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%Tapuscrit : Jean-Paul GOUALARD
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie (correction)}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Correction du Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie \decofourright\\ juin 2009}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%
%Le formulaire officiel est autorisé.
%
%\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte et aucune justification n'est demandée.\\
% On vous demande de recopier sur votre copie le numéro de la question et la réponse que vous pensez être correcte.\\ 
%Chaque bonne réponse rapporte un point, une question sans réponse ou fausse ne rapporte aucun point.} 
%
%\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est de \nombre{50000}~\euro{}  en 2008.
 Le chiffre d'affaires a baissé de 9\:\% par rapport à 2005.
 
% \medskip
% 
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%\textbf{1.}  Le chiffre d'affaires en 2005 était, en euro, de : &\nombre{54945} &\nombre{47500} &\nombre{52500}\\ \hline 
%\textbf{2.}  Le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires entre 2005 et 2008 (à 0,1\:\% près) est de :& 3\:\% &$-3\:\%$ &$-4,5\:\%$\\ \hline 
%\end{tabularx}


\textbf{1.} Le coefficient multiplicateur correspondant à cette baisse est $1-9\:\%=0,91$. Si $x$ est le chiffre d'affaires de 2005, on a : $0,91x=\numprint{50000}$ donc $x=\dfrac{\numprint{50000}}{0,91}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{54945}}}$.

\textbf{2.}  Soit $t$ le taux annuel moyen entre 2005 et 2008. On a alors $(1+t)^3=0,91$ donc $1+t=0,91^\frac13$ d'où $t=0,91^\frac13-1\approx -0,03$, soit $\boxed{\textcolor{red}{-3\:\%}}$.

\medskip
 
\textbf{Partie B :}
 
Le salaire annuel d 'un employé est de \nombre{15240} ~\euro. Ce salaire sera augmenté de 0,7\:\% par an.

\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
%\textbf{3.} Le salaire annuel après trois ans est, en euros arrondi \`a l'euro près, de :&\nombre{5454}&\nombre{15562}&\nombre{18670}\\\hline
%\end{tabularx}

\textbf{3.} Après trois ans, le salaire de l'employé est $\numprint{15240}\times (1+0,7\:\%)^3=\numprint{15240}\times 1,07^3\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{15562}}}$.

\medskip

\textbf{Partie C :}

On considère la série statistique ci-contre : \begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&5&7&9&11&13\\ \hline
$y_{i}$&26&22&15&12&7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
%\textbf{4.} Les coordonnées du point moyen sont :&(16,4~;~9)&(9~;~16,4)&(7.2~;~16,4)\\ \hline
%\textbf{5.} Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres  carrés est :&$y=-2,4x+38$& $y = 2,4x +38$ &$y= 2,4x+9,7$\\ \hline
%\end{tabularx}
\textbf{4.} À la calculatrice, on trouve que les coordonnées du point moyen sont \fbox{\textcolor{red}{(9~;~16,4)}} (moyennes des coordonnées des différents points)\\

\textbf{5.} À la calculatrice, on trouve que l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres  carrés est $\boxed{\textcolor{red}{y=-2,4x+38}}$.
\medskip 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

%\medskip 
%
%Une agence de voyages a proposé à ses clients un séjour à l'étranger selon deux formules :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%
%\begin{itemize}
%\item  une formule \og hôtel \fg 
%\item une formule \og aventure \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
%
%Les deux formules ne pouvaient pas être combinées. 60\:\% des clients ont choisi la formule \og hôtel \fg{} et 40\:\% ont choisi la fonnule \og aventure \fg.
% 
%Une enquête de satisfaction conduite auprès de tous les clients ayant acheté ce séjour a montré que 70\:\% des clients de la formule \og hôtel \fg{} ont exprimé être satisfaits et, parmi les clients de la formule \og aventure \fg, ils sont 90\:\% à être satisfaits.
% 
%Comme annoncé dans un dépliant publicitaire, l'agence procède à un tirage au sort pour offrir un cadeau à l'un des clients de ce séjour.
%
%On considère les évènements suivants : 
%
%$H$ : le tirage au sort a désigné un client de la formule \og hôtel \fg ; 
%
%$A$ : le tirage au sort a désigné un client de la formule \og aventure \fg{} ; 
%
%$S$ : le tirage au sort a désigné un client satisfait.
 
