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%Corrig\'e : Michel Fr\'echet
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\title{Correction Bac, série STG -- CFE}
\date{juin 2011}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Exercice \no 1\hfill 4 points}
\begin{enumerate}
\item Pout tout nombre réel strictement positif, le nombre $\ln(7\times a)$ est égal à $\boxed{\ln (7)+\ln (a)}$

\item Dans $\mathbbm R$, 

\[\text{e}^x-5=0 \Longleftrightarrow \text{e}^x=5 \Longleftrightarrow \boxed{x=\ln(5)}\]

\item Dans cette question $f$ est une fonction définie dérivable sur l'intervalle $[-1\,;\,5]$.

Dans le tableau figure le signe de la dérivée $f'$ sur $[-1\,;\,5]$, donc le tableau de variations est:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ /1, signe de $f'(x)$ /1, $f(x)$ /1.5}{$-1$,$1$,$4$,$5$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\tkzTabVar{-/ ,+/ , -/ , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On peut déjà éliminer la courbe b).

Le maximum est obtenu pour $x=1$ et le minimum pour $x=4$. Seule la courbe \boxed{a)} convient.
 
\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{tikzpicture}[scale=.6]
\tkzInit[xmin=-1,xmax=5,ymin=-4,ymax=2]
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=-1:5]{0.15*(\x**3-7.3333*\x**2+11.666*\x)}
\tkzDrawTangentLine(1)
\tkzDrawTangentLine(3.9)
\end{tikzpicture}\end{scriptsize}
\end{center}

\item Soit $g$ la fonction définie sur $]2\,;\,+\infty[$ par $g(x)=\ln(3x-6)$.

Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $]2\,;\,+\infty[$. Pour tout $x$ de $]2\,;\,+\infty[$:  $\boxed{g'(x)=\dfrac{3}{3x-6}}$

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section*{Exercice \no 2\hfill 5 points}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

Un parc aquatique en plein air a ouvert ses portes en juin 2003. Ce parc n'ouvre que pendant la saison d'été, de juin à septembre.

\subsection*{Partie A}

En 2003, ce parc a enregistré \nombre{190000}{} entrées. Depuis, on a constaté une hausse annuelle moyenne de 3,5\%{} du nombre d'entrées.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'entrée de l'année 2003$+n$. Ainsi $u_0=\nombre{190000}$.
\begin{enumerate}
\item $u_1=u_0+\dfrac{3,5}{100}\times u_0=u_0\left(1+\dfrac{3,5}{100}\right)=u_0\times 1,035=190000\times 1,035=196 650.$
\item La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme \nombre{190000} et de raison $1,035$
\item Ainsi $u_n=u_0\times {(1,035)}^n$.
\item En utilisant ce modèle, une estimation du nombre d'entrées en 2011 est 
\[u_{8}=190000\times{(1,035)}^8=250 193,717023\simeq 250194\]
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
Deux tarifs différents sont pratiquész, un tarif adulte et un tarif enfant. Dans cette partie, on s'intéresse aux recettes générées par les entrées dans ce parc durant la saison 2010. Les informations ci-dessous sont extraites d'une feuille de calcul.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{gray}}p{0.3cm}|p{2.1cm}|p{2.1cm}|p{2.1cm}|p{2.1cm}|p{2.1cm}|p{2.1cm}|}
\hline\rowcolor{gray}  & A & B & C & D & E & F \\ 
\hline 1 & Prix d'une entrée adulte & 20\eurologo &  &  &  &  \\ 
\hline 2 & Prix d'une entrée enfant & 15\eurologo &  &  &  &  \\ 
\hline 3 &  &  & Mois & Nombre d'entrées adulte & Nombre d'entrées enfant & Recette \\ 
\hline 4 &  &  & juin 2010 & \nombre{29847} & \nombre{15536} & \nombre{829980} \\ 
\hline 5 &  &  & juillet 2010 & \nombre{50235} & \nombre{40648} &  \\ 
\hline 6 &  &  & août 2010 & \nombre{46533} & \nombre{28282} &  \\ 
\hline 7 &  &  & septembre 2010 & \nombre{18425} & \nombre{12227} &  \\ 
\hline 8 &  &  & Total & \nombre{145040} & \nombre{96693} &  \\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Formule qui, entrée en cellule \texttt{D8}, permet par recopie vers la droite d'obtenir le contenu des cellules \texttt{D8} et \texttt{E8}: \boxed{\texttt{=SOMME(D4:D7)}}
\item Parmi les formules proposées ci-dessous, recopier sur la copie toutes celles qui, entrées en cellule \texttt{F4}, permettent par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage \texttt{F4:F8}.

\begin{center}
\boxed{=20*D4+15*E4}\quad\boxed{=\$B\$1*D4+\$B\$2*E4}
\end{center}


\end{enumerate}



\section*{Exercice \no 3\hfill 5 points}
Durant le mois de mars 2011, 125 clients ont réservé un voyage dans une agence.

