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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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%\makeatletter
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH ~\decofourright\\Nouvelle-Calédonie novembre 2009}} 

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne la production totale de charbon dans le monde entre 2000 et 2007. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année &Rang $n$ &Production de charbon en million de tonnes $u_{n}$&
%Pourcentage d'augmentation par rapport à l'année précédente.\\ \hline% 
%2000 &1 &\np{4606,4} &1,4\,\% \\ \hline%  
%2001 &2 &\np{4819,2} &4,6\,\% \\ \hline% 
%2002 &3 &\np{4852,4} &0,7\,\% \\ \hline% 
%2003 &4 &\np{5186,6} &6,9\,\% \\ \hline% 
%2004 &5 &\np{5582,8} &7,6\,\% \\ \hline% 
%2005 &6 &\np{5895,6} &5,6\,\% \\ \hline% 
%2006 &7 &\np{6187,2} &4,9\,\% \\ \hline% 
%2007 &8 &\np{6395,6} &3,4\,\% \\ \hline% 
%\multicolumn{4}{r}{source: EP$'$s annual Statistical Review of World Energy}
%\end{tabularx} 
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : 3 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sachant que la production a augmenté de 1,4\,\% entre 1999 et 2000, déterminer la production mondiale de charbon en 1999. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$~près.
Soit $x$ la production en 1999. On a 

$x \times \left(1 + \dfrac{1,4}{100}\right) =  x \times 1,014 = \np{4606,4}$ donc $x = \dfrac{\np{4606,4}}{1,014} \approx \np{4542,80007} \approx \np{4542,8}$.
\item %Déterminer le taux d'évolution global de la production mondiale entre les années 2000 et 2007. \emph{Le résultat sera arrondi à $0,1$\,\% près.}
Le taux d'évolution global de la production mondiale entre les années 2000 et 2007 est égal à :

$\dfrac{\np{6395,6} - \np{4606,4}}{\np{4606,4}} \approx \np{0,3884}$ soit environ 38,8\,\%. 
\item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen de la production mondiale entre 2000 et 2007.
Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen de la production mondiale entre 2000 et 2007 alors :

$(1 + t)^7 = 1 + 0,3884$ ou $1 + t = 1,3884^{1/7}$ et $x = 1,3884^{1/7} - 1 \approx 4,799\,\%$ soit environ 4,8\,\% au dixième près.
%\emph{Le résultat sera arrondi à $0,1$\,\% près.} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : 4 points}

\medskip
 
%QCM 
%
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.\\ 
%Indiquez sur votre copie les réponses par le numéro de la question et la lettre correspondante.\\ Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
% 
%NOTATION
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$~] Une réponse exacte rapporte 1 point, 
%\item[$\bullet$~] une réponse fausse enlève 0,5 point, 
%\item[$\bullet$~] l'absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève de point. 
%\item[$\bullet$~] Si le total est négatif, la note globale attribuée à la partie B est 0.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On désigne par $u_{n}$ la production mondiale de charbon en $1999 + n$. On décide de simuler la production de charbon par une suite géométrique de raison $1,048$ et de premier terme $u_{1} = \np{4606,4}$.
 
\begin{enumerate}
\item  %Le terme général de la suite $\left(u_{n}\right)$ en fonction de $n$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.}~ $\np{4606,4} \times  1,048^{n - 1}$ 
%&\textbf{b.}~ $\np{4606,4} \times 1,048^n$ 
%&\textbf{c.}~ $\np{4606,4} + 1,048n$\\
%\end{tabularx}
Le terme général de la suite géométrique s'écrit $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ soit $u_{n} = \np{4606,4} \times 1,048^{n-1}$.
\medskip
 
