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%tapuscrit : Denis Vergès
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%Tapuscrit : David Rousseau
%Figures : Denis Vergès
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole 18 juin 2014 \decofourright}\\[4pt] \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

\medskip


Un club de tennis souhaite avoir un logo en forme de raquette dans laquelle sera inscrit le nom du club (voir la figure ci-dessous).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,5)
%\psgrid
\psline(0,2.6)(0,2)(3,2)
\psline(0,2.6)(3,2.6)
\pscurve(3,2)(4,1.9)(5,1.4)(5.5,1)
\pscurve(3,2.6)(4,2.7)(5,3.2)(5.5,3.64)
\psellipse(8,2.35)(3,2.35)
\rput(8,3.35){\large Tennis}
\rput(8,1.35){\large Club}
\psline(10,4.08)(10,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

Une partie du logo est tracé dans le repère orthonormé de l'annexe 1, d'origine O(0~;~0) et d'unité 1 cm. L'ellipse $\mathcal{E}$, de centre $\Omega$, représente le cadre de la raquette (partie où se trouve le tamis ou cordage). Les segments $[AM]$, $[MN]$ et $[NE]$ constituent une partie du manche.
\vspace{0.2cm}

Dans ce repère, on a les données suivantes:

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\Omega(9~;~0)$~~~~$B(5~;~2,4)$~~~~$A(0~;~0,5)$~~$M(-5,5~;~0,5)$~~~~$N(-5,5~;~-0,5)$~~~~$E(0~;~-0,5)$.
\item[$\bullet$] Une équation cartésienne de l'ellipse $\mathcal{E}$ est $\dfrac{(x-9)^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$.
\end{itemize}
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des demi-axes de l'ellipse $\mathcal{E}$.
\item Montrer que le point $B$ appartient à l'ellipse $\mathcal{E}$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour compléter la partie manquante du manche, on souhaite relier les points $A$ et $B$ par un arc de parabole, représentant une fonction $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Donner l'expression de la fonction $f'$ dérivée de $f$.
\item On souhaite que l'arc de la parabole passe par les points $A$ et $B$, et que la tangente à la parabole au point $A$ soit horizontale. Exprimer ces trois contraintes à l'aide d'un système.
\item Résoudre ce système.
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~5]$ par $f(x) = 0,076x^2 + 0,5$. On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ ci-dessous (valeurs arrondies à $10^{-1}$ près).

\vspace{0.1cm}

% Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Feuil1'
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0 & 1 &1,5 & 2 & 2,5 &3 &3,5 &4 &4,5 &5 \\\hline
$f(x)$ 	&  &   &    &   &     &  &    &  &    &\\\hline
\end{tabularx}
\vspace{0.1cm}
  
\item Dans le repère de l'annexe 1, tracer la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\mathcal{C'}$ symétrique de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}
Le logo de l'annexe 1 est une réduction à l'échelle $\frac{2}{7}$ d'une raquette qui a servi de modèle pour le tracer. Les trois questions suivantes concernent la raquette qui a servi de modèle.
\begin{enumerate}
\item Calculer en vraie grandeur la longueur totale en centimètres de la raquette (manche et cadre).
\item Calculer une valeur arrondie au cm$^2$ de l'aire du tamis en vraie grandeur sachant que l'aire d'une ellipse est égale à $\pi\times d\times D$, où $d$ et $D$ désignent les longueurs des demi-axes de l'ellipse.
\item Une raquette de compétition doit avoir une longueur totale qui ne dépasse pas 74 cm et une aire du tamis qui ne dépasse pas 710 cm$^2$. La raquette qui a servi de modèle est-elle une raquette de compétition ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

Un presse papier est constitué d'une pyramide $SIJKL$ à base carrée inscrite dans un cube transparent $ABCDEFGH$.

