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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 16 juin 2014 \decofourright\\[4pt]Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

\medskip
 
\emph{Les trois parties de cet exercice sont largement indépendantes}

\medskip
 
\parbox{0.7\linewidth}{Un miroir est composé d'une glace reposant sur un support cylindrique à base circulaire. Ce cylindre est tronqué en biais par rapport à l'horizontale. 

La section oblique du cylindre correspondant à la glace forme une ellipse 
$\mathcal{E}$.
 
On appelle respectivement $h$ et $H$ les distances entre le plan de la base du cylindre et les sommets inférieur et supérieur de $\mathcal{E}$.
 
On note $d$ le diamètre du cylindre.
 
On donne :
 
$H = 145$ cm

$h = 9$ cm
 
$d = 32$ cm}
\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.2,9)
%\def\elli{\psscalebox{1 0.1}{\psarc*[linecolor=blue](1.85,1.3){0.85}{180}{0}}}
%\psgrid
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
{\psline(1,1)(1,1.8)(2.7,8.6)(2.7,1)
\pscurve(2.7,1)(2.6,0.88)(2.5,0.83)(2.4,0.8)(2.3,0.79)(2.2,0.765)(2.1,0.75)(2,0.745)(1.9,0.74)(1.85,0.738)(1.8,0.74)(1.7,0.745)(1.6,0.75)(1.5,0.765)(1.4,0.79)(1.3,0.8)(1.2,0.83)(1.1,0.88)(1,1)
\psline(1,1)(1,1.8)}
\rput{79}(1.85,5.3){\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(3.9,0.45)}
\psline{<->}(3,1)(3,9.2)\uput[r](3,5.1){$H$}
\psline{<->}(1,0.3)(2.7,0.3)\uput[d](1.85,0.3){$d$}
\psline{<->}(0.6,1)(0.6,1.5)\uput[l](0.6,1.25){$h$}
\end{pspicture}}

\medskip
 
On a représenté les vues de profil et de dessus du miroir en Annexe 1.

\begin{center}
 
\textbf{Partie A}

\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Le schéma représentant la vue de coupe suivant un plan vertical est donné en Annexe 1. 

Indiquer dans les cadres prévus à cet effet les trois dimensions manquantes, représentées par des flèches. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur exacte de SS$'$. En déduire la longueur arrondie au centimètre du grand axe de l'ellipse $\mathcal{E}$. 
		\item Donner, sans justifier, la longueur du petit axe de $\mathcal{E}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
 
\textbf{Partie B}

\end{center}

On admet pour la suite que le contour de la glace représente une ellipse 
$\mathcal{E}$ dont les axes mesurent $140$~cm et $32$~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sachant que l'aire d'une ellipse dont les \emph{demi-axes} ont pour mesures $a$ et $b$ est égale à $\pi a b$, calculer au cm$^2$ près l'aire de $\mathcal{E}$. 
\item La glace comporte une couche de verre de 4~mm d'épaisseur. Elle a ainsi la forme d'un solide ayant pour base une ellipse, et une hauteur de 4~mm. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de verre utilisé, au cm$^3$ près. 
		\item Sachant que le verre a une masse volumique de 2,5~g/cm$^3$, déterminer la masse de la glace, arrondie au kg près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}
 
\textbf{Partie C}

\end{center} 

On considère le repère orthonormal vérifiant les conditions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'origine du repère est située au centre de $\mathcal{E}$ 
\item[$\bullet~~$] L'axe des abscisses est confondu avec le grand axe de $\mathcal{E}$ 
\item[$\bullet~~$] L'unité de longueur est le centimètre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On rappelle que le grand axe et le petit axe de $\mathcal{E}$ mesurent respectivement 140~cm et 32~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de $\mathcal{E}$ dans ce repère. 
		\item Soit M le point de coordonnées M(42~;~12,8).
		 
