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\setlength\parindent{0pt}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\RE}{(\text{O};\vec{\imath},\vec{\jmath})}
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow {\strut#1}}
\newcommand{\IE}{\leqslant}
\newcommand{\SE}{\geqslant}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}
{\noindent\textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
 \newcommand{\inval}[2]{\mathopen{[}#1\,;#2\mathclose{]}}
    \newcommand{\invalfo}[2]{\mathopen{[}#1\,;#2\mathclose{[}}
    \newcommand{\invalof}[2]{\mathopen{]}#1\,;#2\mathclose{]}}
    \newcommand{\invaloo}[2]{\mathopen{]}#1\,;#2\mathclose{[}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole--La Réunion ~\decofourright\\
21 juin 2011\\ corrigé
}}\end{center}
Pour chaque question, parmi les trois réponses proposées, \textbf{une seule est correcte}.

Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\emph{Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou un question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0= \np{1000}$ et de raison $q=1,1$.

Le troisième terme de la suite  est $u_2$. Il est égal à $\np{1000}\times 1,1^2$:
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\cancel{1004,4}$
\item \fbox{$1210$}
\item $\cancel{1331}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5,2$ et de raison $r = 2,5$.

\[
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
 & A & B \\ \hline
1 & n &u_n \\ \hline
2 & 0 & 5,2 \\ \hline
3 & 1 &\\ \hline
4 & 2 &\\ \hline
5 & 3 &\\ \hline
6 & 4 &\\ \hline
7 & 5 &\\ \hline

\end{array}
\]

La formule à  entrer en \texttt{B3} et à  recopier vers le bas pour obtenir les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ est:
%\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\cancel{\texttt{=B2+2,5*A3}}$ \hspace{7mm} En B4 on aurait = B3+2,5*A4
\item $\cancel{\texttt{=B\$2+2,5}}$  \hspace{13mm}On a ici une valeur fixe $u_0+r$
\item \fbox{\texttt{=B\$2+2,5*A3}} \hspace{5mm} C'est bien l'application de $u_n =u_0+nr$
\end{itemize}
%\end{multicols}
\item Le prix d'un produit subit une hausse annuelle de 20\,\%.  Il est donc multiplié  chaque année par $1,2$. En prenant pour base 100 le prix du produit en 2006, l'indice, arrondi à  l'unité, en 2011 soit au bout de 5 ans sera égal à : $100\times 1,2^{5}$

\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\cancel{200}$
\item \fbox{$249$}
\item $\cancel{\text{on ne peut pas savoir}}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\item Un enseignant veut acheter 60 clés USB pour ses élèves. On lui propose deux promotions:

promotion A: réduction de 30\,\%{} par rapport au prix affiché pour chaque clef

promotion B: offre d'une clef supplémentaire gratuite pour tout achat d'un lot de 2 clefs

Pour effectuer son achat au prix le plus bas, l'enseignant doit choisir:

%\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\cancel{\text{la promotion A}}$ Il paierait pour 42 clefs : $60\times 0,7\times x$ où$x$ est le prix d'une clef.
\item \fbox{la promotion B} Il a besoin de 20 lots de 2 clefs puisqu'à chaque lot de 2, il en a une troisième. Il paierait pour 40 clefs.
\item $\cancel{\text{la promotion A ou B}}$
\end{itemize}
%\end{multicols}
\end{enumerate}

\section*{Exercice \no 2\hfill 8 points}

\medskip

L'assemblée nationale, élue en 2007, comporte 577 députés. Ils sont répartis en formations, constituées de divers groupes politiques: une formation de droite composée de 314 députés dont 46 femmes, une formation de gauche composée de 230 députés dont 64 femmes et une formation du centre composée de 33 députés dont une seule femme.

\begin{flushright}
\begin{normalsize}
\emph{Source: Assemblée Nationale, données du 1\up{er}{} septembre 2010.}
\end{normalsize}
\end{flushright}

On interroge un député, homme ou femme, au hasard. On admet que chaque député a la même probabilité d'être choisi. On considère les évènements suivants:
\begin{description}
\item[D] \og le député appartient à  la formation de droite\fg.
\item[G] \og le député appartient à  la formation de gauche\fg.
\item[C] \og le député appartient à  la formation du centre\fg.
\item[H] \og le député est un homme \fg.
\item[F] \og le député est une femme \fg.
\end{description}