%\item  On veut présenter l'ensemble des résultats à l'aide d'un tableur.
%
%\medskip
%
%\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.4cm}|>{\centering \arraybackslash}X|p{0.4cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
% &A		&B		&C	&D	&E	&F	&G	&H  \\ \hline
%1&Année &Rang	& Production réelle& Production simulée&&Raison de la suite&	&Production simulée cumulée \\ \hline
%2&2000 	&1 	&\np{4606,4} &\np{4606,4} &	&1,048 &&\np{4606,4} \\ \hline
%3&2001 	&2 	&\np{4819,2} &\np{4827,5} &	&	&	&\np{9433,9} \\ \hline
%4&2002 	&3 	&\np{4852,4} &\np{5059,2} &	&	&	&\np{14493,1} \\ \hline
%5&2003 	&4 	&\np{5186,6} &\np{5302,1} &	&	&	&\np{19795,2} \\ \hline
%6&2004 	&5 	&\np{5582,8} &\np{5556,6} &	&	&	&\np{25351,8} \\ \hline
%7&2005 	&6 	&\np{5895,6} &\np{5823,3} &	&	&	&\np{31175,1}\\ \hline 
%8&2006 	&7 	&\np{6187,2} &\np{6102,8} &	&	&	&\np{37277,9} \\ \hline
%9&2007 	&8 	&\np{6395,6} &\np{6395,7} &	&	&	&\np{43673,6} \\ \hline
%10&2008	& 9 &		&		&	&	&	&\\ \hline
%11&2009 &10 &		&		&	&	&	&\\ \hline
%12&2010 &11 &		&		&	&	&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

%Quelle formule, à recopier sur la plage D4\negthinspace:D12, peut-on entrer dans la cellule D3 ? 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.}~ = D2 * \$F\$2& \textbf{b.}~ = D2 * F2&\textbf{c.}~ = C2 *\$F\$2\\
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~=D2 * \$F\$2~}.
\medskip
\item %Quelle formule, à recopier sur la plage H4 : H12, peut-on entrer dans la cellule H3 ? 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.}~ = D2 + D3
%&\textbf{b.}~ = H2 + D3
%&\textbf{c.}~ = SOMME(D2 : D3)\\
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~=H2 + D3~}.
\medskip 
\item %Si la production mondiale suit la simulation, quelle prévision, exprimée en millions de tonnes, peut-on faire pour l'année 2010 ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
%\textbf{a.}~ \np{6712,9} 
%\textbf{b.}~ \np{7024,5} 
%\textbf{a.}~ \np{7361,6}\\
%\end{tabularx}
2010 correspond à $n = 11$, d'où $u_{11} = \np{4606,4} \times 1,048^{11- 1} \approx \np{7361,638}$ soit au dixième près \np{7361,6}.
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

%Une Société de Service en Ingénierie Informatique (SSII) a développé un logiciel de gestion qui pourrait intéresser des médecins. Le produit créé étant innovant et n'ayant pas d'équivalent sur le marché, le responsable de l'entreprise peut ainsi fixer le prix du logiciel librement.
% 
%Une étude de marché a été réalisée auprès de 300~médecins de la région pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels intéressés en fonction du prix proposé compris entre 250~\euro{} et 600~\euro.
% 
%Les résultats sont illustrés par le tableau ci-dessous : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Prix de vente du logiciel, en \euro&250&350&400&450&500&600  \\ \hline%
%Nombre d'acheteurs potentiels $\left(y_{i}\right)$&200&170&145&135&120&100  \\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Le graphique associé (voir annexe) représente le nuage de points, sur lequel a été tracée \og au jugé \fg{} une droite d'ajustement (ajustement envisageable par la forme du nuage de points).
%
%\medskip
 
\textbf{\textsc{LES PARTIES A ET B SONT INDÉPENDANTES}}

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement le prix à fixer pour avoir 160~acheteurs potentiels.
On trace la droite d'équation $y = 160$ qui coupe la droite d'ajustement en un point que l'on projette sur l'axe des abscisses pour trouver son abscisse ; on lit environ 375~\euro. 
%\emph{On veillera à laisser en pointillés les traits de lecture.} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. \emph{Les coefficients seront arrondis à $10^{-3}$ près}.
La calculatrice donne $y = - 0,292x + 268,898$. 
		\item %En utilisant cette équation, déterminer le nombre d'acheteurs potentiels si le prix est de 375~\euro. Le résultat est-il en accord avec celui de la question 1. ?
En utilisant la droite d'ajustement, si $x = 375,~y = - 0,292 \times 375 + 268,898$ soit $y = 159,398$.

