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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 9 juin 2016 \decofourright}\\[4pt] \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

L'entreprise \og CRUISE MARINE \fg, spécialisée dans la construction navale, fait appel à une agence
de communication pour avoir une nouvelle charte graphique.

L'agence propose le logo suivant :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-5.2,-3.1)(7.6,2.)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8](-5,-5)(8,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-5.5,-4.1)(7.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-5.5,-4.1)(7.5,2.5)
%\psellipse(1,-1)(5,2)
%\psdots(1,1)(1,-3)(6,-1)(-4,-1)%BB'A'A
%\uput[r](6,-1){A$'$}\uput[l](-4,-1){A}\uput[u](1,1){B}\uput[d](1,-3){B$'$}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=orange](5,-1){0.5}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4}{5}{4 x 1 sub dup mul 0.16 mul sub sqrt 1 sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4}{5}{x 3 exp 47 mul 6000 div x dup mul 187 mul 6000 div sub }
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4}{5}{4 x 1 sub dup mul 0.16 mul sub sqrt 1 add neg}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4}{5}{x 3 exp 47 mul 6000 div x dup mul 187 mul 6000 div sub neg 2 sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=orange]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4}{5}{4 x 1 sub dup mul 0.16 mul sub sqrt 1 sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{5}{-4}{x 3 exp 47 mul 6000 div x dup mul 187 mul 6000 div sub }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=orange]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4}{5}{4 x 1 sub dup mul 0.16 mul sub sqrt 1 add neg}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{5}{-4}{x 3 exp 47 mul 6000 div x dup mul 187 mul 6000 div sub neg 2 sub}}
\rput(1,-1){\fontfamily{cmdh}\fontseries{ub}\Large\textcolor{orange} {CRUISE MARINE}}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'objectif de cet exercice est d'étudier la construction de ce logo. On se place dans le plan muni d'un
repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A : Ellipse et cercle}

\medskip

On note $\mathcal{E}$ l'ellipse donnée dans l'annexe 1. Les points A$(-4~;~-1)$, A$'(6~;~-1)$, B$(1~;~1)$ et B$'(1~;~-3)$ en sont les sommets, et on admet que I$\left(5~;~\dfrac{1}{5}\right)$ est un point de cette ellipse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{E}$.
\item Soit $(d)$ la droite d'équation $x = 5$.

Déterminer les coordonnées des points d'intersections entre $\mathcal{E}$ et $(d)$.
\item  On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre C$(5~;~-1)$ de rayon 0,5.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{C}$.
		\item Construire $\mathcal{C}$ sur l'annexe 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Courbes symétriques}

\medskip

On souhaite déterminer une équation de l'une des courbes intérieures du logo. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~5]$ par : 

\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.\]

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par l'origine O(0~;~0) et en ce point la tangente est horizontale.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item Traduire les deux contraintes précédentes par des égalités et en déduire que les réels $c$ et $d$ valent $0$.
	\end{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points A$(-4~;~-1)$ et I$\left(5~;~\dfrac{1}{5}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Traduire ces deux contraintes par des égalités et montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système:
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
-64a + 16b &=& - 1\\
125a + 25b &=&\dfrac{1}{5}
		\end{array}\right.\]

		\item Vérifier que le couple $\left(\dfrac{47}{\np{6000}}~;~- \dfrac{187}{\np{6000}}\right)$ est solution de ce système.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que $f(x) = \dfrac{67}{\np{6000}} x^3  - \dfrac{187}{\np{6000}}x^2$.
	
Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~5]$, puis dresser le tableau de variations.
	
On pourra indiquer, dans le tableau de variations, les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.
\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira les valeurs à $10^{-2}$ près).
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-4$ 	&$-3$ 	&$-2$ 	&0 	&1 	&2 	&3 	&4 	&5\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans l'annexe 1, ainsi que la courbe $\mathcal{C}'$ symétrique de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite d'équation $y = - 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

Lors de la rénovation d'une gare ferroviaire, les architectes doivent corriger l'acoustique du hall afin
de permettre aux voyageurs de mieux entendre les messages sonores et de réduire le niveau sonore
dans les bureaux de contrôles qui se situent à l'étage. Ils décident de suspendre au-dessus du hall, un
grand panneau formant un pavage.

