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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C. G. R. H. Antilles--Guyane~\decofourright\\20 juin 2011}} 

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip
 
Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte}.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\textbf{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.}
 
\emph{Toute réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 3x^2 + 7 x + 6$.
 
\begin{enumerate}
\item $f(-1)$ est égal à 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~2 &\textbf{b.}~~$- 4$&\textbf{c.}~~10\\
\end{tabularx}

\medskip

\item $f(x)$ peut être factorisé sous la forme

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$(3 + x)(-3x + 2)$ &\textbf{b.}~~$(3 - x)(3x + 2)$&\textbf{c.}~~$- (3x - 3)(x + 2)$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$f'(x)=-6x + 7$ &\textbf{b.}~~$f'(x)=-6x + 13$&\textbf{c.}~~$f'(x)=-2x+7$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Sachant que $f'(-1) = 13$, une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $- 1$ est :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$y = 13x + 9$ &\textbf{b.}~~$y = 13x - 1$&\textbf{c.}~~$y = - x + 13 $\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Dans cette question, on pourra s'aider de la calculatrice graphique. 
La fonction $f$ est croissante et positive sur l'intervalle :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~[0~;~3] &\textbf{b.}~~[0~;~1]&\textbf{c.}~~$[-1~;~1]$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une centrale d'achat pour des magasins de vêtements, se procure 40\,\% de ses vêtements chez un fournisseur A et le reste chez un fournisseur B.
 
Une étude de qualité permet de constater que : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] pour les vêtements provenant du fournisseur A, 70\,\% des vêtements, sont vendus à un prix normal et le reste, présentant des défauts, est vendu à un prix réduit. 
\item[$\bullet~~$] pour les vêtements provenant du fournisseur B, 60\,\% des vêtements sont vendus à un prix normal et le reste, présentant des défauts, est vendu à un prix réduit.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard un vêtement dans la centrale. On admet qu'il y a équiprobabilité.

\smallskip
 
On notera :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'évènement \og le vêtement provient du fournisseur A \fg, 
\item[$\bullet~~$] B l'évènement \og le vêtement provient du fournisseur B \fg, 
\item[$\bullet~~$] N l'évènement \og le vêtement est vendu à un prix normal \fg, 
\item[$\bullet~~$] R l'évènement \og le vêtement est vendu à un prix réduit \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}
 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{0,4}}
	{
	\TR{N}\taput{0,7}
	\TR{R}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{B}\tbput{\ldots}}
	{
	\TR{N}\taput{\ldots}
	\TR{R}\tbput{\ldots}
	}
}

\end{center} 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire à l'aide d'une phrase l'évènement N\,$\cap$\,A puis calculer sa probabilité. 
		\item Calculer la probabilité $P(\text{N} \cap \text{B})$. 
		\item En déduire que la probabilité $P$(N) est égale à $0,64$.
	\end{enumerate} 
\item Sachant qu'un vêtement est vendu à un prix normal, calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur A. 
\item Les évènements A et N sont-ils indépendants ? Justifier. 

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. }

\smallskip

Le responsable de la centrale affirme : \og moins de 40\,\% des vêtements sont vendus à prix réduit \fg. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Formulaire :\\
Somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_{1}$ : 
\[u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n} = n\dfrac{u_{1} + u_{n}}{2}.\] 
Somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_{1}$ et de raison $b$ : 
\[u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n} = u_{1}\dfrac{1 - b^n}{1 - b}.\] }

Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d'atteindre une nappe d'eau annoncée à 9~mètres de profondeur par un spécialiste.

\medskip
 
\textbf{Partie 1 :}

\medskip
 
Les tarifs de l'entreprise, convertis en euros, sont les suivants : 100~\euro{} pour le premier mètre creusé, 140~\euro{} pour le suivant, et ainsi de suite en augmentant le prix de chaque nouveau mètre creusé de 40~\euro.
 
On appelle $n$ le nombre de mètres creusés et $u_{n}$ le prix du $n$-ième mètre creusé. 

Une feuille de calcul est utilisée afin de faire apparaître les différents tarifs. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A&B&C&D\\ \hline
1	& Profondeur du puits en mètres &$n$& coût en euros du $n$-ième mètre creusé $u_{n}$&
coût total en euros\\ \hline 
2	& 1 &1 	&100 	&100\\ \hline 
3 	&2 	&2	&140 	&240\\ \hline 
4 	&3 	&3 	&180	&420\\ \hline 
5	&4 	&4	&220	&\\ \hline 
6	&5 	&5	&		& \\ \hline
7	&6	&6	&		&\\ \hline 
8	&7	&7	&		& \\ \hline
9	&8	&8	&		&\\ \hline
10	& 9	&9	&		&\\ \hline 
11	&10	&10	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item En utilisant le tableau, préciser le prix du troisième mètre creusé, ainsi que le coût total pour un puits de 3~mètres de profondeur. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le tableau, quelle formule faut-il saisir en C6 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item Dans le tableau, quelle formule faut-il saisir en D5 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, le co\^ut total en fonction du nombre de mètres creusés ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? On justifiera la réponse. 
		\item Calculer $u_{10}$. 
		\item Calculer le coût total pour un puits de 10~mètres de profondeur.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie 2 :}

\medskip

L'État accorde une subvention à l'association pour le forage de ce puits. Cette subvention, convertie en euros, est de 60~\euro{} au départ pour le premier mètre creusé, augmentée de 35\,\% par mètre creusé supplémentaire.
 
On appelle $v_{n}$ le montant, en euros, de la subvention accordée pour un puits profond de $n$ mètres. Ainsi $v_{1} = 60$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant de la subvention accordée pour un puits profond de 2~mètres. 
\item Justifier que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que le montant de la subvention accordée pour un puits de 10~mètres de profondeur est d'environ 894~\euro. 
\item En utilisant les résultats des questions précédentes et de la partie 1, calculer ce que devra réellement payer l'association pour le forage du puits de 10~mètres de profondeur. 
\end{enumerate}
\end{document}