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%tapuscrit : Denis Vergès
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{28 novembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017\decofourright}\\ [4pt]\textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

Dans les jeux de rôles, on utilise différents types de dés en plus du classique dé à six faces afin d'obtenir des résultats différents. Les polyèdres réguliers, connus aussi sous le nom de \og solides de Platon \fg, permettent d'obtenir des dés équiprobables, chaque face ayant la même probabilité de sortir à chaque
tirage. Par exemple, un dé à huit faces a la forme d'un octaèdre régulier.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de l'octaèdre régulier}

\medskip

Un octaèdre régulier peut-être obtenu à partir d'un cube en prenant pour sommets de l'octaèdre les centres des faces du cube.

On a représenté ci-dessous, en perspective parallèle, un octaèdre régulier ABCDEF inscrit dans un cube dont l'arête mesure 2~cm.

Le point O est le point d'intersection des diagonales du quadrilatère ABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,6.5)
%\psgrid
\psline(0,5.4)(0,0.3)(5,0)(6.4,1)(6.4,6.1)(1.4,6.4)(0,5.4)(5,5.1)(5,0)
\psline(6.4,6.1)(5,5.1)
\psline[linestyle=dotted](0.7,3.35)(5.7,3.05)
\psline[linestyle=dotted](2.5,2.7)(3.9,3.7)
\psset{linecolor=blue,linewidth=1pt}
\psline[linestyle=dashed](0,0.3)(1.4,1.3)(6.4,1)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.3)(1.4,6.4)
\pspolygon[linestyle=dashed](0.7,3.35)(2.5,2.7)(5.7,3.05)(3.9,3.7)%ABCD
\pspolygon[linestyle=dashed](3.2,0.65)(3.9,3.7)(3.2,5.75)(2.5,2.7)%FDEB
\pspolygon[linestyle=dashed](0.7,3.35)(3.2,5.75)(5.7,3.05)(3.2,0.65)

\uput[l](0.7,3.35){\footnotesize A} \uput[dl](2.5,2.7){\footnotesize B} \uput[r](5.7,3.05){\footnotesize C} 
\uput[ur](3.9,3.7){\footnotesize D} \uput[u](3.2,5.75){\footnotesize E} \uput[d](3.2,0.65){\footnotesize F} 
\uput[u](3.2,3.2){\footnotesize O} 
\end{pspicture}
\end{center} 

On admet que $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}},~ \vect{\text{OE}}\right)$ est un repère orthonormal de l'espace.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des sommets de l'octaèdre régulier ABCDEF dans le repère orthonormal de l'espace $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}},~ \vect{\text{OE}}\right)$.
		\item Que peut-on dire de la sphère de centre O passant par A ?
		\item Calculer la longueur AE de l'arête de l'octaèdre régulier ABCDEF.
	\end{enumerate}
\item Les droites (AE) et (DF) sont-elles orthogonales ? Justifier.
\item Calculer le volume de l'octaèdre régulier ABCDEF. \emph{On arrondira le résultat au } cm$^3$.
	
\textbf{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule :}
	
\boldmath$V = \dfrac{B \times h}{3}$\unboldmath\: \textbf{où \boldmath$B$\unboldmath\: est l'aire de la base de la pyramide et \boldmath$h$\unboldmath\: la hauteur relative à cette base.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Représentation de l'octaèdre régulier en perspective centrale}

\medskip

On souhaite représenter l'octaèdre régulier ABCDEF en perspective centrale.

On appelle $a$, $b$, $c$, \ldots les images des points A, B, C, \ldots Les segments $[ab]$ et $[bc]$ sont tracés sur l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. 

Le plan (ABC) est horizontal. 

Les segments [AB] et [OE] sont dans des plans frontaux.

\smallskip

\emph{On complètera au fur et à mesure la figure de l'annexe $1$ à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point $d$.
		\item Construire le point $e$.
		\item Terminer la construction de l'octaèdre $abcdef$.
	\end{enumerate}
\item Comment s'appelle le point d'intersection des droites $(ad)$ et $(be)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Invariant par rotation}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'octaèdre ABCDEF est invariant par une rotation d'axe (EF).