Il est représenté ci-dessous en perspective cavalière.

\begin{center}
\vspace{0.2cm}

\psset{xunit=1.7421602787456445cm,yunit=1.8939393939393943cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.96,-5.72)(6.7,-0.44)
\psline(3,-2)(6,-2)
\psline(6,-2)(5,-1.3)
\psline(5,-1.3)(2,-1.3)
\psline(2,-1.3)(3,-2)
\psline(3,-2)(3,-5)
\psline(3,-5)(2,-4.3)
\psline(2,-4.3)(2,-1.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2,-4.3)(5,-4.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](5,-4.3)(6,-5)
\psline(6,-5)(6,-2)
\psline(3,-5)(6,-5)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](5,-4.3)(5,-1.3)
\psline[linewidth=1.2pt](4,-1.65)(2.5,-4.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.5,-4.65)(3.5,-4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](3.5,-4.3)(5.5,-4.65)
\psline[linewidth=1.2pt](5.5,-4.65)(4.5,-5)
\psline[linewidth=1.2pt](4.5,-5)(2.5,-4.65)
\psline[linewidth=1.2pt](4.5,-5)(4,-1.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](4,-1.65)(3.5,-4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](4,-1.65)(5.5,-4.65)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6,-5)
\rput[bl](6.08,-5.32){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6,-2)
\rput[bl](6.08,-1.96){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,-2)
\rput[bl](3.08,-1.96){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,-5)
\rput[bl](3.08,-5.32){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,-4.3)
\rput[bl](5.08,-4.26){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,-4.3)
\rput[bl](1.68,-4.26){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,-1.3)
\rput[bl](1.68,-1.26){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,-1.3)
\rput[bl](5.08,-1.26){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.5,-4.65)
\rput[bl](2.14,-4.62){\darkgray{$L$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.5,-5)
\rput[bl](4.46,-5.42){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.5,-4.65)
\rput[bl](5.58,-4.62){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.5,-4.3)
\rput[bl](3.28,-4.3){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,-1.65)
\rput[bl](4.08,-1.62){\darkgray{$S$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace{0.2cm}

Le sommet $S$ de la pyramide est au centre de la face supérieure $BFGC$ du cube.\\
Les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux des arêtes de la face inférieure $AEHD$.\\
\begin{center}
\textit{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}
\end{center}
\begin{center}
\textbf{Partie A : Représentation en perspective centrale}
\end{center}
\vspace{0.2cm}

L'objectif de cette partie est de représenter ce presse-papier en perspective centrale avec comme plan frontal le plan $(ABCD)$ en complétant l'annexe 2, où la ligne d'horizon est déjà tracée. On note $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, s$ les images respectives des points $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, S$ dans cette représentation en perspective centrale.
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des droits $(gf)$ et $(cb)$ dans cette représentation centrale ?
\item \begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Donner la position de la droite $(CG)$ dans l'espace par rapport au plan frontal $(ABCD)$.
\item Donner la position de la droite $(BF)$ dans l'espace par rapport au plan frontal $(ABCD)$.
\end{enumerate}
\item Comment appelle-t-on le point d'intersection des droites $(cg)$ et $(bf)$ dans la représentation en perspective centrale ?
\item Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale du presse-papier sur le document en annexe 2, en laissant apparents les traits de construction.
\item Que peut-on dire des droites $(ij)$ et $(jk)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{\textbf{Partie B: Calculs de longueurs, d'un angle et d'une aire}}

\medskip

\textit{On rappelle que l'aire d'un triangle est donnée par la formule $\mathcal{A}=\frac{b\times h}{2}$ où $b$ désigne la base et $h$ la hauteur su triangle.}
\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $IJ=4\sqrt{2}$ et $SI=4\sqrt{5}$.
\item En utilisant la relation d'Al-Kashi, calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\overbrace{ISJ}$. En déduire la valeur arrondie de cet angle au degré près.
\item Représenter en vraie grandeur le triangle $SIJ$. Calculer son aire en cm$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\begin{center}
{\textbf{\textit{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}}}

\end{center}
\begin{center}{\textbf{Partie A : Pentagone}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Constructions sur la copie:
\begin{itemize}
\item Dessiner un segment $[OA]$ de longueur 6 cm.
\item Construire le triangle équilatéral $OAD$.
\item Soit $I$ le milieu de $[AD]$. Construire à l'extérieur du triangle $OAD$ les deux triangles équilatéraux $IAB$ et $ICD$.
\item Tracer le pentagone $OABCD$.