 Commençons par traduire les hypothèses en termes de probabilités :\\
 $p(H)=60\:\%=0,6$ ; $p(A)=40\:\%=0,4$ ; $p_A(S)=70\:\%=0,7$ et $p_A(S)=90\:\%=0,9$.
 
\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre de probabilités associé à cette expérience. 
Voici l'arbre de probabilités (complété par les résultats de la question 2.) associé à cette expérience (la somme des probabilités issues d'un même n\oe ud valant 1) :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$H$}\taput{\small $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0,3$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\tbput{\small $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0,1$}}}
\end{center}
\item %Déterminer $P_{A}(S),~ P_{A}\left(\overline{S}\right)$ et $P_{H}(S)$. 
D'après l'énoncé, $p_A(S)=0,9$.\\
$p_A\left(\overline{S}\right)=1-p_A(S)=0,1$\\
$p_H(S)=0,7$ d'après l'énoncé.

\item %Définir par une phrase l'évènement : $ A \cap \overline{S}$. Calculer $P\left(A \cap \overline{S}\right)$. 
L'évènement : $ A \cap \overline{S}$ correspond à l'événement \og{}Le tirage au sort  a   désigné un client de la formule AVENTURE insatisfait\fg.\\
On a alors : $P\left(A \cap \overline{S}\right)=p_A\left(\overline{S}\right)\times p(A)=0,1\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,04}}$.
 
\item %Montrer que la probabilité que le client désigné par le tirage au sort soit un client insatisfait est $0,22$. 
On veut calculer $p\left(\overline{S}\right)$.\\
$\overline{S}=\left(\overline{S}\cap H\right)\cup\left(\overline{S}\cap A\right)$ qui est une réunion d'événements incompatibles.\\
Par conséquent : $p\left(\left(\overline{S}\cap H\right)\cup\left(\overline{S}\cap A\right)\right)=p\left(\overline{S}\cap H\right)+p\left(\overline{S}\cap A\right)\\
=\times p_H(S)\times p(H)+ p_A(S)\times p(A)=0,3\times 0,6+0,1\times 0,4=0,18+0,04=\boxed{\textcolor{red}{0,22}}$.

