
\documentclass[10pt]{article}
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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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%\makeatletter
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%\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{17 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG C. G. R. H. ~\decofourright\\Antilles--Guyane 17 juin 2010}} 
    
\vspace{0,8cm}

%Coefficient 3 et 4 pour gestion des systèmes d'information  \hfill Durée 3 heures
%
%\vspace{1cm}
%
%La calculatrice est autorisée.
%
%\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%La tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants d'un village entre les années 2004 et 2009 (les relevés de population sont effectués chaque année au 1\up{er} janvier).
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%Année & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009\\
%\hline
%Nombre d'habitants & \np{873} & \np{1025} & \np{1010} & \np{1121} & \np{1289} & \np{1456}\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\emph{Les deux parties qui suivent sont indépendantes.}
%
%\medskip

\textbf{Partie I: première étude}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux global d'évolution en pourcentage de cette population entre les années 2004 et 2009 (arrondir le résultat à \np{0,1}~\%).
Le taux global de 2004 à 2009 est égal à :

$\dfrac{\np{1456} - 873}{873} \times 100 = \dfrac{583}{873}\times 100 \approx 66,8\,\%$ à 0,1 près.
\item %Calculer le taux annuel moyen d'évolution en pourcentage entre 2004 et 2009. (arrondir le résultat à \np{0,1}~\%)
Si $t$ est le taux moyen annuel, on a :

$(1 + t)^5 = 1,668$ soit $1 + t = 1,668^{1/5}$ ou $t = 1,668^{1/5} - 1$ soit environ 0,108 ou 10,8\,\%. (à 0,1 près)
\item %En supposant que la population augmentera après 2009 de \np{10,8}~\% par an, calculer combien ce village comptera d'habitant au 1\up{er} janvier 2011 (on arrondira bien sûr le résultat à l'unité~!).
De 2009 à 2011, il y a 2 ans  ; donc la population estimée en 2011 sera de :

$\np{1456} \times 1,108^2 \approx \np{1787}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie II : seconde étude}

\smallskip

%Dans cette partie, on suppose que la population du village après 2009 n'augmentera que de 6\,\% par an jusqu'en 2016.
%
%Soit $(u_n)$ la suite telle que $u_n$ arrondi à l'entier près représente le nombre d'habitants de ce village en $(2009 + n)$, on a $u_0=\np{1456}$.
\begin{enumerate}
\item %Justifier pourquoi $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,06}.
Chaque année la population augmente de 6\,\%, donc celle-ci est multipliée par $1 + \dfrac{6}{100} = 1,06$. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,06}. 
\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
On a $u_{n+1} = u_{n} + u_{n}\times 0,06 = u_{n}(1 + 0,06) = 1,06u_{n}$.

On sait que $u_{n} = u_{0}\times q^n$ soit $u_{n} = \np{1456}\times 1,06^n$. 
\item %Calculer $u_4$. En donner un arrondi à l'entier près. Que représente ce nombre~?
On a $u_{4} = \np{1456}\times 1,06^4 \approx \np{1838}$.
\item %Calculer le nombre estimé d'habitants dans ce village en 2015.
2015 correspond à $n = 6$ ; donc $u_{6} = \np{1456}\times 1,06^6 \approx 
 \np{2065}$.
\item %À l'aide d'un logiciel de type tableur, on réalise la feuille de calcul suivante:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
%\hline
%& A & B & C\\
%\hline
%1 & Année & $n$ & $u_n$ \\
%\hline
%2 & 2009 & 0 & \np{1456}\\
%\hline
%3 & 2010 & 1&\\
%\hline
%4 & 2011 & 2 &\\
%\hline
%5 & 2012 & 3 &\\
%\hline
%6 & 2013 & 4 &\\
%\hline
%7 & 2014 & 5 & \\
%\hline
%8 & 2015 & 6 &\\
%\hline
%9 & 2016 & 7 &\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les termes de la suite $(u_n)$ jusqu'au rang 7~?
Formule : \fbox{~=C2*1,06~}
\end{enumerate}