Montrer par un calcul que le point M appartient à $\mathcal{E}$.
	\end{enumerate} 
\item Afin de réaliser un tracé de $\mathcal{E}$, on utilise un paramétrage. 
On considère que le paramétrage suivant 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& 70 \cos t \\
y(t) &=& 16 \sin t 
\end{array}\right.\]

constitue un paramétrage de l'ellipse lorsque $t$ désigne un angle dont la mesure en degrés décrit l'intervalle [0~;~360]. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau situé en Annexe 1, en arrondissant les valeurs trouvées au centième près. 
		\item Construire dans le repère donné en Annexe 1 l'arc de l'ellipse correspondant aux valeurs du tableau, puis compléter le tracé de $\mathcal{E}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse au pavage du plan à l'aide d'un motif élémentaire dont la construction est décrite ci-après.
 
Les dessins demandés seront réalisés sur l'annexe 2.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Sur la figure ci-dessous, on a représenté un pentagone O, A, B, C, D dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4.2,4.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(4,4)
\pspolygon(0,0)(-1,1)(-3,1)(-3,-1)(-1,-1)
\uput[ur](0,0){O} \uput[ur](-1,1){A} \uput[ul](-3,1){B} \uput[dl](-3,-1){C} \uput[dr](-1,-1){D}
\uput[u](4.1,0){$x$}\uput[r](0,4.1){$y$} 
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des points O, A, B, C, D ? 
\item Soient A$_{2}$, B$_{2}$, C$_{2}$, D$_{2}$ les images respectives de A, B, C, D par la symétrie centrale de centre O. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur l'annexe 2, le pentagone O, A, B, C, D et le pentagone O, A$_{2}$, B$_{2}$, C$_{2}$, D$_{2}$ en faisant figurer le nom des points sur le dessin. 
		\item Lire graphiquement les coordonnées du point C$_{2}$.
	\end{enumerate}
\item Soient B$_{1}$ et C$_{1}$ les images respectives de B et C par la rotation d'angle 90~\degres{} et de centre O.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont leurs coordonnées ?
		\item Quelles sont les images de A et D par cette rotation ?
	\end{enumerate} 
\item Soient B$_{3}$ et C$_{3}$ les images respectives de B et C par la rotation d'angle $- 90$~\degres{} et de centre O.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont leurs coordonnées?
		\item Quelles sont les images de A et D par cette rotation ?
	\end{enumerate}
\item Tracer sur l'annexe 2 les deux pentagones O, D, B$_{1}$, C$_{1}$, A$_{2}$ et O, D$_{2}$, B$_{3}$, C$_{3}$, A, puis surligner les côtés du polygone P = [A, B, C, D, B$_{1}$, C$_{1}$, A$_{2}$, B$_{2}$, C$_{2}$, D$_{2}$, B$_{3}$, C$_{3}$], qui constitue le motif du pavage que l'on souhaite construire. 
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont tous les axes de symétrie de ce motif P ? 
		\item En déduire une autre méthode pour construire le motif à partir du pentagone 0, A, B, C, D sans utiliser de rotation.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On souhaite procéder à un pavage du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $t_{1}$ la translation qui transforme C en C$_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les coordonnées du vecteur $\vect{u}$ de cette translation. 
		\item Combien d'autres couples de points de la forme $\left(M,\, M'\right)$, où $M$ et $M'$ sont des sommets du polygone P tels que $\vect{MM'} = \vect{u}$, peut-on identifier ? 
		\item Tracer sur l'annexe 2 l'image P$'$ du motif P par la translation $t_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $t_{2}$ la translation de vecteur $\vect{v}(- 4~;~2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de couples de points de la forme $\left(M,\, M'\right)$, où $M$ et $M'$ sont des sommets du polygone P tels que $\vect{MM'} = \vect{v}$, peut-on identifier? 
		\item Tracer sur l'annexe 2, les images par la translation $t_{2}$ des deux motifs P et P$'$.
	\end{enumerate} 
\item Donner deux translations nécessaires pour recouvrir tout le plan à l'aide du motif P.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip 

Un fabriquant de lunettes FAMO veut étudier un verre teinté.

\begin{center}
\textbf{Partie A : Étude du pouvoir d'atténuation du verre}
\end{center}
  
\begin{enumerate}
\item Un rayon lumineux traversant ce verre plat épais de 1~cm perd 30\,\% d'intensité lumineuse en traversant ce verre. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour une intensité de 10 candélas, calculer l'intensité lumineuse après le verre. 
		\item Soit $I$ l'intensité avant le verre et $I'$ après le verre ($I$ et $I'$ sont exprimées en candélas).
		 
