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%Sujet aimablement communiqué par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG C. G. R. H. Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2011}} 

\vspace{1cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille de tableur, indique le nombre d'habitants de l'unité urbaine de Paris (source: INSEE) pour les quatre années 1968, 1990, 1999 et 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&A						&B			&C			&D		&E\\ \hline 
1	& Année					&1968		& 1990		& 1999	&2006\\ \hline 
2	& Rang de l'année $x$	&0			&22			&31		&38\\ \hline 
3	&Population $y$			&\np{8368500}& \np{9318821}& \np{9644507}& \np{10142983}\\ \hline
\end{tabularx}
	
\medskip
	 
\textbf{Partie I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La formule entrée dans la cellule C2 pour obtenir par recopie vers la droite, le rang de l'année est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{a.~~} =C1 - B1 &\textbf{b.~~} =C1- \$B\$1 &\textbf{c.~~} = \$C\$1 - B1& \textbf{d.~~} =$1990 - 1968$ \\ \hline
\end{tabularx}

Dans les questions suivantes, on exprimera les résultats en pourcentages arrondis à 0,1\,\%. 
\item Quel est le taux d'évolution global de cette population entre 1968 et 2006 ? 
\item Quel est le taux d'évolution annuel moyen de cette population entre 1968 et 2006 ?
\end{enumerate}

\medskip
	 
\textbf{Partie II}

\medskip
 
On a représenté dans un repère le nuage de points représentant la population $y$ en fonction du rang de l'année $x$ :

\medskip

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0005cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-2000)(42,13000)
\multido{\n=0+2000}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(40,\n)}
\multido{\n=0+2000,\na=0+2000000}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20000](0,0)(42,13000)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.3](0,8368.500)(22,9318.821)(31,9644.507)(38,10142.983)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item On envisage un ajustement affine de ce nuage de points. En utilisant la calculatrice, indiquer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à l'entier). 
\item Dans la suite de l'exercice, on utilisera comme ajustement affine du nuage la droite d'équation $y = \np{45000}x + \np{8344100}$. On suppose cet ajustement valable jusqu'en 2020. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle serait la population de l'unité urbaine de Paris en 2012 ? 
		\item En quelle année la population de l'unité urbaine parisienne dépassera-t-elle $11$ millions d'habitants ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip
 
Une entreprise décide de fabriquer et commercialiser un produit. Sa capacité maximale de production mensuelle est de 25 tonnes. Le coût, en euros, d'une production mensuelle de $x$ tonnes est modélisé par
 
\[C(x) = x^3 - 36x^2 + 432x\]

sur l'intervalle [0~;~25].

\medskip
 
\textbf{Partie I : Étude du coût moyen}

\medskip
 
On rappelle que le coût moyen de fabrication noté $C_{M}$ est donné en fonction de $x$ par 

\[C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = x^2 - 36x + 432.\]
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $C_{M}^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $C_{M}$. Calculer $C_{M}^{\prime}(x)$. 
\item Étudier le signe de $C_{M}^{\prime}$, puis en déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle [0~;~25]. 
\item En déduire le coût moyen minimum en euros par tonnes.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie II : Étude du bénéfice}

\medskip 

Après une étude de marché, l'entreprise décide de vendre son produit 160~euros la tonne. On admet que tout produit fabriqué est vendu le mois de sa fabrication.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que sur l'intervalle [0~;~25] le bénéfice mensuel $B(x)$, en euros, pour la vente mensuelle de $x$ tonnes de ce produit, s'exprime par 

\[B(x) = - x^3 + 36x^2 - 272x.\]
 
\item Calculer ce bénéfice, en euros, pour la vente de 5~tonnes de ce produit. 
On a représenté en annexe (à rendre avec la copie) la courbe de la fonction B dans un repère orthogonal.
 
Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique (on laissera apparents les tracés nécessaires aux lectures graphiques). 
\item Quel est le bénéfice réalisé lorsque l'entreprise vend 15 tonnes de son produit sur un mois ? 
\item Pour quelle(s) valeur(s) de la production mensuelle, le bénéfice est-il de 400~euros ? 
\item Quel est le bénéfice mensuel maximum réalisé par l'entreprise ? Pour quelle production mensuelle ? 
\item Pour quelles valeurs de la production mensuelle l'entreprise est-elle déficitaire ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
On interroge un groupe de \np{1200} étudiants titulaires d'un baccalauréat STG et ayant poursuivi leurs études. 60\,\% de ces étudiants sont des filles.

\medskip
 
Parmi ces étudiants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 55\,\% ont poursuivi leurs études en BTS. 
\item[$\bullet~~$] 264 étudient à l'université. 
\item[$\bullet~~$] La moitié des étudiants de l'université sont des garçons. 
\item[$\bullet~~$] 45\,\% des étudiants de BTS sont des garçons. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter et joindre à votre copie le tableau donné en annexe. 
\item Pour chaque étudiant interrogé les informations sont portées sur une fiche individuelle. On choisit une fiche au hasard parmi les \np{1200}~renseignées. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants : 
		
$A$ : \og la fiche choisie concerne un étudiant de l'université \fg. 

$G$ : \og la fiche choisie est celle d'un garçon \fg. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap G$ puis calculer sa probabilité. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup G$ puis calculer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité que la fiche choisie concerne un étudiant de l'université, sachant qu'il s'agit d'une fille (on donnera le résultat sous forme arrondie au centième). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Courbe de l'exercice 2} \end{flushleft}

\vspace{0,5cm} 

\psset{xunit=0.44cm,yunit=0.0044cm}
\begin{pspicture}(-2,-600)(25,1100)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200]{->}(0,0)(-2,-600)(25,1100)
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-600)(\n,1100)}
\multido{\n=-600+100}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(25,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{x dup mul 36 mul 272 x mul sub x 3 exp sub}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}


\begin{flushleft}\textbf{Tableau de l'exercice 3} \end{flushleft} 

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&BTS 		&Université 		&Autres formations	&Total\\ \hline 
Filles 	&			&					&		&\\ \hline
Garçons	&			&					&		&\\ \hline%  
Total	&			&264 				&		&\np{1200}\\ \hline%  
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}