Le résultat est proche de la valeur 160 de la question 1. L'ajustement est donc bon.
	\end{enumerate} 
\item %Le responsable marketing recherche le prix idéal pour obtenir le bénéfice maximal.
 
%L'entreprise a dépensé \np{24000}~\euro{} pour concevoir le logiciel. Maintenant qu'il est au point, le coût de production de chaque version supplémentaire est négligeable. On considère que pour un prix de vente $x$, le nombre d'acheteurs est modélisé par : $- 0,29x + 268,9$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le bénéfice en fonction du prix de vente $x$ proposé peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur [250~;~600] par: 
		
%		$B(x) = - 0,29x^2 + 268,9x - \np{24000}$.
Le chiffre d'affaires de $x$ logiciels est $x (- 0,29x + 268,9) = 268,9x - 0,29x^2$.

On obtient le bénéfice en retranchant les \np{24000}~\euro{} de conception du logiciel, d'où :

$B(x) = 268,9x - 0,29x^2 - \np{24000}$. 
		\item %En détaillant la démarche, déterminer le prix du logiciel qui permettrait d'obtenir le bénéfice maximal.
		 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
Le maximum de $B$ correspond à une annulation de sa dérivée. Or :

$B'(x) = 268,9 - 2 \times 0,29x = 268,9 - 0,58x$.

$B'(x) = 0$ si $268,9 - 0,58x = 0$ soit si $\dfrac{268,9}{0,58} = x$. On obtient au centime près $x = 463,62$~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%Avec l'achat du logiciel, le commercial de l'entreprise propose un contrat d'assistance de deux ans maximum comprenant une installation à domicile et un conseiller joignable par téléphone pour 20~\euro{} le premier mois, puis 0,60~\euro{} de moins par rapport au mois précédent, et ainsi de suite. 

%On note $u_{n}$ la mensualité au $n$-ième mois pour ce contrat.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $u_{1}$ et $u_{2}$.
On a $u_{1} = 20$ et $u_{2} = 20 - 0,60 = 19,40$. 
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. Justifier la réponse en précisant la nature de la suite.
On a $u_{n+1} = u_{n} - 0,60$ : la suite $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite arithmétique de raison $r = -0,60$ et de premier terme $u_{1} = 20$.

On a donc $u_{n} = u_{1} + (n - 1)r = 20 - 0,6(n - 1) = 20 - 0,6n + 0,6 = 20,6 - 0,6n$. 
\item %Au bout de deux ans, combien l'acheteur aura-t-il payé au total pour ce contrat d'assistance ?
Au bout de 24~mois l'acheteur aura payé en tout $\dfrac{u_{1} + u_{24}}{2} \times 24 = \dfrac{20 + 20,6 - 0,6 \times 24}{2} \times 24 = 343,20$~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 
 
%\emph{La probabilité d'un évènement A est notée} $p(\text{A})$. 
% 
%\emph{La probabilité de A sachant B réalisé est notée} $p_{\text{B}}(\text{A})$.
%
%\medskip
% 
%À l'issue d'une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se prononcer et les déclarer positifs ou négatifs à une substance testée. Or, certains produits dopants restent indétectables aux contrôles et le test utilisé par le comité n'est pas fiable à 100\,\%.
% 
%Plus précisément :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] la probabilité qu'un sportif dopé soit déclaré positif est 0,94 ;
%\item[] la probabilité qu'un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,08.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le comité prend donc sa décision avec un risque d'erreur.
% 
%L'expérience a montré que, dans ce genre de compétition, 15\,\% des participants sont dopés. 
%On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize} 
%\item[] D l'évènement\og le sportif est dopé \fg, 
%\item[] P l'évènement \og le sportif est déclaré positif \fg,
%\item[] N l'évènement \og le sportif est déclaré négatif \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

