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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\makeatletter
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%\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH ~\decofourright\\Nouvelle-Calédonie novembre 2010}} 

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{QCM}

%\medskip
% 
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.\\ 
%Indiquez sur votre copie les bonnes réponses par le numéro et la lettre correspondante.\\ Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
% 
%\emph{NOTATION :}
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\blacktriangleright~$] une réponse exacte rapporte 1 point, 
%\item[$\blacktriangleright~$] l'absence de réponse ou une réponse fausse n'enlève pas de point.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie I}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le prix d'un produit a successivement augmenté de 10\,\% puis baissé de 10\,\%. A l'issue des deux évolutions successives, le prix a finalement :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} augmenté& 
%\textbf{b.} baissé& 
%\textbf{c.} stagné\\
%\end{tabularx}
Le prix a d'abord été multiplié par 1,10 puis par 0,90, donc finalement par $1,1 \times 0,9 = 0,99$ ce qui correspond à une baisse de 1\,\%.
\medskip
 
\item %Le prix d'un produit a augmenté de 12\,\% en un an. Le taux d'évolution mensuel moyen du prix est alors :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.} environ 0,95\,\%& 
%\textbf{b.} exactement 1\,\%& 
%\textbf{c.} environ 1,2\,\%\\
%\end{tabularx}
Si $t$ est le taux mesnuel, on a donc :

$(1 + t)^{12} = 1,12$ d'o\`u $1 + t = 1,12^{1/12}$ et enfin $t = 1,12^{1/12} - 1\approx \np{0,009489}$ ce qui représente environ 0,95\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip
 
%\parbox{0.6\linewidth}{On considère l'arbre de probabilités ci-contre, dans lequel les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont les évènements contraires respectivement des évènements $A$ et $B$.} \hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
%\pstree[treemode=R]{\TR{}}
%{
%	\pstree{\TR{$A$}\taput{$0,1$}}
%		{
%\TR{}~[tnpos=r]{$B$}
%\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{$0,3$}
% 		}
%	\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
%		{
%\TR{}~[tnpos=r]{$B$}\taput{$0,2$}
%\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{B}$}
% 		}
%}}
		
 \begin{enumerate}
\item %La probabilité de l'évènement $A \cap  B$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.~~} 0,07& 
%\textbf{b.~~} 0,7& 
%\textbf{c.~~} 0,8\\
%\end{tabularx}
On a $p_{A}(B) = 1 - 0,3 = 0,7$, donc $p(A \cap B) = 0,1 \times 0,7 = 0,07$.
\medskip
 
\item  %La probabilité de l'évènement B est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.~~} 0,8& 
%\textbf{b.~~} 0,9& 
%\textbf{c.~~} 0,25\\
%\end{tabularx}
On a $p\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,1 = 0,9$, puis $p\left(\overline{A} \cap B \right) = 0,9 \times 0,2 = 0,18$.

Finalement $p(B) = p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B \right) = 0,07 + 0,18 = 0,25$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie III}

\medskip
 
%Deux amis, Ludovic et Jean-Luc, disposent chacun d'un capital de \np{1500}~\euro{} qu'ils décident de placer. Ludovic opte pour un placement à intérêts simples au taux de 4\,\% l'an. Jean-Luc prélère placer son argent à intérêts composés au taux de 3,5\,\% l'an. Ils décident de réaliser une simulation sur tableur (voir le document annexe fourni) du capital acquis par chacun d'eux après $n$ années de placement. 
\begin{enumerate}
\item %Quelle formule peut-on entrer dans la cellule D3 qui, recopiée vers le bas, donnera le capital de Jean-Luc ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.} = \$D\$2*(1+\$A\$3)\verb+^+\$B\$3& 
%\textbf{b.} = \$D\$2*(1+\$A\$3)\verb+^+B3 &
%\textbf{c.} = D2*(1+\$A\$3)\verb+^+B3\\
%\end{tabularx}
Ajouter 3,5\,\% d'intérêts chaque année c'est multiplier l'ancien capital par $1,035$.

On écrit dans D3 la formule \fbox{~=D2*1,035~}.
\item %Lequel des deux amis, Ludovic et Jean-Luc, disposera du capital le plus élevé après 8 années de placement ?
Les capitaux successifs de Jean-Luc sont les termes d'une suite $\left(u_{n}\right)$ géométrique de raison $q = 1,035$ et de premier terme \np{1500}.