\bigskip

%: Ex 2, 7 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

%On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. On donne ci-dessous la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.
%
%La courbe $(\mathcal{C})$ passe par le point $A(1~;~-4)$. La droite $T$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$ et passe par le point $B(0~;~2)$.
%
%\smallskip
%
%\emph{Les parties I et II sont indépendantes}
%
%\smallskip
%
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.85cm}
%\begin{pspicture*}(-3,-8)(4,8)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(-3,-8)(4,8)
%\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.85cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-8)(4,8)
%\psplot[plotpoints=200,linecolor=magenta]{-2.5}{3.0}{x^3-1.5*x^2-6*x+2.5}
%\psplot[linecolor=cyan]{-3}{4}{(--2-6*x)/1}
%\uput[0](-2.2,-3){\magenta $(\mathcal{C})$}
%\rput[bl](-0.54,6.48){\cyan $T$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-4)
%\rput[bl](1.13,-3.82){\blue {$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,2.5)
%\rput[bl](0.28,2.51){\blue {$B$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\smallskip

\textbf{Partie I}

\smallskip
%\textbf{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM)}.\\
%Dans cette partie, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule est correcte}.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%\smallskip
%
%\textbf{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie}
%
%\emph{Toute réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point}.

\begin{enumerate}
\item
%\begin{tabular}{@{a.~}p{3cm}@{\quad b.~}p{3cm}@{\quad c.~}p{3cm}}
%$f'(1)=-4$ & $f(1)=4$ & $f'(1)=-6$
%\end{tabular}
$f'(1)=-6$
\item %L'équation $f(x)=0$ admet une seule solution dans l'intervalle:\\
%\begin{tabular}{@{a.~}p{3cm}@{\quad b.~}p{3cm}@{\quad c.~}p{3cm}}$[-\np{2,5}~;~3]$ & 
%$[-1~;~3]$ & 
%$[1~;~3]$
%\end{tabular}
$[-1~;~3]$
\item %Sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$, l'équation $f'(x)=0$\\
%\begin{tabular}{@{a.~}p{3cm}@{\quad b.~}p{3cm}@{\quad c.~}p{3cm}}admet une seule solution &
%admet deux solutions &
%n'admet pas de solution.
%\end{tabular}
Admet deux solutions
\item %On a:

%\begin{tabular}{@{a.~}p{3cm}@{\quad b.~}p{3cm}@{\quad c.~}p{3cm}}$f'(x)<0$ sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~0]$ &
%$f'(x) < 0$ sur l'intervalle $[2~;~3]$ &
%$f'(x) > 0$ sur l'intervalle $[2~;~3]$
%\end{tabular}
$f'(x) > 0$ sur l'intervalle $[2~;~3]$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\smallskip

%La fonction $f$ dont on connait la courbe $(\mathcal{C})$ est définie sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$ par:
%\[
%f(x) = x^3 - \np{1,5}x^2 - 6x + \np{2,5}.
%\]
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(-1)$.
$f(-1) = (- 1)^3 - \np{1,5} \times (- 1)^2 - 6 \times (- 1) + \np{2,5} = - 1 -1,5 + 6 + 2,5 = 6.$ (lisible sur le graphique)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = 3x^2 - 2\times 1,5x - 6 = 3x^2 - 3x - 6$.
		\item %Vérifier que $f'(x) = 3(x + 1)(x - 2)$.
		On développe $3(x + 1)(x - 2) = (3x + 3)(x - 2) = 3x^2 - 6x + 3x - 6 =$
		
$3x^2 - 3x - 6 = f'(x)$.
		\item %Étudier  le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-\np{2,5}~;~3]$ à l'aide d'un tableau de signes.
Comme $3 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du produit $(x + 1)(x - 2)$ dont on peut trouver le signe grâce à un tableau de signes :
		