Pour chacun de ces clients, un dossier a été constitué.

En consultant ces dossiers, on constate que:
\begin{itemize}
\item 50 clients ont choisi un voyage en France;
\item 48\%{} des clients ayant choisiun voyage en France ont souscrit une assurance annulation;
\item 56\%{} des clients ayant choisiun voyage à l'étranger ont souscrit une assurance annulation
\end{itemize}

On choisit un dossier de ces clients au hasard. On suppose que chaque dossier a la même probabilité d'être choisi.

On définit les événements suivants:
\begin{itemize}
\item $F$: \og le dossier est celui d'un client ayant choisi un voyage en France\fg;
\item $E$: \og le dossier est celui d'un client ayant choisi un voyage à l'étranger\fg;
\item $A$: \og le dossier est celui d'un client ayant souscrit une assurance annulation\fg.
\end{itemize}

\begin{center}
\textit{Les probabilités seront données sous forme décimale.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Probabilité $p(F)$ de l'événement $F$: comme il y a équiprobabilité, nous pouvons dire que

\[
p(F)=\frac{50}{125}=0,4
\]
\item Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilités représenté ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[]
\tikzstyle{feuille}=[]
\tikzstyle{etiquetteb}=[midway,below]
\tikzstyle{etiquetteh}=[midway,above]

\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{1}

\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}

\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$E$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};

\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquetteh] {$0,4$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquetteh] {$0,48$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquetteb] {$0,52$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquetteb] {$0,6$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquetteh] {$0,56$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquetteb] {$0,44$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Calculer la probabilité de l'événement $F\cap A$:

\[
p(F\cap A)=p_F(A)\times p(F)=0,48\times 0,4=0,192
\]

\item Probabilité de l'événement $A$:

\[
p(A)=p(A\cap F)+p(A\cap E)=p_F(A)\times p(F)+p_E(A)\times p(E)=0,48\times 0,4+0,56\times 0,6=0,528
\]
\item Probabilité, sachant $A$, de l'événement $F$.

\[
p_A(F)=\frac{p(A\cap F)}{p(A)}=\frac{0,192}{0,528}=0,3636
\]
\item Les événements $F$ et $A$ ne sont pas indépendants, car

\[
p(F\cap A)=0,192\quad \not= \quad p(F)\times p(A)=0,4\times 0,528=0,2112
\]
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Exercice \no 4\hfill 6 points}
\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}

\subsection*{Partie A}
Dans cette partie, on s'intéresse aux dépenses engendrées par la gestion des déchets en France.

Le tableau ci-dessous présente les données de 2001 à 2007.

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{5cm}|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Année & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ 
\hline Rang de l'année $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 
\hline Dépense $y_i$ (en millions d'euros) & \nombre{9432} & \nombre{9926} & \nombre{10233} & \nombre{10462} & \nombre{11411} & \nombre{12304} & \nombre{12833} \\ \hline 
\end{tabular}
\begin{footnotesize}
Source: SOeS -- Commission des comptes et de l'environnement, mai 2009.
\end{footnotesize}
\end{center} 
Le nuage de points de coordonnées $(x_i\,;\,y_i)$ pour $i$ variant de 0 à 6, est donné en annexe à rendre avec la copie.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ est:
\[
y=575,321x+9214,036
\]
\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal D$ d'équation $y=575,3x+9214$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal D$ sur le graphique figurant sur annexe.
\item En utilisant cet ajustement affine, estimer la dépense engendrée par la gestion des déchets en 2011.
\begin{itemize}
\item Graphiquement, voir plus loin;
\item par le calcul: $y_{2011}=575,3\times 10+9214=14977$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
Les déchets sont classés en plusieurs catégories, dont la catégorie des déchets ménagers.

Une partie des déchets ménagers sont recyclés.