Justifier que $I' = 0,7 I$. 
	\end{enumerate}
\item Le pouvoir d'atténuation est fonction de l'épaisseur du verre. Soit $I$ l'intensité avant le verre et $I'$ après le verre pour une épaisseur $x$ cm ($I$ et $I'$ sont exprimées en candélas). On a la formule suivante :
 
\[I'= 0,7^x I.\]
 
On veut diviser par deux l'intensité lumineuse. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que calculer l'épaisseur du verre revient à résoudre l'équation : 

\[0,7^x = 0,5.\]
 
		\item Résoudre cette équation, et fournir une valeur approchée de la solution au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie B : Amincissement du verre}
\end{center}
 
Le fabriquant, voulant améliorer l'épaisseur de ce verre, se propose de l'amincir. Cependant un défaut apparaît : chaque rayon incident arrivant perpendiculairement au verre plat est réfracté avec un angle. On se propose de calculer cet angle.
 
Le rayon lumineux avant le verre est symbolisé par le vecteur $\vect{\text{AB}}$ et le rayon réfracté est noté $\vect{\text{BC}}$. 

Des mesures sont réalisées. Dans un repère orthonormé \Oij, on obtient les coordonnées suivantes : A(0~;~1),  B(3~;~1) et C(6~;~3).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer dans un repère orthonormé \Oij{} les points A, B et C.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BA}} \cdot\vect{\text{BC}}$.
\item En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$. On arrondira le résultat au degré près.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 (À remettre avec votre copie)} 


\medskip

\begin{flushleft}
Question A 1.
\end{flushleft} 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15.1,10.5)
\psframe(15.1,10.5)
\psframe(0.6,4.9)(3.2,6.3)
\psframe(7.7,6.6)(10.3,8)
\psframe(4.4,0.1)(7,1.5)
\pscircle(5.7,2.8){1}
\pspolygon(4.7,5.2)(4.7,6.2)(6.7,10.1)(6.7,5.2)
\psdots(4.7,6.2)(6.7,10.1)(6.7,6.2)(5.7,8.15)(5.7,2.8)
\uput[l](4.7,6.2){S} \uput[ur](6.7,10){S$'$} \uput[r](6.7,6.2){A}
\psline[linestyle=dashed](5.7,8.15)(5.7,2.8)
\uput[ul](5.7,8.15){O}
\psline[linestyle=dashed](4.7,2.8)(4.7,6.2)
\psline[linestyle=dashed](6.7,2.8)(6.7,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1.2,5.1)(3,5.1)
\psline[linestyle=dotted](8.2,6.9)(10,6.9)
\psline[linestyle=dotted](4.8,0.4)(6.6,0.4)
\psline[linestyle=dotted](5.7,2.8)(5.7,8.15)
\psline[linestyle=dotted](6.7,6.2)(4.7,6.2)
\psline{<->}(4.7,1.3)(6.6,1.3)
\psline{<->}(7.6,5.2)(7.6,10.1)
\psline{<->}(3.8,5.2)(3.8,6.2)
\psline(11.1,0)(11.1,10.5)
\psline(11.1,4.3)(15.1,4.3)
\rput(13,7.3){Vue de profil}
\rput(13,2.1){Vue de dessus} 
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft}
Question C 2. a.
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$ (degrés)	& 0	& 10& 20& 30& 50& 70& 90\\ \hline 
$x = 70 \cos t$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline 
$y = 16 \sin t$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{flushleft}
Question C 2. b.
\end{flushleft} 

\medskip

\psset{unit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-80,-21)(80,26)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray]
\multido{\n=-80+1}{161}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-21)(\n,26)}
\multido{\n=-21+1}{48}{\psline[linewidth=0.1pt](-80,\n)(80,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx =100,Dy=100]{->}(0,0)(-80,-20)(80,26)
\uput[dl](0,0){0} \uput[d](10,0){10} \uput[l](0,10){10}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 (à remettre avec votre copie) }

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(8,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=100,Dy=100](0,0)(-8,-4)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
\uput[d](7.8,0){$x$}\uput[ul](0,10){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}