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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD 2A}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 11 juin 2013~\decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On se place dans un repère orthonormé. L'équation cartésienne de l'ellipse dont la représentation graphique est donnée ci-dessous est :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-2)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=8,gridlabels=0pt]
\psellipse(2,1)(2.87883,2)
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{(x - 2)^2}{8}  + \dfrac{(y - 1)^2}{4} = 1$& 
\textbf{b.~~} $\dfrac{(x - 2)^2}{2} + (y - 1)^2 = 1$\\
\textbf{c.~~} $\dfrac{(x - 1)^2}{4}  + \dfrac{(y - 2)^2}{8} = 1$&
\textbf{d.~~} $\dfrac{(x - 1)^2}{2}  + \dfrac{(y - 2)^2}{4} = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item ~

\parbox{6cm}{ABCD est un carré.
 
I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD].}\hfill
\parbox{6cm}{\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,4.5) 
\psframe(4,4)
\psline(0,0)(4,2) \psline(0,0)(2,4)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[ur](4,4){C} 
\uput[ul](0,4){D} \uput[r](4,2){I} \uput[u](2,4){J} 
\uput[ur](0.4,0.4){$\alpha$}  
\psarc(0,0){0.5cm}{26.56}{63.43}
\end{pspicture} 
\end{center}} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$&\textbf{b.~~} $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$  &\textbf{c.~~} $\cos \alpha = \dfrac{3}{4}$  &\textbf{d.~~} 
$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit $C$ la courbe représentative de $x \longmapsto \dfrac{2}{x}$ ;   la tangente à $C$ au point d'abscisse $2$ a pour  équation réduite : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = x - \dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~} $y = - \dfrac{1}{2}x + 2$& 
\textbf{c.~~} $y = \dfrac{1}{2}x$&\textbf{d.~~} $y = \dfrac{1}{2}x - 3$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On considère une fonction $f$ dérivable sur $]0~;~+ \infty[$
dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-1.9)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.628}{6}{1 x sub 4 x sub mul x div 2  mul 1 add }
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les trois courbes ci-dessous, laquelle est la courbe représentative de la fonction $f'$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}&\textbf{c.~~}\\
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-0.9,-1.9)(6,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.3}{x 1 sub x 3 sub mul}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}& \psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,5)  
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-0.9,-1.9)(6,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.06}{6}{8 x dup mul div 2 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
&\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-0.9,-1.9)(6,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.42}{6}{2 8 x dup mul div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une solution de l'équation $(\log x)^2 + 2 \log x - 3 = 0$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $10^{- 3}$&\textbf{b.~~} $- 10^3$&\textbf{c.~~} $10^3$&\textbf{d.~~} $ - 10^{- 3}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip
Sur Internet, un site de banque d'images propose une illustration du drapeau flottant au vent de chaque nation ou région.
 
On se propose de réaliser un prototype de ce drapeau comme le montre le schéma ci-dessous.

\begin{center} 
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.16cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(8,52)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{x 2 exp 7 mul 11 x mul sub x 3 exp sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{x 2 exp 7 mul 11 x mul sub x 3 exp sub 40 add}
\uput[r](7,35){motif supérieur}
\uput[r](7,-5){motif inférieur}
\psline(0,0)(0,40)\psline(7,-5)(7,35)
\psline(4,4)(7,-5)\psline(4,44)(7,35)
\end{pspicture}

\end{pspicture} 
\end{center}

\textbf{Partie A\: Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath définie sur [0~;~4] par }

\[f(x) = - x^3 + 7x^2 - 11x.\]
 
La courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$ dans un repère orthogonal est tracée en annexe 3.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$, on a $f(x) = x\left( -x^2 + 7x - 11\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~4] l'équation $f(x) = 0$. La solution non nulle sera notée $x_{\text{E}}$. 
		\item On note E le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_{\text{E}}$. Placer le point E sur cette courbe, sur l'annexe 3.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le signe du trinôme du second degré $-3x^2 + 14x - 11$ sur $\R$. 
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur [0~;~4]. 

On donnera une valeur approchée à $0,01$ près du maximum de $f$ sur [0~;~4] 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Raccordement de deux courbes}

\medskip
 
On souhaite terminer le motif inférieur du drapeau en raccordant au point A(4~;~4) la courbe $\mathcal{C}$ à  une autre courbe $\mathcal{D}$.
 
On appelle $g$ la fonction affine définie sur [4~;~7] par: 

\[g(x) = - 3x + 16.\]
 
On note $\mathcal{D}$ la représentation graphique de $g$ dans le repère de la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{D}$ sur l'annexe 3  (on se limite à l'intervalle [4~;~ 7]). 
\item Montrer par un calcul que A est un point commun à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$. 
\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point A. 
\item En déduire que la tangente au point A à $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ sont confondues.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C Fin de la construction du prototype}

\medskip
 
On considère le vecteur $\vect{u}$ dessiné sur l'annexe 3. 

On appelle $t$ la translation de vecteur $8\vect{u}$.
 
Le motif supérieur est l'image du motif inférieur par la translation $t$. 

Achever sur l'annexe 3  la construction du dessin du drapeau flottant au vent.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

Lors des Jeux Olympiques de Londres, un caméraman souhaite avoir un certain point de vue sur le podium des médaillés. Le podium est formé par l'assemblage de trois pavés droits.
 
