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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\makeatletter
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%\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
%\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{%
%\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
%\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small CGRH}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH ~\decofourright\\Antilles--Guyane septembre 2009}} 
    
%\vspace{0,25cm}
%
%La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

%Une famille loue un appartement depuis le 1\up{er} janvier 2004.
%
%Le loyer s'élevait alors à 450~euros par mois.
% 
% Il a été précisé dans le contrat de location que ce loyer serait révisé le 1\up{er} janvier de chaque année (dans les limites autorisées par la loi).
%
%\medskip
% 
%\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis au dixième.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le tableau suivant donne les indices des loyers de cette famille de l'année 2004 à l'année 2007.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 \\ \hline
%Indice 	&100	&		&104,5 	&106,9  \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Au 1\up{er} janvier 2005, le loyer est passé à 460~euros par mois.
% 
%Calculer l'indice du loyer en 2005 par rapport au loyer en 2004 (pris comme base 100).
Le loyer est passé de 450 à 460~euros. On a donc :

$\dfrac{450}{100} = \dfrac{460}{x}$ soit $x = \dfrac{460 \times 100}{450} \approx 102,222 \approx 102,2$. 
\item %Sachant que le taux d'évolution du loyer de 2007 à 2008 est de 2,4\,\%, calculer l'indice du loyer en 2008.
Ajouter $2,4\,\% = \dfrac{2,4}{100}$ c'est multiplier par $1,024$, donc l'indice en 2008 sera	de :

$106,9 \times 1,024 = 109,46 \approx 109,5$ à 0,1 près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

%Dans la suite de l'exercice, on considère un loyer dont le montant annuel augmente de 2,3\,\% par an de 2004 à 2012.
%
%\medskip
% 
%\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à l'unité.}
%
%\medskip
% 
%On note $u_{0}$ le montant annuel de ce loyer en 2004, exprimé en euros : $u_{0} = \np{5400}$.
%
%On note $u_{n}$ le montant annuel de ce loyer de l'année $2004 + n$.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
Chaque année le loyer augmente de 2,3\,\%, donc est multiplié par $1,023$.

D'où $u_{1} = \np{5400}\times 1,023 = \np{5524,20} \approx \np{5524}$~(\euro).

Et $u_{2} = \np{5524,20} \times ,023 \approx \np{5651}$~(\euro).
 
\item %Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,023$.
Onb a $u_{n+1} = u_{n} \times 1,023$ ce qui signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 1,023 et de premier terme $u_{0} = \np{5400}$.
On sait que 

$u_{n} = u_{0} \times q^n = \np{5400} \times 1,023^n$.
 
%En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item %Calculer le montant annuel du loyer pour l'année 2012.
2012 correspond à $n = 8$, d'où : $u_{8} =  \np{5400} \times 1,023^8 \approx \np{6477}$~(\euro).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip
 
%On interroge 200~personnes sur une de leurs sorties au restaurant.
% 
%Les résultats de cette enquête apparaissent dans le tableau suivant. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} 
%\multicolumn{1}{c|}{} 	&Cuisine française &Cuisine orientale &Cuisine italienne &Total \\ \hline
%Sorties entre amis 		&21	&56		&63 &140 \\ \hline
%Sorties en famille		&24 &18  	&18 &60 \\ \hline
%Total 					&45 &74 	&81 &200  \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est le pourcentage de personnes qui sont allées au restaurant entre amis parmi les personnes interrogées ?
On a $\dfrac{140}{200} \times 100 = 70\,\%$. 
\item %Parmi les personnes qui sont allées au restaurant entre amis, quel est le pourcentage de celles qui préfèrent la cuisine française ?
Sur les 140 sorties entre amis, 21 ont préféré la cuisine française, soit un pourcentage de :

$\dfrac{21}{140}\times 100 = \dfrac{3}{20}\times 100 = 15\,\%$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

%On notera :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A l'évènement: \og aller au restaurant entre amis \fg. 
%\item[$\bullet~$] F l'évènement : \og aller dans un restaurant faisant de la cuisine française \fg. 
%\item[$\bullet~$] O l'évènement : \og aller dans un restaurant faisant de la cuisine orientale \fg. 
%\item[$\bullet~$] I l'évènement: \og aller dans un restaurant faisant de la cuisine italienne \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%\emph{On choisit au hasard une des personnes interrogées. Chaque personne interrogée a la même probabilité d'être choisie.\\ 
%On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement $\text{A}$.}
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre ci-dessous :

\begin{center} 
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1ex]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{0,7}}
	  { 
		  \TR{F}\taput{0,15}
		  \TR{O}\tbput{0,4}
		  \TR{I}\tbput{0,45}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{0,3}}
	  {
		  \TR{F}\taput{0,4}
		  \TR{O}\tbput{0,3}
		  \TR{I}\tbput{0,3}	 
	  }	
}
\end{center}
 
\item %Montrer que la probabilité que la personne soit allée au restaurant entre amis et ait choisi un restaurant faisant de la cuisine française est égale à 0,105.
On suit la première branche :

$p(\text{A} \cap \text{F}) = p_{\text{A}} \times p_{\text{A}}(\text{F}) = 0,7 \times 0,15 = 0,105$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la probabilité que la personne soit allée dans un restaurant faisant de la cuisine française.
On a $p(\text{F}) = p(\text{A} \cap \text{F}) + p\left(\overline{\text{A}} \cap \text{F}\right) = 0,105 + 0,3 \times 0,4 = 0,105 + 0,12 = 0,225$. 
		\item  %Les évènements A et F sont-ils indépendants ?
On a $p(\text{A} \cap \text{F}) = 0,105$ et $p(\text{A}) \times p(\text{F}) = 0,7 times 0,225 = 0,1575$.