\bigskip

\textbf{Partie A : Choix du matériau qui compose le panneau}

\medskip

On appelle $R$ l'indice d'affaiblissement d'une paroi exprimé en décibels (dB) et $\tau$ le facteur de
transmission lié à la nature du matériau utilisé pour la paroi.

Ces grandeurs sont liées par la relation : $R = 10 \times \log \left(\dfrac{1}{\tau}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $10 \times \log \left(\dfrac{1}{\tau}\right) = 30$.
\item Les architectes envisagent un affaiblissement d'environ $30$~dB. Ils ont le choix entre deux
matériaux : le premier à base de fibres de bois compressées a un facteur de transmission $\tau_1 = \np{0,0012}$ et le second à base de polystyrène a un facteur de transmission $\tau_2 = 0,205$.

Quel matériau vont-ils choisir ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Module du panneau}

\medskip

Le panneau est assemblé grâce à des modules identiques qui doivent s'imbriquer afin
de former un pavage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construction du module:
	\begin{enumerate}
		\item Sur la copie, construire un parallélogramme ABCD tel que AB $= 4$~cm, 
		
AD $= 3$~cm et $\widehat{\text{BAD}} = 60$\degres.
		\item On considère le point E sur la demi-droite [AB) tel que AE $= 7$~cm et le point F sur la demi-droite [CD) tel que CF $= 7$~cm. I est le point du segment [AD] tel que AI $= 1$~cm ; J est le point
du segment [BC] tel que BJ $= 1$~cm.

Placer les points E, F, I et J.
		
\emph{Le polygone {\rm AEJCFI} représente le module qui va servir au pavage}.
		
\smallskip
	\end{enumerate}
\item Calcul de l'aire du module
	\begin{enumerate}
		\item On appelle H le pied de la hauteur issue de J dans le triangle BEJ.
		
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{\text{EBJ}}$.
		
En déduire la valeur exacte de HJ, puis de l'aire du triangle BEJ.
		\item On admet que, selon un raisonnement analogue, l'aire du triangle FDI vaut $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ et que celle du parallélogramme ABCD vaut $6\sqrt{3}$.
		
Déterminer la valeur exacte de l'aire totale du polygone AEJCFI.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Assemblage du panneau}

\medskip

L'objectif de cette partie est de construire un pavage à l'aide du module précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe 2, on a représenté deux modules.

Par quelle(s) transformation(s) peut-on obtenir la figure 2 à partir de la figure~1 ? En préciser les
caractéristiques.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner deux translations qui, appliquées successivement, permettent d'obtenir le pavage à
partir de ces deux modules. Tracer un représentant de chacun de ces vecteurs sur l'annexe 2.
		\item Sur l'annexe 2, représenter l'image de ces deux modules par chacune des deux translations.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

On a représenté ci-après le projet d'un nouveau concept pour les boutiques d'une grande marque
informatique : la figure 3 présente le projet en perspective parallèle, et la figure 4 en vue de dessous.

Il s'agit d'une arche en béton de forme parallélépipédique, sous laquelle se trouve un cube en
panneaux de verre : ABCDEFGH et IJKLMNOP sont des cubes, et QRSTUVWX est un parallélépipède rectangle, car les parois verticales et le plafond de l'arche ont une épaisseur de 1~m.