On sait que $u_{n} = u_{0} \times q^n = \np{1500} \times 1,035^n$ et en particulier $u_{8} = \np{1500} \times 1,035^8 \approx \np{1975,31}$.

Ludovic aura chaque année $ \np{1500} \times \dfrac{4}{100} = 60$~(\euro) d'intérêts. Dans la colonne C chaque montant sera égal au montant immédiatement au dessus augménté de 60. Les capitaux de Ludovic sont donc les termes les termes d'une suite $\left(v_{n}\right)$ arithmétrique de raison $r = 60$ et de premier terme \np{1500}.

On sait qu'alors $v_{n} = v_{0} + nr = \np{1500} + 60n$, et en particulier $v_{8} = \np{1500} + 60 \times 8 = \np{1980}$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.~~} Ludovic& 
%\textbf{b.~~} Jean-Luc& 
%\textbf{c.~~} Ils seront à égalité.\\
%\end{tabularx}
C'est donc Ludovic qui aura le plus gros capital au bout de 8 ans.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Dans le cadre de cet exercice, on s'intéresse à la consommation d'électricité en France (exprimée en TWh, c'est-à-dire en milliards de kWh) dans le secteur des transports urbains et ferroviaires pour les années $1994+x_{i}$ où $x_{i}$ est un nombre entier naturel.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année : $1994+x_{i}$ &1995 &2000 &2004 &2005 &2006 &2007\\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$&1 &6 &10 &11 &12 &13\\ \hline  
%Consommation : $y_{i}$& 8,6 &10,4 &12,2 &11,9 &12,1 &12,2\\ \hline
%\multicolumn{7}{r}{\small Source : http://www.developpement-durable.gouv.fr}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%
%On a représenté en annexe  le nuage de points correspondant aux données de l'énoncé ; le rang $x_{i}$ de l'année étant placé en abscisse et la consommation $y_{i}$ correspondante apparaissant en ordonnée.
% 
%On décide d'effectuer un ajustement affine. 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les coordonnées $\overline{x}$ et $\overline{y}$ du point moyen G du nuage.
On a G(8,83~;~11,23) 
		\item  %Placer G sur le graphique.
Voir sur l'annexe.
 	\end{enumerate} 
\item %Au moyen de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à $10^{-3}$ près).
La calculatrice donne $y = 0,314x + 8,456$.
 \item %Pour toute la suite de l'exercice, on utilisera la droite d'équation 

%$y = 0,31x + 8,46$ comme droite d'ajustement. Sur le document fourni en annexe  tracer cette droite.
Voir l'annexe
%\medskip
% 
%\emph{On considère que cette droite fournit un bon ajustement jusqu'en 2015.}
%
%\medskip 
\item %Estimer la consommation d'électricité en France pour l'année 2010.
2015 correspond au rang 16.

Si $x = 16$, alors $y = 0,31 \times 16 + 8,46 = 13,42$~(TWh) 
\item %Estimer à partir de quelle année la consommation d'électricité en France dans le secteur des transports urbains et ferroviaires dépassera $14,5$~TWh.
Si $y = 14,5$, alors $14,5 = 0,31x + 8,86$ soit $0,31x = 5,64$ ou $x = \dfrac{5,64}{0,31}$.

Or $\dfrac{5,64}{0,31} \approx 18,2$.

Il faudra attendre jusqu'au rang 19, soit jusqu'à 2014.

On peut aussi pour ces deux dernières questions donner une réponse graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