Dans la feuille de calcul reproduite ci-dessous, on a rassemblé les données concernant ces différents types de déchets pour les années 2001 à 2007.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{gray}}p{0.3cm}|p{5cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|}
\hline\rowcolor{gray} & A & B & C & D & E & F & G & H \\ 
\hline 1 & Année & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ 
\hline 2 & Masse de déchets ménagers produits (en milliers de tonnes) & \nombre{30161} & \nombre{30823} & \nombre{31400} & \nombre{32445} & \nombre{33363} & \nombre{33989} & \nombre{34629} \\ 
\hline 3 & Masse de déchets ménagers recyclés (en milliers de tonnes) & \nombre{4124} & \nombre{4426} & \nombre{4670} & \nombre{4935} & \nombre{5365} & \nombre{5661} & \nombre{5964} \\ 
\hline 4 & Taux de recyclage & 13,7\% &  &  &  &  & 16,7\% &  \\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{footnotesize}
\textit{Sources: Ademe, enquête \og Itom\fg{} et \og collecte\fg; SOeS.}
\end{footnotesize}

\begin{center}
La plage de cellules \texttt{B4:H4} est au format pourcentage à une décimale.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textit{Dans cette question, on s'intéresse aux déchets ménagers produits entre 2001 et 2007.}
\begin{enumerate}
\item Taux d'évolution de la masse de déchets ménagers produits entre 2001 et 2007 (arrondir à 0,1\%):
\[
T=\frac{34629-30161}{30161}\times 100=0,148138324326\times 100\simeq 14,81\%
\]
\item Taux d'évolution annuel moyen de la masse de déchets ménagers produits entre 2001 et 2007 (arrondir à 0,1\%):
\[
1+\frac{T_m}{100}=\sqrt[6]{1+\frac{T}{100}}=\sqrt[6]{1,1481} \simeq 1,0233 \Longleftrightarrow T_m=\frac{1,02-1}{100}=0,233 \Longleftrightarrow T_m \simeq 2,3\%
\]
\end{enumerate}
\item On appelle taux de recyclage la proportion de déchets ménagers recyclés parmi les déchets ménagers produits.
\begin{enumerate}
\item Formule qui, entrée en cellule \texttt{B4}, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage \texttt{B4:H4}: \boxed{\texttt{=B3*100/B2}}
\item Calcul de la valeur affichée dans la cellule \texttt{H4}: $H4=\frac{5964\times 100}{34629}=17,2$
\item On souhaite atteindre l'objectif de recyclage de 30\%{} en 2012. 

En considérant que l'évolution de la masse de déchets ménagers progresse de la même manière, c'est-à-dire avec un taux d'évolution annuel moyen de 2,3\%{}, on obtient (en milliers de tonnes) pour 2012:
\[
34629\times {(1,023)}^5\simeq 38799
\]
Calculons maintenant le taux d'évolution de la masse de déchets ménagers recyclés entre 2001 et 2007:
\[
T_r=\frac{5964-4124}{4124}\times 100\simeq 44,6\%
\]
Soit un taux annuel moyen de:
\[
1+\frac{T_m}{100}=\sqrt[6]{1,446}\simeq 1,0634\Longleftrightarrow T_m=(1,0634-1)\times 100 \simeq 6,3\%
\]
En considérant que l'évolution de la masse de déchets ménagers recyclés progresse de la même manière, c'est-à-dire avec un taux d'évolution annuel moyen de 6,3\%{}, on obtient (en milliers de tonnes) pour 2012:
\[
5964\times{(1,063)}^5\simeq 8095
\]
Cela correspond à 20,9\%{} de recyclage:
\[
8095=\frac{x}{100}\times 38799\Longleftrightarrow x=\frac{8095\times 100}{38799}\simeq 20,9\%
\]
L'objectif est loin d'être atteint!
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe: à rendre avec la copie}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}%[scale=.8]
\begin{scope}[yscale=.4]
\tkzInit[ymin=9000,ymax=16000,xmin=0,xmax=12,ystep=200]
\tkzGrid
\tkzAxeX[tickdn=0.08,tickup=0]
\tkzAxeY[up space=1]
\tkzDefSetOfPoints[show]{0/9432,1/9926,2/10233,3/10462,4/11411,5/12304,6/12833}
\tkzFct[domain=0:12]{575.3*\x+9214}
\tkzText(9,14600){$\mathcal D$}
\tkzDefPoint(10,14977){A} \tkzDefPoint(0,14977){B} \tkzDrawPoint(B)
\tkzPointShowCoord(A)
\tkzLabelPoint[above right](B){$14977$}
\tkzText[rotate=90](-2,12600){\textbf{Dépense engendrée par la gestion des déchets (en millions d'euros)}}
\tkzText(6,8600){\textbf{Rang de l'année}}
\end{scope}
\tkzDrawSetOfPoints[mark=ball,mark size=3pt]
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}