,0) 
 \end{pspicture}
\end{center}  
 
La droite $(d)$ est la médiatrice de [AB]. Alors cette figure est invariante par :
	\begin{enumerate}
		\item la translation de vecteur $\vect{\text{BE}}$ et la symétrie axiale par rapport à (EF). 
		\item la rotation de centre I et d'angle + 90~\degres et la symétrie axiale par rapport à $(d)$. 
		\item les symétries axiales par rapport à $(d)$ puis par rapport à (EF).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip 
 
Le but de cet exercice est de donner une construction à l'aide d'outils mathématiques de la frise suivante :

\begin{center}
\def\motif{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(3,1)
\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub neg}
\psplot[plotpoints=5000]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub neg}\end{pspicture}}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(12,2)
%\psaxes(0,0)(-6,-2)(12,2)

\rput(-4.5,0.5){\motif}
\rput(-1.5,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
\rput(7.5,0.5){\motif}
\rput(10.5,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.5pt}
\rput(1.5,0.5){\motif}
\rput(4.5,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
\end{pspicture}
\end{center} 

Dans tout l'exercice, on appellera \og motif \fg{} la figure suivante: 

\begin{center}
\def\motif{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(3,1)
\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub neg}
\psplot[plotpoints=5000]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub neg}\end{pspicture}}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,2)

\psset{linecolor=blue,linewidth=1.5pt}
\rput(0,0.5){\motif}
\rput(3,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée sur le graphique 1 de l'annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = ax^2 + bx + c$ ; nous allons déterminer les trois nombres $a,\: b$ et $c$.
 
On précise que cette courbe passe par les points O(0~;~0), A(1~;~1) et B(2~;~0).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la situation de la fonction $f$ relative au point O, montrer que $c = 0$. 
		\item Montrer ensuite que les deux nombres a et b sont solutions du système:
		
		\[\left\{\begin{array}{c c l} 
4a + 2b &=& 0\\
a + b&=&1
\end{array}\right.\]
 
	\end{enumerate}
\item Calculer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère par la suite la fonction $f$ définie sur [0~;~2] par $f(x) = - x^2 + 2x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B ; tracer cette tangente sur la courbe du graphique 1 donnée en annexe.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [2~;~3] par : 

\[g(x) = 2x^3 - 14x^2 + 30x - 20\]
 
et $\mathcal{C}_{g}$ sa représentation graphique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(2)$ ; en déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ passe par le point B. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Déterminer l'expression de $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
\item Calculer $g'(2)$ ; en déduire que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ admettent la même tangente au point B. 
\item Calculer $g(3)$ et $g'(3)$ ; quelle est la particularité de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ en son point C d'abscisse 3 ? 

Placer le point C et cette tangente.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie D :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $g'$ sur l'intervalle [2~;~3]. En déduire le tableau de variations de $g$ sur ce même intervalle. 
\item Tracer une représentation graphique de la fonction $g$ sur l'intervalle [2~;~3] sur le graphique 1 de l'annexe 1. 
\item Indiquer par quelles transformations du plan on peut maintenant obtenir le motif dessiné en préambule. Construire ce motif sur l'annexe 1. 
\item Par quelle(s) transformation(s) peut-on obtenir la frise à partir du motif tracé ? 
\item En utilisant des points judicieusement choisis, tracer une allure de la frise ainsi obtenue sur le graphique 2 de l'annexe.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{Un designer a conçu pour un stand d'exposition une structure représentée sur le dessin ci-contre (le repère est orthonormal, l'unité est le décimètre).} \hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,8.5)
%\psgrid
\scalebox{.99}[0.423]{\psarc[linewidth=1.5pt](3.3,4.8){2.65}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.423]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](3.3,4.8){2.65}{0}{180}}%
\pspolygon(0.7,1.9)(2.5,5.7)(4.4,1.05)
\psline(0.65,2.2)(2.77,6.65)(4.98,1.22)(4.23,1.4)
\psline(3.02,7.15)(5.36,1.37)(4.88,1.47)
\psline(3.3,7.4)(5.7,1.65)(5.17,1.75)
\psline(3.55,7.47)(5.87,1.77)
\psline(4,7)(5.76,2.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.85,1.6)(2.3,4.4)(3.6,1)
\pscurve[linewidth=1.5pt](2,1.1)(2.05,2.4)(2.2,4)(2.4,5)(2.58,6)(3,7.15)(3.4,7.5)(4,7)
\psline[arrowsize=3pt 5]{->}(5.7,4.1)(1.1,0.25)
\psline[arrowsize=3pt 5]{->}(0,2.8)(6.85,1.3)
\psline[arrowsize=3pt 5]{->}(3.3,0.3)(3.3,8.3)
\rput(1,0.2){$x$}\rput(7.1,1.2){$y$}\rput(3.7,8.5){$z$}
\uput[l](3.3,7.4){10}\uput[d](2.1,1.05){5}\uput[d](5.6,1.6){5}
\end{pspicture}
\end{center}} 

\begin{enumerate}
\item La base de cette structure est le cercle C de centre O et de rayon 5 contenu dans le plan ($x$O$y$). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de C. 
		\item Donner une représentation paramétrique de C.
	\end{enumerate} 
\item L'arête supérieure est la moitié d'une ellipse E contenue dans le plan ($x$O$z$). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de E. 
		\item Donner une représentation paramétrique de E.
	\end{enumerate}		 
\item Cette structure sera rigidifiée par des triangles parallèles au plan ($y$O$z$), situés tous les 10~cm. 

Calculer la base et la hauteur du triangle situé dans le plan d'équation $x = 2$. 
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 : (à remettre avec votre copie)}

\vspace{2cm}
 
\textbf{Graphique 1}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.9cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-2.1)(6.1,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-2)(6,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,-2)(6,2)
\uput[u](1,1){A}\psdots(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
\end{pspicture}
\vspace{2cm}
 
\textbf{Graphique 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(12,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-6,-2)(12,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-6,-2)(12,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}