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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
%Corrigé : Jean-Claude Souque 
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG C. G. R. H. Antilles--Guyane~\decofourright\\20 juin 2011\\correction}} 

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip
 
Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte}.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\textbf{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.}
 
\emph{Toute réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 3x^2 + 7 x + 6$.
 
\begin{enumerate}
\item $f(-1)$ est égal à 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\cancel{\textbf{a.}~~2 }$&\ovalbox{\textbf{b.}~~$- 4$}&$\cancel{\textbf{c.}~~10}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item $f(x)$ peut être factorisé sous la forme

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$\cancel{(3+x)(-3x+2)}$ &\textbf{b.}~~\ovalbox{$(3- x)(3x+2)$}&\textbf{c.}~~$\cancel{-(3x-3)(x+2)}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~\ovalbox{$f'(x)=-6x + 7$} &\textbf{b.}~~$\cancel{f'(x)=-6x + 13}$&\textbf{c.}~~$\cancel{f'(x)=-2x+7}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Sachant que $f'(-1) = 13$, une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $- 1$ est :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~\ovalbox{$y = 13x + 9$} &\textbf{b.}~~$\cancel{y = 13x - 1}$&\textbf{c.}~~$\cancel{y = - x + 13 }$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Dans cette question, on pourra s'aider de la calculatrice graphique. 
La fonction $f$ est croissante et positive sur l'intervalle :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~\cancel{[0~;~3]} &\textbf{b.}~~\ovalbox{[0~;~1]}&\textbf{c.}~~$\cancel{[-1~;~1]}$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une centrale d'achat pour des magasins de vêtements, se procure 40\,\% de ses vêtements chez un fournisseur A et le reste chez un fournisseur B.
 
Une étude de qualité permet de constater que : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] pour les vêtements provenant du fournisseur A, 70\,\% des vêtements, sont vendus à un prix normal et le reste, présentant des défauts, est vendu à un prix réduit. 
\item[$\bullet~~$] pour les vêtements provenant du fournisseur B, 60\,\% des vêtements sont vendus à un prix normal et le reste, présentant des défauts, est vendu à un prix réduit.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un vêtement dans la centrale. On admet qu'il y a équiprobabilité.

\smallskip
 
On notera :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'évènement \og le vêtement provient du fournisseur A \fg, 
\item[$\bullet~~$] B l'évènement \og le vêtement provient du fournisseur B \fg, 
\item[$\bullet~~$] N l'évènement \og le vêtement est vendu à un prix normal \fg, 
\item[$\bullet~~$] R l'évènement \og le vêtement est vendu à un prix réduit \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


 

\begin{enumerate}
\item Complétons l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{A}\taput{0,4}}
	{
	\TR{N}\taput{0,7}
	\TR{R}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.3}}}
	}
\pstree{\TR{B}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.6}}}}
	{
	\TR{N}\taput{\textcolor{red}{\np{0.6}}}
	\TR{R}\tbput{\textcolor{red}{\np{0.4}}}
	}
}
\end{center} 
\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  L'évènement N\,$\cap$\,A  est l'évènement \og le vêtement provient de A et est vendu au prix normal \fg. Sa probabilité est le produit des probabilités selon les branches. \[P(A\cap N)=P(A)P_A(N)=\np{0.4}\times\np{0.7}=\np{0.28}.\]
		
		\item Calculons la probabilité  de $N\cap B$. $P(\text{N} \cap \text{B})=P(B)P_B(N)=\np{0.6}\times\np{0.6}=\np{0.36}$.
 
		\item  $P(N)=\np{0.28}+\np{0.36}=\np{0.64}$. Elle  est bien égale à $0,64$.
	\end{enumerate} 
\item Sachant qu'un vêtement est vendu à un prix normal, calculons la probabilité qu'il provienne du fournisseur A ce qui revient à calculer la probabilité de A sachant N. \[P_N(A)=\frac{P(A\cap N)}{P((N)} =\frac{\np{0.28}}{\np{0.64}}=\np{0.1792}.\] 

\item Les évènements $A$ et $N$ sont indépendants si et seulement si \makebox{$P(A\cap N)=P(A)\times P(N)$}.
\[P(A)\times P(N)=\np{0.4}\times \np{0.64}=\np{0.256}.\] Ceci est différent de $P(A\cap N)=\np{0.28}$. Par conséquent les évènements ne sont pas indépendants.