I et J sont les milieux respectifs des segments [AD] et [AB].

\begin{center}
\psset{unit=0.83cm}
\begin{pspicture}(17.5,11)
%\psgrid
\definecolor{souris}{gray}{0.55}
\definecolor{clair}{gray}{0.85}
\def\arche{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linestyle=dashed](0.5,2.5)(0.5,9)(7.5,9)(7.5,2.5)(6.8,2.5)(6.8,8.25)(1.2,8.25)(1.2,2.5)}
\rput(2.4,1.4){\arche}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=clair](1.2,2.5)(1.2,8.25)(3.6,9.65)(3.6,3.9)%AEHD
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,3.2)(8,7.3)(6.4,7.9)(6.4,3.9)%KOPL
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,2.5)(8,3.2)(8,7.3)(4,6.6)%JKON
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,2.5)(4,6.6)(2.4,7.2)(2.4,3.2)%JNMI
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,7.2)(4,6.6)(8,7.3)(6.4,7.9)%MNOP
\uput[d](7.5,2.5){U}\uput[dr](9.9,3.9){V}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=clair](0.5,9)(7.5,9)(9.9,10.4)(2.9,10.4)%TXWS
\uput[l](0.5,9){T} \uput[u](7.5,9){X} \uput[ur](9.9,10.4){W} \uput[u](2.9,10.4){S} 
\uput[dl](6.8,8.25){F}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=clair](7.5,2.5)(9.9,3.9)(9.9,10.4)(7.5,9)%UVWX
\uput[d](1.2,2.5){A}\uput[dr](1.2,8.25){E}\uput[ur](3.6,3.9){D}
\uput[d](6.8,2.5){B}
\psline[linestyle=dashed](6.8,2.5)(9.2,3.9)(9.2,9.65)(6.8,8.25)%BCGF
\uput[ul](9.2,3.9){C} 
\psline[linestyle=dashed](3.6,3.9)(3.6,9.65)%DH
\psline[linestyle=dashed](0.5,2.5)(2.9,3.9)(2.9,10.4)%QRS
\psline[linestyle=dashed](2.9,3.9)(3.6,3.9)(9.2,3.9)(9.9,3.9)%RDCV
\psline[linestyle=dashed](2.4,3.2)(6.4,3.9)(8,3.2)(4,2.5)%ILKJ

\psline(1.2,2.5)(6.8,2.5)
\rput(0,0){\arche}
\psline[linestyle=dashed](8,7.3)(4,6.6)%ON
\uput[ur](9.2,9.65){G}\uput[ul](3.6,9.65){H}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,2.5)(0.5,9)(7.5,9)(7.5,2.5)(6.8,2.5)(6.8,8.25)(1.2,8.25)(1.2,2.5)%QTXUBFEA
\psline[linestyle=dashed](9.2,9.65)(3.6,9.65)(1.2,8.25)%GHE

\psline[linestyle=dashed](8,3.2)(8,7.3)(6.4,7.9)%KOP
\psline[linestyle=dashed](6.8,7.77)(8,7.3)(7.5,7.22)
\uput[d](0.5,2.5){Q}\uput[ul](2.9,3.9){R}
\rput(3.75,0.9){Figure 3}
\rput(3.75,0.1){\emph{perspective cavalière}}
\uput[d](4,2.5){J}\uput[u](4,6.6){N} \uput[ul](2.4,7.2){M}\uput[ul](2.4,3.2){I}
\uput[dr](8,3.2){K}\uput[ur](8,7.3){O}\uput[ul](6.4,7.9){P}\uput[ul](6.4,3.9){L}
\rput(14.5,0.9){Figure 4}
\rput(14.5,0.1){\emph{vue de dessous}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](12.1,2.5)(16.8,6.3)%RVUQ
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](14.45,2.5)(16.3,4.4)(14.45,6.3)(12.5,4.4)%LKJI
\psline(12.5,2.5)(12.5,6.3)%DA
\psline(16.3,2.5)(16.3,6.3)%CB
\uput[ul](12.1,6.3){Q} \uput[u](12.5,6.3){A} \uput[u](14.45,6.3){J} \uput[u](16.3,6.3){B} 
\uput[ur](16.8,6.3){U} \uput[l](12.5,4.4){I} \uput[r](16.3,4.4){K} \uput[l](12.1,2.5){R} 
\uput[d](12.5,2.5){D} \uput[d](14.45,2.5){L} \uput[d](16.3,2.5){C} \uput[dr](16.8,2.5){V} 
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item On souhaite représenter ce projet en perspective centrale sur l'annexe 3. On appellera a, b, c, \ldots , w les images des points A, B, C, ... , W.
	\begin{enumerate}
		\item Comment s'appelle le point d'intersection des droites (ts) et (xw) ?
		\item Sur l'annexe 3, achever la construction en perspective centrale de l'arche en béton.
		\item Sur cette représentation en perspective centrale, les points i et j sont-ils les milieux des segments [ad] et [ab] ? Justifier soigneusement les réponses.
		\item Sur l'annexe 3, achever la construction en perspective centrale du cube en verre.
	\end{enumerate}
\item On souhaite que la surface au sol de la boutique soit un carré IJKL d'aire $100$~m$^2$. On rappelle que les parois de béton de l'arche ont une épaisseur de $1$~m.
	
