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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}


\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{17 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C. G. R. H. Antilles--Guyane~\decofourright\\17 juin 2010}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 3 et 4 pour gestion des systèmes d'information  \hfill Durée 3 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

La tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants d'un village entre les années 2004 et 2009 (les relevés de population sont effectués chaque année au 1\up{er} janvier).
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Année & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009\\
\hline
Nombre d'habitants & \np{873} & \np{1025} & \np{1010} & \np{1121} & \np{1289} & \np{1456}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\emph{Les deux parties qui suivent sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie I: première étude}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux global d'évolution en pourcentage de cette population entre les années 2004 et 2009 (arrondir le résultat à \np{0,1}\,\%).
\item Calculer le taux annuel moyen d'évolution en pourcentage entre 2004 et 2009. (arrondir le résultat à \np{0,1}\,\%)
\item En supposant que la population augmentera après 2009 de \np{10,8}\,\% par an, calculer combien ce village comptera d'habitant au 1\up{er} janvier 2011 (on arrondira bien sûr le résultat à l'unité~!).
\end{enumerate}

\smallskip


\textbf{Partie II: seconde étude}

\smallskip

Dans cette partie, on suppose que la population du village après 2009 n'augmentera que de 6\,\% par an jusqu'en 2016.

Soit $\left(u_n\right)$ la suite telle que $u_n$ arrondi à l'entier près représente le nombre d'habitants de ce village en $(2009 + n)$, on a $u_0=\np{1456}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier pourquoi $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,06}.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_4$. En donner un arrondi à l'entier près. Que représente ce nombre~?
\item Calculer le nombre estimé d'habitants dans ce village en 2015.
\item À l'aide d'un logiciel de type tableur, on réalise la feuille de calcul suivante : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& A & B & C\\\hline
1 & Année & $n$ & $u_n$ \\\hline
2 & 2009 & 0 & \np{1456}\\\hline
3 & 2010 & 1&\\\hline
4 & 2011 & 2 &\\\hline
5 & 2012 & 3 &\\\hline
6 & 2013 & 4 &\\\hline
7 & 2014 & 5 & \\\hline
8 & 2015 & 6 &\\\hline
9 & 2016 & 7 &\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les termes de la suite $\left(u_n\right)$ jusqu'au rang 7~?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. On donne ci-dessous la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

La courbe $(\mathcal{C})$ passe par le point $A(1~;~-4)$. La droite $T$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$ et passe par le point $B(0~;~2)$.

\smallskip

\emph{Les parties I et II sont indépendantes}

\smallskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.85cm}
\begin{pspicture*}(-3,-8)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(-3,-8)(4,8)
\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.85cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-8)(4,8)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=magenta]{-2.5}{3.0}{x^3-1.5*x^2-6*x+2.5}
\psplot[linecolor=cyan]{-3}{4}{(--2-6*x)/1}
\uput[0](-2.2,-3){\magenta $(\mathcal{C})$}
\rput[bl](-0.54,6.48){\cyan $T$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-4)
\rput[bl](1.13,-3.82){\blue {$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,2.5)
\rput[bl](0.28,2.51){\blue {$B$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie I}

\smallskip
\textbf{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM)}.\\
Dans cette partie, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte}.

Aucune justification n'est demandée.

\smallskip

\textbf{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie}

\emph{Toute réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point}.

\begin{enumerate}
\item
\begin{tabular}{@{a.~~}p{3cm}@{\quad b.~~}p{3cm}@{\quad c.~~}p{3cm}}
$f'(1)=-4$ & $f(1)=4$ & $f'(1)=-6$
\end{tabular}
\item L'équation $f(x)=0$ admet une seule solution dans l'intervalle:\\
\begin{tabular}{@{a.~~}p{3cm}@{\quad b.~~}p{3cm}@{\quad c.~~}p{3cm}}$[-\np{2,5}~;~3]$ & 
$[-1~;~3]$ & 
$[1~;~3]$
\end{tabular}
\item Sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$, l'équation $f'(x)=0$\\
\begin{tabular}{@{a.~~}p{3cm}@{\quad b.~~}p{3cm}@{\quad c.~~}p{3cm}}admet une seule solution &
admet deux solutions &
n'admet pas de solution.
\end{tabular}
\item On a:

\begin{tabular}{@{a.~~}p{3cm}@{\quad b.~~}p{3cm}@{\quad c.~~}p{3cm}}$f'(x)<0$ sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~0]$ &
$f'(x) < 0$ sur l'intervalle $[2~;~3]$ &
$f'(x) > 0$ sur l'intervalle $[2~;~3]$
\end{tabular}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\smallskip

La fonction $f$ dont on connait la courbe $(\mathcal{C})$ est définie sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$ par :

\[f(x) = x^3 - \np{1,5}x^2 - 6x + \np{2,5}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(-1)$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Vérifier que $f'(x) = 3(x + 1)(x - 2)$.
\item Étudier  le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$ à l'aide d'un tableau de signes.
\end{enumerate}
\item En déduire le tableau de variation complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\np{2,5}~:~3]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Dans un lycée, on interroge les élèves de terminale STG sur leurs intentions d'orientation post-bac après le conseil de classe du troisième trimestre. On compte parmi ces élèves 45\,\% de filles.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 95\,\% des filles souhaitent s'inscrire en BTS ou DUT.
\item 90\,\% des garçons souhaitent cette même orientation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit une fiche au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.

On note $A$, $B$ et $E$ les évènements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og l'élève est une fille \fg{};
\item $B$ : \og l'élève est un garçon \fg{};
\item $E$ : \og l'élève souhaite s'inscrire en BTS ou DUT \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=*4cm]
{\Tp}
{
\pstree{\TR{$A$}^{\np{0,45}}}{\Tr{$E$}^{\np{0,95}} \Tr{$\overline{E}$}} 
\pstree{\TR{$B$}}{\Tr{$E$} \Tr{$\overline{E}$}} 
}
\end{center}
\item Définir par une phrase l'évènement $A\cap E$.
\item Calculer les probabilités des évènements $A\cap E$ et $B\cap E$.
\item Calculer la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $E$, notée $P_E(A)$ et celle de $B$ sachant $E$ notée $P_E(B)$.

Comparer ces probabilités. Que peut-on en conclure~?
\end{enumerate}
\end{document}