\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,2)
\psframe(11,2) \psline(0,0.5)(11,0.5)\psline(0,1)(11,1)\psline(0,1.5)(11,1.5)
\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](2.3,1.5){$-2,5$}\uput[u](5,1.5){$- 1$}\uput[u](8,1.5){$2$}\uput[u](10.8,1.5){$3$}
\rput(1,1.25){$x + 1$} \rput(3.5,1.25){$-$} \rput(5,1.25){$0$}
\rput(6.5,1.25){$+$}
\rput(1,0.75){$x - 2$}\rput(3.5,0.75){$-$} \rput(6.5,0.75){$-$}\rput(8,0.75){$0$}\rput(9.5,0.75){$+$}
\rput(1,0.25){$(x + 1)(x - 2)$} \rput(3.5,0.25){$+$}\rput(5,0.25){$0$}\rput(6.5,0.25){$-$}\rput(8,0.25){$0$} \rput(9.5,0.25){$+$}
\end{pspicture}		
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %En déduire le tableau de variation complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\np{2,5}~:~3]$.
Le signe de la dérivée donne la variation de $f$ : croissante sur $[-\np{2,5}~;~- 1]$ et sur [2~;~3] et décroissante sur $[- 1 ~;~2]$.

On a $f(-2,5) = - 7,5~ ;~ f(- 1) = 6~ ; f(2) = - 7,5$ et $f(3) = - 2$.

D'o\`u le tableau de variations :

\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.3,2.5){$- 2,5$} \uput[u](5,2.5){$- 1$} \uput[u](8,2.5){$2$} \uput[u](10.7,2.5){$3$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(6.5,2.25){$-$} \rput(9.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(8,2.25){$0$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) \psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\uput[u](2.3,0){$- 7,5$} \uput[d](5,2){$6$} \uput[u](8,0){$- 7,5$} \uput[d](10.7,2){$- 2$}   
\end{pspicture}		
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

%: Ex 3, 7 points
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

%Dans un lycée, on interroge les élèves de terminale STG sur leurs intentions d'orientation post-bac après le conseil de classe du troisième trimestre. On compte parmi ces élèves 45~\% de filles.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 95~\% des filles souhaitent s'inscrire en BTS ou DUT.
%\item 90~\% des garçons souhaitent cette même orientation.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit une fiche au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
%
%On note $A$, $B$ et $E$ les évènements suivants:
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $A$ : \og l'élève est une fille \fg{};
%\item $B$ : \og l'élève est un garçon \fg{};
%\item $E$ : \og l'élève souhaite s'inscrire en BTS ou DUT \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}


\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=*4cm]
{\Tp}
{
\pstree{\TR{$A$}^{0,45}}
	{
	\Tr{$E$}^{\np{0,95}} 
	\Tr{$\overline{E}$}_{0,05}
	} 
\pstree{\TR{$B$}_{0,55}}
	{
	\Tr{$E$}^{\np{0,90}} 
	\Tr{$\overline{E}$}_{0,10}
	} 
}
\end{center}

\medskip

\item %Définir par une phrase l'évènement $A\cap E$.
$A\cap E$ signifie : \og l'élève est une fille qui souhaite s'inscrire en BTS ou DUT \fg.
\item %Calculer les probabilités des évènements $A\cap E$ et $B\cap E$.
$p(A \cap E) = 0,45 \times 0,95 = \np{0,4275}$.
\item %Calculer la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $E$, notée $P_E(A)$ et celle de $B$ sachant $E$ notée $P_E(B)$.
On a $p(B \cap E) = 0,55 \times 0,9 = 0,495$.

Donc $p(E) = p(A \cap E) + p(B \cap E) = \np{0,4275} + 0,495 = \np{0,9225}$.

$P_E(A) = \dfrac{p(E \cap A)}{p(E)} = \dfrac{\np{0,4275}}{\np{0,9225}} \approx 0,463$.

De même $P_E(B) = \dfrac{p(E \cap B)}{p(E)} = \dfrac{0,495}{\np{0,9225}} \approx 0,537$.

%Comparer ces probabilités. Que peut-on en conclure~?
Ces deux probabilités ont une somme égale à 1 ; on a $P_E(B) > P_E(A)$ ce qui signifie que si on rencontre un élève qui souhaite s'inscrire en BTS ou DUT, il y a plus de chances que ce soit un garçon qu'une fille.
\end{enumerate}
\end{document}