%L'entreprise CDUCOSTO est spécialisée dans la fabrication d'abris de jardin ; elle peut en fabriquer au maximum $30$ par mois. On admet que tous les abris de jardin fabriqués sont vendus. Tous les montants sont ici exprimés en centaines d'euros.
%
%\bigskip
% 
%On a représenté trois fonctions sur le graphique fourni en annexe.
%
%\medskip
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\blacktriangleright~$] la courbe C représente la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{3}x^2 +48$ où $x \in  [0~;~30]$ et exprime le coût total de fabrication de $x$ abris de jardin par l'entreprise CDUCOSTO. 
%\item[$\blacktriangleright~$] le segment d représente la fonction $r$ définie par $r(x) = 3x$ où $x \in  [0~;~30]$ et exprime la 
%recette réalisée pour la vente de $x$ abris de jardin au prix unitaire de 300~euros. 
%\item[$\blacktriangleright~$] le segment D représente la fonction $R$ qui exprime la recette réalisée pour la vente de $x$ abris de jardin au prix unitaire de \np{1000}~euros.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide du graphique, expliquer pourquoi le choix d'un prix de vente unitaire de 300~euros est un mauvais choix pour l'entreprise.
Pour toute valeur de $x$ la recette est inférieure au coût. Pour n'impoerte quelle production, on perd de l'argent ; le prix de vente de 300~eurfos est trop faible. 
%Dans la suite de l'exercice, l'entreprise décide de vendre chaque abri \np{1000}~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $R(25) = 250$.
Un abri est vendu \np{1000}~euros ce qui correspond  à 10 centaines d'euros. Un abri est vendu 10 centaines, donc 25 donnent une recette de $R\(25) = 25 \times 10 = 250$~centaines d'euros.
		\item %Exprimer la recette $R(x)$ ainsi réalisée en fonction de $x$.
		On a donc $R(x) = 10x$.
	\end{enumerate} 
\item %À l'aide du graphique, déterminer pour quels nombre $n$ d'abris de jardin fabriqués et vendus, l'entreprise réalise un bénéfice.
Il y a bénéfice lorsque pour une valeur de $x$ entière la rectte est supérieure qau coût.
On voit que le coût et la recettes sont égales pour $x = 6$ et $x = 24.

Il y a donc un bénéfice si on vend $x$ abris avec $6 < x < 24$. 
\item  %Exprimer le bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$.
$B(x) = R(x) - f(x) = 10x - \dfrac{1}{3}x^2 - 48$. 
\item  %Vérifier que la dérivée $B'$ de la fonction $B$ s'écrit $B'(x) = 10 - \dfrac{2}{3}x$.
$B$ est dérivable sur [1~;~30] et sur cet intervalle :

$B'(x) = 10 - 2 \times \dfrac{1}{3}x = 10 - \dfrac{2}{3}x$. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initintive même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer le nombre d'abris de jardin que l'entreprise CDUCOSTO doit fabriquer chaque mois pour réaliser un bénéfice maximum. Quel sera alors le montant de ce bénéfice maximum ?
On a $B'(x) > 0$ si $10 - \dfrac{2}{3}x > 0$ ou $10 > \dfrac{2}{3}x$ ou $30 > 2x$ et enfin $x < 15$.

De même $B'(x) < 0$ si $10 - \dfrac{2}{3}x < 0$ ou $10 < \dfrac{2}{3}x$ ou $30 < 2x$ et enfin $x > 15$.

Conclusion : $B$ est croissante sur [1~;~15] et décroissante sur [15~;~30].

Donc $B(15)$ est le maximum de la fonction $B$ sur [1~;~30] et $B(15)
 = 10\times 15 - \dfrac{1}{3}15^2 - 48 = 150 - 75 - 48 = 27$~centaines d'euros soit $\np{2700}~\euro.
\end{enumerate} 
\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse à rendre avec votre copie}

\bigskip
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1 : Questions de la partie III} \end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&Taux&Rang $n$ de l'année&Capital de Ludovic&Capital de Jean-Luc\\ \hline
2&4,0\,\%&0&\np{1500,00}& \np{1500,00}\\ \hline
3&3,5\,\%&1&\np{1560,00}&\np{1552,50}\\ \hline
4&&2&\np{1620,00}&\np{1606,84}\\ \hline
5&&3&\np{1680,00}&\np{1663,08}\\ \hline
6&&4&\np{1740,00}&\np{1721,28}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 2 :  Questions 1. à 6.} \end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(24,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1)(24,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](0,0)(24,16)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,8.6)(6,10.4)(10,12.2)(11,11.9)(12,12.1)(13,12.2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,arrowsize=2pt 3](8.83,11.23)\uput[d](8.83,11.23){G}
\uput[d](24,0){$x$} \uput[l](0,16){$y$}
\psplot[linecolor=blue]{0}{22}{0.31 x mul 8.46 add} 
\end{pspicture} 

\vspace{0.5cm}

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 3 :  Représentation des données de l'énoncé} \end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=0.4cm,yunit=0.016cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(31,400)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=50]{->}(0,0)(-1,-25)(31,400)
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+25}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
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\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{30}{3 x mul}
\psline(30,300)\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](31,0){$x$} \uput[l](0,400){$y$}
\uput[u](29,330){C} \uput[d](29,285){D}\uput[d](29,85){d}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(6,60)(6,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(24,240)(24,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(15,0)(15,150)(0,150)
\end{pspicture} 



\end{center}
\end{document}