\item  %Calculer la probabilité que le tirage au sort ait désigné, parmi les insatisfaits, un client de la formule \og aventure \fg{} et exprimer le résultat à $10^{-2}$ près. \\
Il s'agit de calculer $p_{\overline{S}}(A)$.\\
$p_{\overline{S}}(A)=\dfrac{p\left(A\cap\overline{S}\right)}{p\left(\overline{S}\right)}=\dfrac{0,04}{0,22}=\dfrac{4}{22}=\dfrac{2}{11}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,18}}$ à 0,01 près par défaut.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%Une épidémie frappe les \nombre{10000}~habitants d'une petite île isolée. Un organisme de secours international organise l'envoi sur place d'une aide médicale d'urgence : il s'agira de petites unités médicales de deux types accompagnées d'un personnel médical.
%
%\medskip
% 
%Cette nuit même, on embarquera sauveteurs et matériels à bord du premier vol régulier à destination de l'aéroport international le plus proche de l'île. Là--bas, il restera à décharger et à acheminer le matériel vers l'île sinistrée.
% 
%Les deux types d'unités médicales se composent comme suit : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Un type classique appelé type A, qui nécessite \nombre{1000}~kg de matériel et qui requiert la présence de trois médecins. 
%\item Un nouveau type d'unité, appelé type B, qui ne nécessite que 500~kg de matériel et la presence d'un seul médecin.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Le modèle A peut traiter 900~malades tandis que le modèle B ne peut traiter que 400~malades.
% 
%La compagnie aérienne qui se charge du transport des médecins et du matériel ne dispose que de 22~places disponibles et ne peut embarquer, au plus que 8~tonnes, soit \nombre{8000}~kg, de matériel.
% 
%On note $x$ le nombre d'unités de type A et $y$ le nombre d'unités de type B qui seront envoyées sur place. 
%
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que les contraintes peuvent se traduire sous la forme du système ci-dessous 
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x& \geqslant &0\\
%y&\geqslant&0\\
%y&\leqslant &-3x + 22\\
%y&\leqslant &-2x + 16\\
%\end{array}\right.\]
%
%\item Sur une feuille de papier millimétré \`a rendre avec la copie, représenter dans un repère orthonormal d'unité 1~cm, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système ci-dessus.
%
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le nombre $N$ de malades qui pourront \^etre traités par les équipes de secours.
%		\item Tracer sur le graphique la droite ($D$) correspondant \`a \nombre{4000}~malades traités.
%	\end{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%		\item  Expliquer comment déterminer $x$ et $y$ pour que $N$ soit maximum. 
%	\item Déterminer par lecture graphique les valeurs de $x$ et $y$ qui correspondent à ce maximum. 
%	\end{enumerate}
%\item Conclure en donnant le nombre d'unités de chaque type qu'il faut mobiliser et le nombre maximal de malades qui peuvent être traités. 
%\end{enumerate}
%
%\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Le type A requiert trois médecins et le type B un seul médecin, et il y a seulement 22 places disponibles.\\
Ces informations se traduisent par : $3 x + y\leqslant 22$, soit : $\boxed{\textcolor{red}{y\leqslant  - 3 x+ 22}}$.\\
Le type A nécessite \numprint{1000} kg de matériel et le type B \numprint{500} kg de matériel ; on ne peut embarquer que \numprint{8000} kg.\\
Donc : $\numprint{1000} x + \numprint{500} y\leqslant  \numprint{8000}$, soit : $500 y \leqslant  - \numprint{1000} x+ \numprint{8000}$, ou $y\leqslant -\dfrac{\numprint{1000}}{500}x+ \dfrac{\numprint{8000}}{500}$. D'où : $\boxed{\textcolor{red}{y\leqslant - 2 x+ 16}}$.\\
De plus, $x$ et $y$ sont des entiers naturels, donc : $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant  0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{y\geqslant 0}}$.

\item Traçons la droite $d_1$ d'équation : $y = - 3 x + 22$ : elle passe, par exemple, par les points ( 4 ; 10) et (5 ; 7).\\
Traçons la droite $d_2$ d'équation : $y = - 2 x + 16$ : elle passe, par exemple, par les points ( 0 ; 16) et (7 ; 2).\\
Les solutions de l'inéquation $y\leqslant  - 3 x + 22$ sont les couples (x~;~ y), coordonnées des points situés en dessous de la droite $d_1$.\\
Les solutions de l'inéquation $y \leqslant  - 2 x + 16$ sont les couples (x~;~ y) coordonnées des points situés en dessous de la droite $d_2$.\\
Les solutions du système sont les couples de coordonnées des points situés dans la partie non hachurée du système. (voir graphique), c'est-à-dire l'intérieur du polygone OACD (en jaune sur la figure).
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(12,25)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(12,25)
\psline(0,-2)(0,24)
\psplot{-1}{12}{(-0-0*x)/1}
\psplot{-1}{12}{(--22-3*x)/1}
\psplot{-1}{12}{(--16-2*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.14,0.2){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,16)
\uput[dr](0,16){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.33,0)
\uput[ul](7.33,0){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](8,0)
\rput[bl](8.13,0.2){\darkgray{$E$}}
\psline[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue,hatchangle=60](0,0)(-2,0)(-2,25)(0,25)
\psline[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue,hatchangle=60](-2,0)(12,0)(12,-2)(-2,-2)
\psline[fillstyle=vlines,hatchcolor=red,hatchangle=30](-1,25)(12,25)(12,-2)(8,-2)
\psline[fillstyle=hlines,hatchcolor=green,hatchangle=30](-1,18)(-1,25)(12,25)(12,-2)(9,-2)
\psline[fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid](0,0)(0,16)(6,4)(7.33,0)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-2}{5}{10-9*x/4}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6,4)
\uput[u](3,4){\huge Partie solution}
\uput[r](0.8,8){$D_{4000}$}
\uput[d](6,4){\darkgray{$C$}}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=2pt]{-2}{9}{17.5-9*x/4}
\uput[r](6,4){$D_{7000}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item $N = 900 x+ 400 y$.

