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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 11 juin 2015 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\medskip

On inscrira sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - x - 2$. On note $C$ sa courbe
représentative dans un repère du plan. Un des points d'intersection de $C$ avec l'axe des
abscisses a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~}$(-1~;~0)$& \textbf{B.~}$(-2~;~0)$& \textbf{C.~}$(0~;~-2)$& \textbf{D.~}(5~;~0)
\end{tabularx}
\medskip

\item On note log la fonction logarithme décimal.

Le réel $\log \left(1,5 \times 10^{10}\right)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $10 + \log (1,5)$&\textbf{B.~} 10,176 &\textbf{C.~} $10 \times \log (1,5)$&\textbf{D.~} 11,5
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 7, BC = 9. Au dixième de degré près par défaut,
la mesure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~}106,6~\degres&\textbf{B.~} 73,3~\degres&\textbf{C.~} 73,4~\degres& \textbf{D.~} 73,5~\degres
\end{tabularx}
\medskip

\item~ 
\parbox{0.48\linewidth}{Sur la figure ci-contre sont
représentés trois vecteurs : $\vect{u},\:\vect{v},\:\vect{w}$.

L'unité de longueur est le carreau.

On a alors :} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-3,-3)(5,4)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-3,-3)(-2,-3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-3,-3)(-3,-2)
\uput[dl](-3,-3){O}\uput[d](-2.5,-3){$\vect{\imath}$}
\uput[l](-3,-2.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](2,0){$\vect{u}$}\uput[ul](0.5,-1.5){$\vect{w}$}\uput[dl](-1,1.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} \small$\vect{u} \cdot \vect{v} = 8$&\textbf{B.~}\small $\vect{v} \cdot \vect{w} > 0$&\textbf{C.~} \small $\cos \left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}}$& \textbf{D.~} \small$\left\|  \vect{v}\right\| = \sqrt{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère l'ellipse $\mathcal{E}$ de sommets A(6~;~0),\: A$'(- 6~;~0)$,\: B(0~;~5),\: B$'(0~;~-5)$ dans un repère orthonormé.

Une équation cartésienne de $\mathcal{E}$ est :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~}  $25x^2 + 36y^2 = 900$&\textbf{B.~}$\dfrac{x^2}{144} + \dfrac{y^2}{100} = 1$\\
\textbf{C.~}$\dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{D.~}$\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{10} = 1$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On veut réaliser une chauffeuse (fauteuil sans accoudoirs) dont le profil est représenté sommairement dans le repère $(\text{O}~;~x,~y)$ ci-contre.

Le repère étant orthonormal (unité non spécifiée), on
donne les indications suivantes :

--  la ligne reliant les points A et B est un arc de cercle de
rayon 2.

-- [BC] est un segment de droite horizontal, [EF] un segment de droite vertical.

-- la ligne reliant C à E en passant par le sommet D est la
courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur
[0~;~3] par 

$f(x) = ax^3 + 3x^2 + b$, où $a$ et $b$ sont des
nombres à déterminer.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(3.6,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-1)(3.6,7)
\psdots(-4,0)(-2,2)(0,2)(2,6)(3,2)(3,0)%ABCDF
\psarc(-2,0){2}{90}{180}
\psline(-2,2)(0,2)
\psline(3,0)(3,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{3}{x dup mul 3 mul 2 add x 3 exp sub}
\uput[d](-4,0){A} \uput[u](-2,2){B} \uput[ul](0,2){C} 
\uput[u](2,6){D} \uput[r](3,2){E} \uput[d](3,0){F}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
\end{pspicture}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les coordonnées des points C(0~;~2) et D(2~;~6) et la fonction $f$, écrire un système de deux équations dont les inconnues sont $a$ et $b$.

Résoudre ce système et donner les valeurs de $a$ et $b$.
\item On prend par la suite $f(x) = - x^3 + 3x^2 + 2$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Donner l'expression de $f'(x)$ pour tout $x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier à l'aide de la fonction $f'$ que le segment [BC] et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont des tangentes communes au point C.
		\item On donne l'abscisse du point E : $x_{\text{E}} = 3$.
		
Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse E.