\end{itemize}
\item Démontrer que que $IBC$ est un triangle équilatéral.
\item Faire apparaître sur le dessin que le pentagone $OABCD$ est la juxtaposition de 7 triangles équilatéraux identiques.

\end{enumerate}
\begin{center}{\textbf{Partie B: Pavage}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On considère le motif élémentaire ainsi que les deux motifs \og fleur\fg{} et \og hélice\fg{} suivants:

\vspace{0,25cm}
\def\partie{\psset{unit=0.5cm} \pspolygon(0,0)(3,0)(3.75,1.299)(3,2.598)(1.5,2.598)}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\begin{pspicture}(-2.6,-2)(2,2)
\rput(-1,-.5){\partie}
\end{pspicture}&%\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0;0){\partie}}
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(-2.6,-2)(2,2)
\rput(-1.8,-0.7){\partie}
\rput{-120}(0.44,1.9){\partie}
\rput{120}(1.58,-1.35){\partie}
\end{pspicture}\\
motif élémentaire&motif \og fleur \fg&motif \og hélice \fg\\ \hline
\end{tabularx}
\vspace{0.2cm}

\textbf{Pour répondre aux deux questions suivantes, on donnera un nom aux sommets à utiliser pour définir les transformations. Pour cela, on reproduira sur un croquis à mains levée le motif élémentaire sur la copie.}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item Par quelles transformations peut-on obtenir le motif \og fleur \fg{} à partir du motif élémentaire ?
\item Par quelles transformations peut-on obtenir le motif \og hélice \fg{} à partir du motif élémentaire ?
\end{enumerate}
\item On considère le pavage suivant:

\begin{center}
\begin{pspicture*}(14,13)
%\psgrid
\psset{unit=0.8cm}
\def\partie{ \pspolygon(0,0)(1.5,0)(1.875,0.6495)(1.5,1.299)(0.75,1.299)}
\def\fleur{\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0;0){\partie}}}
\rput(2,12){\fleur}\rput(3.13,8.76){\fleur}
\multido{\rA=3.16+3.38,\rB=17.82+-0.64}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.85+3.39,\rB=15.25+-0.65}{6}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=-1.38+1.13,\rB=12.65+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=2.00+1.13,\rB=12.00+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=5.38+1.13,\rB=11.35+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=8.76+1.13,\rB=10.70+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=12.14+1.13,\rB=10.05+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=15.52+1.13,\rB=9.40+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.88+3.38,\rB=15.27+-0.66}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\rput(0.88,15.27){\fleur}
\rput(-0.29,0.29){\fleur}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}

\item Par quelles transformations peut-on obtenir ce pavage en utilisant le motif \og fleur \fg{} ?

Pour définir ces transformations, vous placerez des points sur le dessin de l'annexe 3a.
\item De même, par quelles transformations peut-on obtenir ce pavage en utilisant le motif \og hélice \fg{} ?

Pour définir ces transformations, vous placerez des points sur le dessin de l'annexe 3b.
\end{enumerate}
\item On appelle damier un pavage constitué de motifs bicolores disposés de telle sorte que deux motifs de même couleur ne peuvent être en contact que par un sommet, et non par une arête.

Lequel des deux motifs composés (\og fleur \fg{} ou \og hélice \fg) permet-il d'obtenir un pavage de type damier ?