\item La droite (D) correspondant à \numprint{4000} malades traités a pour équation : $900 x + 400 y = \numprint{4000}$.\\
Cette équation peut s'écrire : $9 x + 4 y = 40$ ou $4 y = - 9 x + 40$ ou $y=-\dfrac{9}{4}x+10$. Cette droite passe, par exemple, par les points ( 0 ; 10) et (4 ; 1). [en rouge sur le dessin]
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Un couple ( x ; y ) permettant d'obtenir le nombre de malades maximum est un couple de coordonnées d'un point appartenant à la droite (D) ayant l'ordonnée à l'origine la plus grande tout en respectant les contraintes du problème
(cette droite doit avoir au moins un point commun avec l'ensemble de solutions du système d'inéquations).

\item La droite vérifiant toutes les conditions précédentes est la droite passant par le point d'intersection  C des droites $d_1$ et $d_2$. Les coordonnées de C sont (6~;~4). Le maximum correspond donc à $x = 6$ et à $y = 4$.
\end{enumerate}

\item  Il faudra mobiliser 6 unités de type A et 4 unités de type B. Le nombre maximal de malades qui peuvent être traités est : $ 900\times  6 + 400\times  4 = \numprint{7000}$.

\end{enumerate}

%\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\begin{center}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-3)(7,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt](0,0)(-2,-3)(7,5)
\uput[d](7,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[dl](3,0){B} \uput[ur](0,3){A} \uput[ur](-1,4){$(D)$} \uput[u](4.75,0.15){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot{-2}{6}{3 x sub}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{-1.75}{7}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}	

\end{center}

%\medskip
%	 
%La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessus représente, dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$ définie sur $\R$. 
%
%La droite $D$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées (0~;~ 3) et passe par le point B de coordonnécs (3~;~0).
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique: 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre $f(0)$. 
		Par lecture graphique, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=3}}$.
		
	\item %Déterminer le nombre $f'(0)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
	Par définition, $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $D$, qui passe par A et B. Par conséquent : $f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-3}{3-0}=-1$ : $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)=-1}}$.
	\end{enumerate}
 
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par
\[ f(x) = (2x+3)\text{e}^{-x}.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Est-ce que le point E de coordonnées (7~;~0) est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ? 
		$f(7)=17\mathrm{e}^{-7}\neq 0$ donc E \textbf{\textcolor{red}{n'appartient pas}} à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
		
	\item %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ on a $f'(x) = (-2x-1)\text{e}^{-x}$.
	$f=u\times v$ avec $u(x)=(2x+3)$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$.\\
	On a : $u'(x)=2$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ car $v=\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-1$ donc $v'=w'\mathrm{e}^{w}$.\\
	Alors : $f'=u'v+uv'$ d'où $f'(x)=2\mathrm{e}^{-x}+(2x+3)\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=[2-(2x+3)]\mathrm{e}^{-x}=\boxed{\textcolor{red}{(-2x-1)\mathrm{e}^{-x}}}$.
	
	\item %Etudier le signe de $f'(x)$. 
	Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f(x)$ est du signe de $-2x-1$.\\
	$f-2x-1=0$ pour $x=-\dfrac{1}{2}$.\\
	$-2x-1$ est positif pour $x\leqslant -\dfrac{1}{2}$ et négatif pour $x\geqslant -\dfrac{1}{2}$.
	
	\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	On en déduit le tableau de variations de $f$ :
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\frac12&&\pI\\
\filet
f'(x)&&+&\z&-&\\
\m{f(x)}&&\c&\h{2\mathrm{e}^{\frac12}}&\d&\\
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}