Quel est l'angle minimal non nul de cette rotation ?
\item  On a représenté ci-dessous l'octaèdre régulier ABCDEF en perspective parallèle.

La face ABE est dans un plan frontal.

Donner sans justification une rotation d'axe différent de [EF] et d'angle non nul par laquelle l'octaèdre est invariant. On précisera l'axe et l'angle de cette rotation.
 \end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,0)(2.7,6.5)
\pspolygon(-2.15,2.1)(0,0.5)(2.15,2.1)(2.15,4.3)(0,5.8)(-2.15,4.3)%AFBCED
\pspolygon(-2.15,2.1)(2.15,2.1)(0,5.8)
\pspolygon[linestyle=dashed](2.15,4.3)(-2.15,4.3)(0,0.5)%CDF
\uput[dl](-2.15,2.1){A}\uput[dr](2.15,2.1){B} \uput[ur](2.15,4.3){C} 
\uput[ul](-2.15,4.3){D} \uput[u](0,5.8){E} \uput[d](0,0.5){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

La mairie d'un village fait appel à un graphiste pour le logo du nouveau skate-parc. Le graphiste propose le modèle suivant:

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4,3.4)
%\psgrid
\psline(0,3)(0,0)(4,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.8pt]{0}{4}{x 3 exp 3 mul 32 div x dup mul 18 mul 32 div sub 3 add}
\uput[r](0,0.9){\Huge \emph{\textbf{SKATE}}}
\rput(1.3,0.3){\Large \emph{\textbf{PARC}}}
\psline(3.4,0.74)(1.2,2.94)
\psline(3.5,0.84)(1.3,3.04)
\rput{45}(3.45,0.79){\psarc(0,0){0.96mm}{-180}{0}}
\rput{45}(1.25,2.99){\psarc(0,0){0.96mm}{0}{180}}
\psdots(3,1)(1.5,2.5)
\pscircle(3,1){0.1}\pscircle(1.5,2.5){0.1}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la rampe de skateboard}

\medskip

Afin d'étudier au mieux ce logo, on se place dans le repère orthonormal (O,~I,~J) de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. Dans ce repère, la rampe de skateboard est constituée du segment horizontal [OA], du segment vertical [OB] et de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ reliant le point A au point B.

Les points A et B ont pour coordonnées respectives A(4~;~0) et B(0~;~3).

Les tangentes à $\mathcal{C}$ en A et B sont horizontales.

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~4] par : $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels à déterminer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un système d'équations vérifié par les nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$.
		\item Résoudre ce système d'équations.
 	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = \dfrac{3}{32} x^3 - \dfrac{18}{32} x^2 + 3.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
		
On arrondira les résultats au dixième.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
 	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\bigskip
		
\textbf{Partie B : Étude de quelques éléments de la planche de skateboard}
		
\medskip
		
\begin{enumerate}
\item Les roues de la planche de skateboard sont constituées de deux cercles de centres respectifs C(1,5~;~2,5) et D(3~;~1) et de même rayon OJ.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne du cercle de centre C et de rayon 0,1.
		\item Donner une représentation paramétrique du cercle de centre D et de rayon 0,1.
 	\end{enumerate}
\item  La planche est constituée de deux segments parallèles à la droite (CD) reliés par deux demi-cercles.
On appelle E le point d'abscisse 2 situé sur la rampe de skateboard.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'ordonnée du point E.
		\item La tangente à la rampe au point E est-elle parallèle à la planche de skateboard ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}
\end{center}

\textbf{Partie A : Étude de la maille \emph{Pétale} M$_1$ représentée ci-contre}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{La maille \emph{Pétale} M$_1$ est constituée :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] d'un triangle PLE rectangle et isocèle en P tel que
PE = PL = 4.
\item[$\bullet~~$] d'un triangle LET tel que tel que $\widehat{\text{LET}} = 30\degres$ et TE = 5.
\item[$\bullet~~$] d'un triangle LAT rectangle et isocèle en A.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur LE.
\item En appliquant la formule d'Al-Kashi dans le triangle LET, calculer la longueur LT.

\emph{On arrondira le résultat au dixième.}
\item Calculer la longueur TA. 