\emph{La probabilité d'un évènement $A$ est notée $p(A)$. La probabilité d'un évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé est notée $p_B(A)$. \textbf{Dans cet exercice, on arrondira chaque résultat à  0,001.}}

\begin{enumerate}
\item Complétons l'arbre de probabilité ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[]
\tikzstyle{feuille}=[]
\tikzstyle{etiquetteh}=[midway,above]
\tikzstyle{etiquetteb}=[midway,below]
\def\DistanceInterNiveaux{2}
\def\DistanceInterFeuilles{1}
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$D$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$H$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$G$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$H$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$H$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$F$};
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquetteh] {$0,544\phantom{ghgh}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquetteh] {\textcolor{blue}{$ 0,854$}};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquetteb] {$0,146$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquetteh] {\textcolor{blue}{$0,399 $}};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquetteh] {\textcolor{blue}{$0,722 $}};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquetteb] {\textcolor{blue}{$0,278 $}};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquetteb] {$0,057\phantom{ghgh} $};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquetteh] {\textcolor{blue}{$0,970 $}};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquetteb] {\textcolor{blue}{$0,030 $}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item  $p(D)=\np{0.544}$,  $p_D(H)=1-\np{0.146}= \np{0.854}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  L'évènement $D\cap F$ signifie le député choisi est \og une députée appartenant à la famille de droite \fg.
		\item $p(D\cap F)=\np{0.544}\times \np{0.146}=\np{0.079}$.
	\end{enumerate}

\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\begin{description}
 \item  [première solution ]On interroge une femme députée au hasard,  la probabilité qu'elle appartienne à  la formation de droite est 
$p_F(D)=\frac{p(D\cap F)}{p(F)}$. 

Calculons d'abord $p(F)$. $p(F)=p(D\cap F)+p(G\cap F) +p(C\cap F)$ donc \[p(F)=\np{0.544}\times\np{0.146}+\np{0.399}\times\np{0.278}+\np{0.057}\times\np{0.030}=\np{0.079}+\np{0.111}+\np{0.002}=\np{0.192}\]
Maintenant, nous avons $p_F(D)=\frac{p(D\cap F)}{p((F)} =\frac{\np{0.079}}{\np{0.192}}=\np{0.415}$. 

{\emph{Autre possibilité de déterminer $p(F)$}}. Dans l'Assemblée, il y a  $111$ femmes ($46$+ $64$+$1$) sur un total de $577$. 
 La probabilité que le député choisi soit une femme est $\frac{111}{577}\approx \np{0.192}$ 
\item [seconde solution]   On considère comme univers l'ensemble des femmes, députées à l'Assemblée Nationale.  Le tirage ayant lieu au hasard la loi de probabilité est la loi équirépartie et par conséquent la probabilité d'un évènement A est $\frac{\text {nombre d'éléments de A}}{\text{nombre d'éléments de l'univers}}$ Il y a 46 députées appartenant à une formation de droite sur un total de $111$\footnote{pour le calcul de 111, voir au-dessus}  la probabilité $p(\text{ \og elle appartient à une formation de droite \fg)} =\frac{46}{111}\approx \np{0.414}$
\end{description}
\item Les évènements $D$ et $F$ sont indépendants si et seulement si $p(D\cap F)=p(D)\times p(F)$.
\[p(D)\times p(F)=\np{0.544}\times \np{0.192}=\np{0.104}.\] Ceci est différent de $p(D\cap F)=\np{0.079}$. Par conséquent les évènements ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\section*{Exercice \no 3\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique les effectifs de population en France et en Allemagne du 1\up{er}~janvier 2000 au 1\up{er}{} janvier 2009. Ces effectifs sont donnés en millions d'habitants, arrondis à  0,01.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Effectifs au 1\up{er} janvier & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline
France & 58,86 & 59,27 & 59,69 & 60,10 & 60,51 & 60,96 & 61,40 & 61,80 & 62,13 & 62,47 \\ \hline
Allemagne & 82,16 & 82,26 & 82,44 & 82,54 & 82,53 &82,50 & 82,44 & 82,31 & 82,22 & 82,00\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{\begin{footnotesize}
Source: Institut National d'\'Etudes Démographiques -- base de données des pays développés.
\end{footnotesize}}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
\end{center}