Calculer le volume de béton nécessaire à la construction de l'arche. On donnera une valeur arrondie
 au m$^3$ par excès.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{Annexe 1 (exercice 1) - à remettre avec la copie}

\medskip

\psset{unit=1.7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-5.2,-4.1)(7.65,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=8](-5,-5)(8,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-5.5,-4.1)(7.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psellipse[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,-1)(5,2)
\psdots(1,1)(1,-3)(6,-1)(-4,-1)%BB'A'A
\uput[r](6,-1){A$'$}\uput[l](-4,-1){A}\uput[u](1,1){B}\uput[d](1,-3){B$'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{landscape}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{Annexe 2 (exercice 2) - à remettre avec la copie}


\vspace{5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5.2)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,2)(2.2,2.6)(0.5,4)(5.9,4)(5.2,2.7)(7,2)%AIFCJE
\pspolygon(7,2)(5.2,2.7)(10.3,2.7)(9.9,2)(11.4,0.7)(6.2,0.7)(7,2)%EJKLMN
\uput[l](1.8,2){A} \uput[l](2.2,2.6){I} \uput[l](0.5,4){F} \uput[ur](5.9,4){C} 
\uput[l](5.2,2.7){J} \uput[r](7,2){E} \uput[ur](10.3,2.7){K} \uput[r](9.9,2){L} 
\uput[r](11.4,0.7){M} \uput[l](6.2,0.7){N} 
\rput(8.8,1.8){fig. 2}\rput(3.7,3){fig. 1}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{landscape}


\begin{landscape}
\begin{center}

\textbf{Annexe 3 (exercice 3) - à remettre avec la copie}

\vspace{3cm}

\begin{pspicture}(-5,0)(17,10)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon(2,0.7)(1,0.7)(1,8)(11.3,8)(11.3,0.7)(10.3,0.7)(10.3,7)(2,7)%aqtxubfe
\psline(1,8)(5.4,9)(9.3,9)(11.3,8)%tswx
\psline(6.15,0.7)(6.15,5.2)%jn
\uput[d](2,0.7){a} \uput[d](1,0.7){q} \uput[l](1,8){t} \uput[r](11.3,8){x}
\uput[d](11.3,0.7){u} \uput[d](10.3,0.7){b} \uput[u](10.3,7){f} \uput[u](2,7){e} 
\uput[ul](5.5,9){s} \uput[u](9.4,9){w} \uput[d](6.15,0.7){j} \uput[u](6.15,5.2){n}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](2,0.7)(1,0.7)(1,8)(11.3,8)(11.3,0.7)(10.3,7)(10.3,0.7)(10.3,7)(2,7)(1,8)(5.5,9)(9.3,9)(11.3,8)(6.15,0.7)(6.15,5.2)
\psline(-5,9.6)(16.5,9.6)\uput[u](15,9.6){ligne d'horizon}
%\psline[linecolor=red](1,8)(8.05,9.6)(11.3,8)  
\end{pspicture}

\end{center}
\end{landscape}
\end{document}