\emph{On arrondira le résultat au dixième.}
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,0)(0.5,6)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\psline(5.657;135)(4;180)(0;0)%EPL
%\pscircle(-2.65,4.4){1.438}
\psline[linestyle=dotted](5.657;135)
\psline(5;105)
\psline(5;105)(-3.15,5.75)(5.657;135)
\psframe(-4,0)(-3.8,0.2)
\psarc(0,0){3mm}{105}{135}\rput(-2.2,3.8){M$_1$}
\uput[r](0,0){E} \uput[l](-4,0){P} 
\uput[l](5.657;135){L} 
\uput[u](-3.15,5.75){A} \uput[r](5;105){T} \rput(-0.6,1){\footnotesize 30\degres}
\rput{-120}(-3.15,5.75){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\psline(-2,0.1)(-2,-0.1)\psline(-4.1,2)(-3.9,2)
\psline(-2.35,5.45)(-2.45,5.25)\psline(-2.3,5.4)(-2.38,5.22)
\psline(-3.6,4.95)(-3.45,4.85)\psline(-3.57,5.05)(-3.4,4.95)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie B : Motif \emph{Décor} et vitrail}

\medskip

\parbox{0.63\linewidth}{\begin{enumerate}
\item En utilisant les mailles \emph{Pétale} M$_1$, M$_2$, M$_3$ et M$_4$ on réalise
le motif \emph{Décor} représenté dans la figure ci-contre.

Par quelles transformations obtient-on le motif \emph{Décor} à partir
de la maille \emph{Pétale} M$_1$ ? On utilisera des points présents
dans la figure ci-contre pour définir ces transformations.
\item Démontrer que le triangle AA$_1$A$_2$ est isocèle et rectangle en
A$_1$.
\item On réalise, à partir du motif \emph{Décor}, un vitrail moderne
représenté dans l'\textbf{annexe 3 à rendre avec la copie}.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la somme des angles d'un quadrilatère
quelconque vaut $360$\degres.

Justifier que $\widehat{\text{PLA}} + \widehat{\text{ATE}} = 285\degres$.
		\item En déduire que les mailles \emph{Pétale} M$_1$, M$'_2$ et M$_4$
s'ajustent parfaitement autour du point L = E$_3$ ainsi que
cela est représenté dans la figure ci-contre.
		\item Par quelles transformations peut-on obtenir ce vitrail en
utilisant le motif \emph{Décor}?

Pour définir ces transformations, on placera leurs
éléments caractéristiques sur la figure de l'\textbf{annexe 3 à
rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item On peut aussi réaliser ce vitrail à partir d'un autre motif
constitué de quatre mailles. Colorier un de ces motifs sur
l'\textbf{annexe 3 à rendre avec la copie}.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,6)
%\psgrid
\def\petale{\psset{unit=0.4cm}\pspolygon(0,0) (0,4)(0.85,5.75)(2.706,4.83)(4,0)}
%\psframe(5,6)
%\rput(2.5,3){\petale}
\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(2.5,3){\petale}}
\rput(3.5,3.8){\footnotesize M$_1$}\rput(3.5,2){\footnotesize M$_2$}
\rput(1.8,3.8){\footnotesize M$_4$}\rput(1.8,2){\footnotesize M$_3$}
\uput[u](2.85,5.3){\footnotesize A} \uput[ur](3.6,4.95){\footnotesize T} 
\uput[ur](4.1,3){\footnotesize E} \uput[dr](4.42,1.9){\footnotesize T$_1$}
\uput[dr](2.5,1.4){\footnotesize E$_1$} \uput[dr](2.2,0.7){\footnotesize A$_2$} 
\uput[dl](1.4,1){\footnotesize T$_2$} \uput[dl](0.9,3){\footnotesize E$_2$} 
\uput[dl](0.2,3.3){\footnotesize A$_3$} \uput[ul](0.55,4.08){\footnotesize T$_3$} \uput[ul](2.5,4.6){\footnotesize L = E$_3$} \uput[r](4.8,2.65){\footnotesize A$_1$}
\uput[ul](2.5,3){\footnotesize P} 
\end{pspicture}
\vspace{1cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,8)
%\psgrid
\def\petaleh{\psset{unit=0.4cm}\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchsep=10pt](0,0) (0,4)(0.85,5.75)(2.706,4.83)(4,0)}
%\psframe(5,6)
\def\petale{\psset{unit=0.4cm}\pspolygon(0,0) (0,4)(0.85,5.75)(2.706,4.83)(4,0)}
\rput{-90}(2.5,3){\petale}
\rput{-180}(2.5,3){\petale}
\rput(2.5,3){\petaleh}
\rput{90}(2.5,3){\petaleh}
\rput{-90}(0.55,5.68){\petaleh}
\rput(3.5,3.8){\footnotesize M$_1$}\rput(3.5,2){\footnotesize M$_2$}
\rput(1.8,3.8){\footnotesize M$_4$}\rput(1.8,2){\footnotesize M$_3$}
\uput[u](2.85,5.3){\footnotesize A} \uput[ur](3.6,4.95){\footnotesize T} 
\uput[ur](4.1,3){\footnotesize E} \uput[dr](4.42,1.9){\footnotesize T$_1$}
\uput[dr](2.5,1.4){\footnotesize E$_1$} \uput[dr](2.2,0.7){\footnotesize A$_2$} 
\uput[dl](1.4,1){\footnotesize T$_2$} \uput[dl](0.9,3){\footnotesize E$_2$} 
\uput[dl](0.2,3.3){\footnotesize A$_3$} \uput[ul](0.55,4.08){\footnotesize T$_3$} \uput[ur](2.5,4.4){\footnotesize L = E$_3$} \uput[r](4.8,2.65){\footnotesize A$_1$}
\uput[ul](2.5,3){\footnotesize P} \rput(1.6,4.95){\footnotesize M$'_2$}
\end{pspicture}}