Répondre en coloriant un damier sur l'annexe 3c.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 -- Exercice 1 (\`a rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-7)(6.5,16)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-7,-7)(7,16)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(6.5,0)(-6.5,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-7,0)(16,0)
\psdots(-0.5,0)(0.5,0)(-0.5,-5.5)(0.5,-5.5)(9,0)(-2.4,5)
\rput{90}(-0.7,0.3){A}
\rput{90}(0.7,0.3){E}
\rput{90}(-0.8,-5.8){M}
\rput{90}(0.8,-5.8){N}
\rput{90}(-2.7,4.7){B}
\rput{90}(0.3,9){$\Omega$}
\psline(-0.5,0)(-0.5,-5.5)(0.5,-5.5)(0.5,0)
\psellipse(0,9)(4,5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(13,13)
\psline(0,12)(13,12)\uput[u](11.5,12){ligne d'horizon}
\psframe(12,1)(5.5,7.5)
\psline(12,7.5)(8.6,9.75)
\uput[dr](12,1){$a$} \uput[ur](12,7.5){$b$} \uput[ul](5.5,7.5){$c$} \uput[dl](5.5,1){$d$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\psset{unit=0.47cm}\begin{pspicture*}(14,13)

\def\partie{\pspolygon(0,0)(1.5,0)(1.875,0.6495)(1.5,1.299)(0.75,1.299)}
\def\fleur{\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0;0){\partie}}}
\rput(2,12){\fleur}\rput(3.13,8.76){\fleur}
\multido{\rA=3.16+3.38,\rB=17.82+-0.64}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.85+3.39,\rB=15.25+-0.65}{6}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=-1.38+1.13,\rB=12.65+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=2.00+1.13,\rB=12.00+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=5.38+1.13,\rB=11.35+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=8.76+1.13,\rB=10.70+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=12.14+1.13,\rB=10.05+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=15.52+1.13,\rB=9.40+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.88+3.38,\rB=15.27+-0.66}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\rput(0.88,15.27){\fleur}
\rput(-0.29,0.29){\fleur}
\end{pspicture*}

\textbf{Annexe 3a}                    

(à rendre avec la copie)  

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.47cm}\begin{pspicture*}(14,13)

\def\partie{\pspolygon(0,0)(1.5,0)(1.875,0.6495)(1.5,1.299)(0.75,1.299)}
\def\fleur{\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0;0){\partie}}}
\rput(2,12){\fleur}\rput(3.13,8.76){\fleur}
\multido{\rA=3.16+3.38,\rB=17.82+-0.64}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.85+3.39,\rB=15.25+-0.65}{6}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=-1.38+1.13,\rB=12.65+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=2.00+1.13,\rB=12.00+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=5.38+1.13,\rB=11.35+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=8.76+1.13,\rB=10.70+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=12.14+1.13,\rB=10.05+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=15.52+1.13,\rB=9.40+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.88+3.38,\rB=15.27+-0.66}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\rput(0.88,15.27){\fleur}
\rput(-0.29,0.29){\fleur}
\end{pspicture*}

\textbf{Annexe 3b}   

(à rendre avec la copie)

\vspace{0,47cm}

\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture*}(14,13)

\def\partie{\pspolygon(0,0)(1.5,0)(1.875,0.6495)(1.5,1.299)(0.75,1.299)}
\def\fleur{\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0;0){\partie}}}
\rput(2,12){\fleur}\rput(3.13,8.76){\fleur}
\multido{\rA=3.16+3.38,\rB=17.82+-0.64}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.85+3.39,\rB=15.25+-0.65}{6}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=-1.38+1.13,\rB=12.65+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=2.00+1.13,\rB=12.00+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=5.38+1.13,\rB=11.35+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=8.76+1.13,\rB=10.70+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=12.14+1.13,\rB=10.05+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=15.52+1.13,\rB=9.40+-3.24}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\multido{\rA=0.88+3.38,\rB=15.27+-0.66}{5}{\rput(\rA,\rB){\fleur}}
\rput(0.88,15.27){\fleur}
\rput(-0.29,0.29){\fleur}
\end{pspicture*}

\textbf{Annexe 3c}

(à rendre avec la copie)
\end{document}