Cette tangente est-elle la droite (EF) ?
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer le signe de $f'$ sur l'intervalle [0~;~3].
\item  En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~3].
\item  À l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs de l'annexe 1.
	
Sachant de plus que l'abscisse du point A vaut $- 4$, réaliser dans le repère donné en annexe 1, un profil précis de la chauffeuse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{La figure ci-contre représente, en perspective parallèle, une esplanade, pavée avec des plaques carrées toutes identiques, entourée d'une balustrade composée de rectangles tous identiques sur deux de ses côtés.}
\hfill
\parbox{0.68\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(15.5,10)
%\psgrid
\def\balushaut{\psframe(3,2.15)\psline(0,0)(3,2.15)\psline(0,2.15)(3,0)}
\def\baluscote{\pspolygon(0,0)(0,2.15)(2.15,0)(2.15,-2.15)\psline(0,0)(2.15,0)(2.15,-2.15)(0,2.15)}
\def\carreau{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(3,0)(5.15,-2.15)(2.15,-2.15)}
\pspolygon(0,6.45)(9,6.45)(15.45,0)(6.45,0)
\rput(0,6.45){\balushaut}\rput(3,6.45){\balushaut}\rput(6,6.45){\balushaut}
\rput(9,6.45){\baluscote}\rput(11.15,4.3){\baluscote}\rput(13.3,2.15){\baluscote}
\rput(0,6.45){\carreau}\rput(6,6.45){\carreau}\rput(5.1,4.3){\carreau}
\rput(4.3,2.15){\carreau}\rput(10.3,2.15){\carreau}
\uput[dl](0,6.45){A}\uput[ur](9,6.45){D} \uput[ur](9,8.6){D$'$}
\uput[d](11.2,4.2){F} \uput[ur](11.2,6.4){F$'$} \uput[dl](13.3,2.15){E}
\uput[ur](13.3,4.3){E$'$} \uput[d](15.4,0){C} \uput[ur](15.4,2.15){C$'$}
\uput[d](6.4,0){B} \uput[d](9.4,0){G} \uput[d](12.4,0){H} 
\end{pspicture}}
\bigskip

Dans cet exercice, on convient de noter un point de l'espace avec une lettre majuscule et de noter
son image dans une perspective centrale avec une lettre minuscule (ainsi $a$ est l'image de A, $b$ l'image de B, \ldots).

\smallskip

\textbf{La représentation donnée en annexe 2 est à compléter et à rendre avec la copie.\\
Aucune justification des constructions n'est attendue mais on laissera visibles les traits de
construction au crayon.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une représentation en perspective centrale de cette esplanade est commencée sur le
document annexe. Sont tracés la ligne d'horizon, les segments [$cc'$] et [$bc$] ainsi que
le point $f$ ; on sait que l'esplanade est horizontale et que le plan (BCC$'$) est frontal.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point de fuite principal $\omega$.
		\item Placer $f'$ puis le segment [$ee'$].
		\item En remarquant que le quadrilatère EE$'$D$'$D est un parallélogramme, placer les points $d$ et $d'$.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle propriété d'un plan frontal permet de placer les points $g$ et $h$ ?
		\item Terminer la figure.
On repassera en couleur le dessin fini pour en améliorer la lisibilité.
	\end{enumerate}
\item  Citer deux propriétés de la perspective parallèle qui ne sont pas vérifiées par une perspective centrale. Les illustrer en faisant référence à la représentation donnée en début d'exercice et à celle complétées dans l'annexe 2.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe 1 (à remettre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0& 0,5	& 1	&1,5& 2	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(4,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-1)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
\end{pspicture}

\begin{landscape}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(27,19)
%\psgrid
\psline(1,13)(25,13)\uput[u](3,13){ligne d'horizon}
\psline[linewidth=1pt](10.5,5)(22.7,5)(22.7,6.1)%bcc'
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](10.5,5)(22.7,5)(22.7,6.1)(14.5,8.2)%bcc'f
\rput{90}(0.5,7){\textbf{\large Annexe 2 (À remettre avec la copie)}}
\uput[d](10.5,5){$b$} \uput[d](22.7,5){$c$}\uput[u](22.7,6.1){$c'$}
\uput[d](14.5,8.2){$f$}
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}