\section*{Partie A : évolution de la démographie en France}
\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 & A & B & C \\ \hline
 1 & année & population (en millions d'habitants) & taux d'évolution (en \%) \\ \hline
 2 & 2000 & 58,86 &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{} \\ \hline
 3 & 2001 & 59,27 & 0,70  \\ \hline
 4 & 2002 & 59,69 &  \\ \hline
 5 & 2003 & 60,10 &  \\ \hline
 6 & 2004 & 60,51 &  \\ \hline
 7 & 2005 & 60,96 &  \\ \hline
 8 & 2006 & 61,40 &  \\ \hline
 9 & 2007 & 61,80 &  \\ \hline
 10 & 2008 & 62,13 &  \\ \hline
 11 & 2009 & 62,47 &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item La formule que l'on peut entrer dans la cellule \texttt{C3} et recopier sur la plage \texttt{C4:C11} pour obtenir les taux annuels d'évolution de la population française est \[ =\frac{B3}{B2}-1\quad =\frac{B3-B2}{B2}\] \emph{ remarque} Dans les deux formules proposées, on peut aussi fixer la colonne donc écrire \$ B.
\item Calculons le taux global d'augmentation de la population française entre les années 2000 et 2009. 
Le taux global d'augmentation entre 2000 et 2009 est \[\frac{\text{valeur 2009}-\text{valeur 2000}}{\text{valeur 2000}}=
\frac{\np{62.47}-\np{58.86}}{\np{58.86}}\approx\np{0.0613}\approx \np{6.13}\,\%\]

%\emph{On arrondira le résultat à  0,01\,\%.}
\item Calculons le taux d'augmentation annuel moyen de la population française sur cette même période.Entre 2000 et2009, il y a eu neuf augmentations. Si $t$ est le taux d'augmentation moyen annuel alors $(1+t)^9=\np{1.0613}$; Il en résulte $t=\np{1.0613}^{\frac{1}{9}}-1 \approx \np{0.0066}\approx \np{0.66}\,\%$%\emph{On arrondira le résultat à  0,01\,\%.}
\end{enumerate}

\section*{Partie B : prévision de la démographie en France}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline
rang $(x_i)$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
population $(y_i)$ & 58,86 & 59,27 & 59,69 & 60,10 & 60,51 & 60,96 & 61,40 & 61,80 & 62,13 & 62,47 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i\,;\,y_i)$ est donnée dans \textbf{l'annexe à  rendre avec la copie.}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $\mathcal D$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points $\left(x_i\,;\,y_i\right)$ obtenu par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.41}x+\np{58.9}$.
\item La droite $\mathcal D$  est tracée sur le graphique donné dans \textbf{l'annexe à  rendre avec la copie.}
\end{enumerate}
\item En utilisant la droite $\mathcal D$, déterminons une estimation de la population française en 2012. Le rang est 12
\begin{description}
\item [graphiquement] environ 63,8 millions 
\item [par le calcul]$y==\np{0.41}\times 12+\np{58.9}=\np{63.82}$
\end{description}
Une estimation de la population française en 2012 est d'environ \np{68.3} millions d'habitants.
\end{enumerate}

\section*{Partie C : prévision de la démographie en Allemagne}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline
rang $(x_i)$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
population $(y_i)$ & 82,16 & 82,26 & 82,44 & 82,54 & 82,53 &82,50 & 82,44 & 82,31 & 82,22 & 82,00\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i\,;\,y_i)$ est donnée dans \textbf{l'annexe à  rendre avec la copie.}