\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. }

%\smallskip

Le responsable de la centrale affirme : \og moins de 40\,\% des vêtements sont vendus à prix réduit \fg. Cette affirmation est vraie  car  la probabilité d'avoir un vêtement à prix réduit est $1- P(N)=\np{0.36}$. En l'exprimant en pourcentage, on n'a que 36\,\% des vêtements vendus à prix réduit.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\medskip

%\emph{Formulaire :\\
%Somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_{1}$ : 
%\[u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n} = n\dfrac{u_{1} + u_{n}}{2}.\] 
%Somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_{1}$ et de raison $b$ : 
%\[u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n} = u_{1}\dfrac{1 - b^n}{1 - b}.\] }

Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d'atteindre une nappe d'eau annoncée à 9~mètres de profondeur par un spécialiste.

\medskip
 
\textbf{Partie 1 :}

\medskip
 
Les tarifs de l'entreprise, convertis en euros, sont les suivants : 100~\euro{} pour le premier mètre creusé, 140~\euro{} pour le suivant, et ainsi de suite en augmentant le prix de chaque nouveau mètre creusé de 40~\euro.
 
On appelle $n$ le nombre de mètres creusés et $u_{n}$ le prix du $n$-ième mètre creusé. 

Une feuille de calcul est utilisée afin de faire apparaître les différents tarifs. 

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A&B&C&D\\ \hline
1	& Profondeur du puits en mètres &$n$& coût en euros du $n$-ième mètre creusé $u_{n}$&
coût total en euros\\ \hline 
2	& 1 &1 	&100 	&100\\ \hline 
3 	&2 	&2	&140 	&240\\ \hline 
4 	&3 	&3 	&180	&420\\ \hline 
5	&4 	&4	&220	&\\ \hline 
6	&5 	&5	&		& \\ \hline
7	&6	&6	&		&\\ \hline 
8	&7	&7	&		& \\ \hline
9	&8	&8	&		&\\ \hline
10	& 9	&9	&		&\\ \hline 
11	&10	&10	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip 

\begin{enumerate}
\item En utilisant le tableau,  le prix du troisième mètre creusé peut être lu en C4, il vaut 180 euros. Le coût total pour un puits de 3~mètres de profondeur est donc 420~euros (lu en D4). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le tableau, la formule que l'on peut saisir en C6 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ est \fbox{~= C5+40~} ou \fbox{~= \$C5+40~}
		\item Dans le tableau, la formule que l'on peut saisir en D5 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, le coût total en fonction du nombre de mètres creusés est \fbox{~=D4+C5~} ou \fbox{~=\$D4+\$C5~}
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique puisque la différence entre deux termes consécutifs est 40.  
		\item  Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_{1}$ est 
		
\makebox{$u_n = u_1+(n-1)r$}. Ici nous avons $u_n=100+(n-1)\times40$ d'où  $u_{10}= 100 + 9\times 40 = 460$. 
		\item Le coût total pour un puits de 10~mètres de profondeur est  de \np{2800}~\euro{}\[u_1+u_2+\cdots+u_9+u_{10}=100+\cdots + 460=\frac{10\times(100+ 460)}{2}=\np{2800}.\]
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie 2 :}

\medskip

L'État accorde une subvention à l'association pour le forage de ce puits. Cette subvention, convertie en euros, est de 60~\euro{} au départ pour le premier mètre creusé, augmentée de 35\,\% par mètre creusé supplémentaire.
 
On appelle $v_{n}$ le montant, en euros, de la subvention accordée pour un puits profond de $n$ mètres. Ainsi $v_{1} = 60$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculons le montant de la subvention accordée pour un puits profond de 2~mètres. À un taux d'augmentation de 35\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{35}{100}=\np{1,35}$,  la subvention sera de 81 \euro{}  en effet $60 \times \np{1,35} = 81$

\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par $\np{1.35}$. Le premier terme  est $v_{1} = 60$ et la raison $\np{1,35}$. 

\item Exprimons $v_{n}$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est $u_n = u_1 q^{n-1}$; nous avons ici \[v_n=60\times(\np{1,35})^{n-1}\]

\item Le montant de la subvention accordée pour un puits de 10~mètres de profondeur est $v_{10}$. En écrivant $n=10$ dans la relation précédente \[v_{10} = 60\times  \np{1,35}^9\approx \np{893,62}.\] La subvention est bien  d'environ 894~\euro. 

\item %En utilisant les résultats des questions précédentes et de la partie 1,
Calculons  ce que devra réellement payer l'association pour le forage du puits de 10~mètres de profondeur. Elle paiera le coût du forage moins la subvention c'est à dire $\np{2800}-894=\np{1906}$  
\end{enumerate}
\end{document}