Sur la figure suivante , le podium est représenté en perspective parallèle.
 
Les longueurs CD et GH sont égales, ainsi que les longueurs AB et EF. On sait de plus que la longueur CD est le double de la longueur AB.
 
\begin{center}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(18,10)
%\psgrid
\psdots(0,0)(15.1,0)(17.6,1.2)(5,7.6)(5,3.5)(0,3.5)(10.1,7.6)(10.1,5)(15.1,5)
\pspolygon(0,0)(15.1,0)(17.6,1.2)(17.6,6.3)(12.4,6.3)(12.4,8.8)(7.6,8.8)(5,7.6)(5,3.5)(0,3.5)
\psline(12.4,6.3)(10.1,5)(10.1,7.6)(5,7.6)
\psline(0,3.5)(2.5,4.8)(5,4.8)
\psline(17.6,6.3)(15,5)(10.1,5)(12.4,6.3)
\psline(10.1,7.6)(12.4,8.8)
\psline(15.1,5)(15.1,0)
\uput[ul](0,0){A}  \uput[ul](15.1,0){H} \uput[ul](17.6,1.2){I} 
\uput[u](15.1,5){G} \uput[ul](10.1,5){F} \uput[ul](10.1,7.6){E} 
\uput[ul](5,7.6){D} \uput[ul](5,3.5){C} \uput[ul](0,3.5){B} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur l'annexe 1  la représentation de ce podium en perspective centrale. 

Les points \texttt{v} et \texttt{v'} sont les points de fuite respectifs des droites (AH) et (HI). Les images des points A, B, C, D, E, F, G, H et I dans la représentation en perspective centrale sont notées avec des lettres minuscules \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{c}, \texttt{d}, \texttt{e}, \texttt{f}, \texttt{g}, \texttt{h} et \texttt{i}.
 
\begin{center}\emph{On laissera apparents les traits de construction.}\end{center}
 
\item Un lampadaire vertical est placé à proximité du podium en O. La source lumineuse se situe au sommet du lampadaire en S. On utilise un logiciel de modélisation 3D pour représenter la scène en «plongée» (voir l'annexe 2 ). L'objectif est de construire l'ombre du podium générée par cet éclairage.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les points O, S, A et B appartiennent à un même plan. 
		\item Construire sur l'annexe 2 le point B$'$ correspondant à l'ombre du point B, en laissant apparents les traits de construction.
	\end{enumerate} 		 
\item Achever sur l'annexe 2  la construction de l'ombre du podium générée par cette source lumineuse.

\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1, à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(21.5,13)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0,13)(9.8,6.2)(11,5.4)(12.6,5.5)(14.6,4.25)(14.6,1.3)(16,2.9)(21.1,13)
\psline(9.8,6.2)(11,5.4)%bc
\psline(12.6,5.5)(14.6,4.25)(14.6,1.3)(16,2.9)%fghi
\uput[u](0,13){\texttt{v}}\uput[u](21.1,13){\texttt{v$'$}}
 \uput[ul](9.8,6.2){\texttt{b}} \uput[ur](11,5.4){\texttt{c}} 
\uput[ur](12.6,5.5){\texttt{f}} \uput[ur](14.6,4.25){\texttt{g}} \uput[d](14.6,1.3){\texttt{h}} 
\uput[r](16,2.9){\texttt{i}}
\psline(-0.5,13)(21.7,13) 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape} 

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2, à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(24,14)
\psdots(1,12.9)(2.8,4.4)

\pspolygon(0,7.7)(6,11.1)(23.2,9.3)(23.2,0)(0,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,14)(0,7.7)(6,11.1)(23.2,9.3)(23.2,14)
\pscircle(1,12.9){4mm}
\psline[linewidth=1.8pt](1.1,12.5)(2.8,4.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=1.7pt,linecolor=white](6.2,3.1)(6,4.6)(5.1,5.35)(5.2,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=1.7pt,linecolor=white](6.2,3.1)(6,4.6)(8.3,5.6)(8.35,4.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=1.7pt,linecolor=white]
(6,4.6)(5.1,5.35)(7.3,6.2)(8.3,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=1.7pt,linecolor=white]
(7.3,6.2)(7.1,9.3)(8.1,8.85)(8.3,5.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=1.7pt,linecolor=white]
(7.1,9.3)(8.1,8.85)(10.2,9.5)(9.1,9.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=1.7pt,linecolor=white]
(10.2,8.75)(10.8,9)(11.9,8.5)(10.2,7.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=1.7pt,linecolor=white]
(8.25,4.2)(8.1,8.85)(10.2,9.5)(10.1,5.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=1.7pt,linecolor=white]
(10.1,5.2)(10.2,7.8)(11.9,8.5)(11.7,6)
\uput[dl](1,12.7){S}\uput[dl](2.8,4.4){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 3, à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.16cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-10)(8,52)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=5,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-10)(8,52)
\multido{\n=-1.5+0.5}{20}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-10)(\n,50)}
\multido{\n=-10+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.5,\n)(8,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-1,10)(-1,15)
\uput[l](-1,12.5){$\vect{u}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 2 exp 7 mul 11 x mul sub x 3 exp sub}
\psdots(0,0)(4,4)
\uput[ul](0,0){O}\uput[r](4,4){A}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}