\begin{enumerate}
\item On n'envisage pas d'ajustement affine de ce nuage de points car les points ne sont pas alignés ou  ne sont pas orientés dans une même direction.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~13]$ par $f(x)=-0,02x^2 + 0,16x + 82,18$.
\begin{enumerate}
\item Calculons $f'(x)$. $f\,'(x)=-\np{0.02}\times 2x +\np{0.16}= -\np{0.04}x+\np{0.16} $
\'Etudions  les variations de la fonction $f$. 
\begin{description}
\item [signe de $f\,'(x)$] $f\,'(x)>0 \iff 0< x <4$ et $f\,'(x)<0 \iff 4< x <13$
\item [variations] Si pour tout $x\in I, f\,'(x) \geqslant 0$ alors $f$ est croisssante sur $I$ ; ici $f$ est croissante sur [0~;~4]
Si pour tout $x\in I, f\,'(x) \leqslant 0$ alors $f$ est décroisssante sur $I$ ; ici $f$ est décroissante sur [4~;~13]
\end{description}
\item  La courbe représentative de la fonction $f$ est construite dans le repère donné dans \textbf{l'annexe à  rendre avec la copie.}
\item On suppose que la courbe représentative de la fonction $f$ réalise un ajustement fiable de ce nuage de points. Une estimation de la population allemande en 2012 est $f(12)$. \[f(12)=-\np{0.02}\times 12^2 +\np{0.16}\times 12+{82.18}=\np{81.22}\]
Une estimation de la population allemande en 2012 est de \np{81.22} millions d'habitants
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\vspace*{-1.5cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe à  rendre avec la copie}
\end{center}

\section*{Exercice \no 3 -- Partie B: prévision de la démographie en France}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(14,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=59]{->}(0,0)(0,-0.5)(14,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-0.5)(14,6)
\multido{\n=-0.25+0.50}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\uput[d](13.5,0){rang} \uput[r](0,5.8){population en millions}
\psdots(0,-0.14)(1,0.27)(2,0.69)(3,1.10)(4,1.51)(5,1.96)(6,2.40)(7,2.80)(8,3.13)(9,3.47)
\psplot[plotpoints=500, linecolor=blue,linewidth=0.5pt]{0}{14}{0.41 x mul 0.1 sub}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](12,0)(12,4.82)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.54pt](0,4.82)(12,4.82)
\rput(-0.5,4.8){\textcolor{red}{\np{63,8}}}
\end{pspicture}
% Avec tikz
%\begin{tikzpicture}%[scale=.8]
%\begin{scope}[yscale=2]
%\tkzInit[xmax=13,ymin=58,ymax=65]
%\tkzGrid[sub,subxstep=.5,subystep=0.25]
%\tkzAxeX[label=rang,below right=5pt,tickdn=0.08,tickup=0]
%\tkzAxeY[label=population en millions,above right,up space=0.3]
%\tkzDefSetOfPoints[show]{0/58.86,1/59.27,2/59.69,3/60.1,4/60.51,5/60.96,6/61.4,7/61.8,8/62.13,9/62.47}
%\end{scope}
%\tkzDrawSetOfPoints[mark=ball,mark size=2pt]
%\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Annexe à  rendre avec la copie}
\end{center}

\section*{Exercice \no 3 -- Partie C : prévision de la démographie en Allemagne}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(13,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=81]{->}(0,0)(13,2.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(13,2.2)
\multido{\d=0+0.35cm}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\d)(13,\d)}
\uput[d](12.5,0){rang} \uput[r](0,2.1){population en millions}
\psdots(0,1.16)(1,1.26)(2,1.44)(3,1.54)(4,1.50)(5,1.44)(6,1.44)(7,1.31)(8,1.22)(9,1)
\psplot[plotpoints=500,linecolor=blue]{0}{13}{0 0.02 x 2 exp mul sub 0.16 x   mul add 1.18 add   }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
% Avec tikz
%\begin{tikzpicture}%[scale=.8]
%\begin{scope}[yscale=5]
%\tkzInit[xmax=13,ymin=81,ymax=82.6]
%\tkzGrid[sub,subxstep=.5,subystep=0.1]
%\tkzAxeX[label=rang,below right=5pt,tickup=0,tickdn=0.02]
%\tkzAxeY[label=population en millions,above right,up space=0.1]
%\tkzDefSetOfPoints[show]{0/82.16,1/82.26,2/82.44,3/82.54,4/82.5,5/82.44,6/82.44,7/82.31,8/82.22,9/82}
%\end{scope}
%\tkzDrawSetOfPoints[mark=ball,mark size=2pt]
%\end{tikzpicture}









\end{document}