%\emph{Dans toute la suite, on donnera les résultats exacts écrits sous forme décimale.}
 
\begin{enumerate}
\item %Compléter sur le document annexe  l'arbre de probabilité illustrant la situation.
 
\item %Indiquer la valeur de $p$(D) puis celle de $P_{\text{D}}(\text{P})$.
On a $p(\text{D}) = 0,15$ et $p_{\text{D}}(\text{P}) = 0,94$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Traduire par une phrase l'évènement $\overline{\text{D}} \cap  \text{P}$.
$\overline{\text{D}} \cap  \text{P}$ désigne l'év\`enement : \og le sportif n'est pas dopé et est déclaré positif \fg.
		\item  %Déterminer la valeur de $p\left(\overline{\text{D}} \cap  \text{P}\right)$.
$p\left(\overline{\text{D}} \cap  \text{P}\right) = p\left(\overline{D} \right) \times p_{\overline{\text{D}}}(\text{P}) = 0,85 \times 0,08 = 0,068$.
	\end{enumerate} 
\item %Lors d'une compétition, un sportif est choisi au hasard et contrôlé.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'il soit déclaré positif ?
Ob a de même $p(\text{D} \cap \text{P} = 0,15 \times 0,94 = 0,141$.
 
Donc  $p(\text{P}) = p(\text{P}\cap \text{D}) + p\left(\text{P}\cap \overline{\text{D}} \right) = 0,141 + 0,068 = 0,209$. 
		\item %Montrer que $p(\text{N}) = 0,791$.
$p(\text{N}) = 1 - p(\text{P}) = 1 - 0,209 = 0,791$. 
		\item %On note E l'évènement \og le comité a commis une erreur \fg. Déterminer la valeur de $p$(E).
Le comité se trompera dans deux cas :

- si le coureur dopé est déclaré négatif, avec une probabilité de $p(\text{D}\cap \text{N})$

- si le coureur non dopé est déclaré positif, avec une probabilité de $p\left(\overline{\text{D}} \cap \text{P} \right)$.

Donc $p(\text{E}) = p(\text{D}\cap \text{N}) + p\left(\overline{\text{D}} \cap \text{P} \right) = 0,15 \times 0,06 + 0,068 = 0,077$. (soit à peu pr\`es 8\,\% d'erreurs)
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.024cm,yunit=0.048cm}
\begin{pspicture}(175,70)(675,215)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=200,Dx=50,Oy=80,Dy=10]{->}(200,80)(675,215)
\multido{\n=200+25}{20}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,80)(\n,210)}
\multido{\n=200+50}{10}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,80)(\n,210)}
\multido{\n=80+5}{27}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](200,\n)(675,\n)}
\multido{\n=80+10}{14}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](200,\n)(675,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](250,200)(350,170)(400,145)(450,135)(500,120)(600,100)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(200,160)(375,160)(375,80)
\psline(650,80)(200,212.5)
\uput[d](675,80){$x$}\uput[l](200,215){$y$}
\uput[d](625,70){Prix en \euro}
\uput[r](200,215){Nombre d'acheteurs}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} \end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\pstree[treemode=D,treesep=2cm]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=l]{D}\tlput{$0,15$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{P}\tlput{$0,94$}
\Tdot~[tnpos=r]{N}\trput{$0,06$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{D}}$}\trput{$0,85$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{P}\tlput{$0,08$}
\Tdot~[tnpos=r]{N}\trput{$0,92$}
 		}
}
\end{center}
\end{document}