Comme $p(\text{A} \cap \text{F}) \neq p(\text{A}) \times p(\text{F})$, les évènements A et F ne sont pas indépendants.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

%Une entreprise, créée en janvier 2008, vend des GPS.
% 
%À la fin du mois d'octobre, le directeur décide d'étudier l'évolution de l'activité de l'entreprise.
% 
%Il demande alors au service comptable de lui fournir, mois par mois, le montant des charges en centaines d'euros supportées par l'entreprise (partie A) ainsi que le nombre de GPS vendus (partie B).
% 
%On lui communique le tableau récapitulatif suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
%Mois 		&Janv.&Fév.&Mars&Avr.&Mai&Juin&Juil.&Août&Sept.&Octo.\\ \hline 
%Rang $x_{i}$& 1 	&2 	&3 	&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline
%Montant, en centaines d'euros, des charges $y_{i}$& \np{5000} &\np{5150} &\np{5300} &\np{5430} &\np{5570} &\np{5740} &\np{5860} &\np{6000} &\np{6120} &\np{6260} \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{PARTIE A : Évolution du montant des charges}

\medskip
 
%Une représentation graphique du nuage des points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal est donnée en \textbf{annexe.}
%
%\medskip
% 
%On décide de réaliser un ajustement affine de ce nuage.
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$, d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés ; les coefficients seront donnés à l'unité près.
La calculatrice donne : $y = 140x + \np{4873}$.
 
%Tracer la droite $D$ sur le graphique en annexe.
Voir l'annexe 
\item %On admet que la droite $D$ fournit une bonne approximation des charges en fonction du rang du mois pour l'année 2008. Estimer graphiquement le montant des charges pour le mois de décembre 2008.
Décembre 2008 correspond à $x = 12$. On trace la droite d'équation $x = 12$ qui coupe $D$ en un point d'ordonnée à peu égale à \np{6550}. 
%On laissera apparents les traits de construction utiles. 
\item %Retrouver le résultat précédent par un calcul à l'aide de l'équation obtenue à la question 1.
Si $x = 12$, alors $y = 140 \times 12 + \np{4873} = \np{6553}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B : Évolution du nombre de GPS vendus}

\medskip
 
%Le service comptable informe le directeur que le nombre de GPS vendus chaque mois par son entreprise peut être modélisé par la fonction $f$ définie par
% 
%\[f(x) = -65x^2 + 910x + \np{1400}\]
%
%où $x$ désigne le rang du mois de l'année 2008.
  
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~12] et vérifier que $f'(x) = 130(7 - x)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ donc sur [1~;~12] et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = - 2 \times 65x + 910 = - 130x + 910$. 
\item %Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [1~;~12].
$f^{\prime}(x) > 0$ si $-130x + 910 > 0$ ou $910 > 130x$ et enfin $7 > x$.

Donc $f^{\prime}(x) > 0$ sur [1~;~7].

De même  $f^{\prime}(x) < 0$ si $- 130x + 910 < 0$ ou $910 < 130x$ et enfin $7 < x$.

Donc $f^{\prime}(x) < 0$ sur [7~;~12].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~12].
$f$ est donc croissante sur [1~;~7] de $f(1) = \np{2245}$ à $f(7) = \np{4585}$ puis décroissante de  $f(7) = \np{4585}$ à $f(12) = \np{2960}$.
		\item %En déduire le mois au cours duquel la vente de GPS est maximale.
La valeur maximale de la fonction est donc $f(7)$ et 7 correspond au mois de juillet 2008.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à remettre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.009cm}
\begin{pspicture}(0,4800)(13,6800)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30,Dy=7000]{->}(0,4800)(13.5,6830)
\uput[d](14,4800){$x_{i}$ (rang)}\uput[r](0,6830){$y_{i}$ (montant des charges en centaines d'euros)}
\psplot[linecolor=blue]{0}{13}{4873 140 x mul add}
\uput[d](1.5,5070){$D$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(12,4800)(12,6553)(0,6553)
\multido{\n=0+1}{14}{\uput[d](\n,4800){\n}}
\multido{\n=4800+100}{21}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,4800)(\n,6800)}
\multido{\n=4800+100}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psdots(1,5000)(2,5150)(3,5300)(4,5430)(5,5570)(6,5740)(7,5860)(8,6000)(9,6120)(10,6260)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=30,Dy=7000]{->}(0,4800)(13.5,6830)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}