\newpage
\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}}

\vspace{1cm}

{\large \textbf{EXERCICE 1- Partie B}}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(13,18)
\psline(0,16)(13,16)
\uput[u](2,16){ligne d'horizon}
\psline(1,6.6)(9.3,6.6)(10.4,9.7)%abc
\uput[dl](1,6.6){$a$}\uput[dr](9.3,6.6){$b$}
\uput[r](10.4,9.7){$c$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}}

\vspace{1cm}

{\large \textbf{EXERCICE 2 - Partie A}}

\vspace{1cm}


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3	&3,5&4\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{3cm}

\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.25pt](0,0)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(5.49,3.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](1,0){I} \uput[ur](0,1){J}\uput[ur](4,0){A}\uput[ur](0,3){B}
\uput[dl](2.95,0.95){D}\uput[dl](1.45,2.45){C}
\psdots(4,0)(0,3)(3,1)(1.5,2.5)
\pscircle(3,1){0.1}\pscircle(1.5,2.5){0.1}
\psline(3.4,0.74)(1.2,2.94)
\psline(3.5,0.84)(1.3,3.04)
\rput{45}(3.45,0.79){\psarc(0,0){1.3mm}{-180}{0}}
\rput{45}(1.25,2.99){\psarc(0,0){1.3mm}{0}{180}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage
\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 3 à rendre avec la copie}}

\vspace{1cm}

{\large \textbf{EXERCICE 3 - Partie B}}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,13)
%\psgrid
\def\petale{\psset{unit=0.3cm}\pspolygon(0,0)(0,4)(0.85,5.75)(2.706,4.83)(4,0)}
%\def\decor{\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(2.5,3){\petale}}}
%\def\decor{\rput{0}(2.5,3){\petale}
%\rput{-90}(2.5,3){\petale}
%\rput{-180}(2.5,3){\petale}
%\rput{-270}(2.5,3){\petale}}
\def\decor{\rput{0}(0,0){\petale}
\rput{-90}(0,0){\petale}
\rput{-180}(0,0){\petale}
\rput{-270}(0,0){\petale}}
\multido{\n=1.80+1.45,\na=8.00+-1.99}{4}{\rput(\n,\na){\decor}} 
\multido{\n=3.79+1.45,\na=9.45+-1.99}{4}{\rput(\n,\na){\decor}}
\multido{\n=5.77+1.45,\na=10.91+-1.99}{4}{\rput(\n,\na){\decor}} 
\end{pspicture}
\end{document}