\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{colortbl}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STG},
pdftitle = {CGRH  Métropole juin 2009},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small C. G. R. H.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole La Réunion~\decofourright\\
23 juin 2009}}

\bigskip

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée.


\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). 

\medskip

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte. Aucune justification n'est demandée.}
 
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. \textbf{Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}
 
\textbf{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une usine, la production d'un produit a augmenté de 250\:\%. Elle a donc été multipliée par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad 2,5&\textbf{b.} \quad 3,5& \textbf{c.} \quad 250
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Le prix d'un article a augmenté de 12\:\% en 3 ans. Le taux d'évolution annuel moyen, en pourcentage, arrondi à 0,1\:\% près est alors de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad 3,8\:\%&\textbf{b.} \quad 5,8\:\%&\textbf{c.} \quad 4\:\%
 \end{tabularx}

\medskip

\item En appliquant une réduction de 5\:\%, un article coûte \np{1140}~\euro, son prix avant réduction était de: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad \np{1200}~\euro& \textbf{b.} \quad  \np{1197}~\euro&\textbf{c.} \quad  \np{1140,5}~\euro
 \end{tabularx}

\medskip

\item Le nombre de membres d'une association est passé de \np{1150} en 2006 à \np{1221} en 2007 puis à \np{1503} en 2008. En prenant pour indice de référence 100 en 2006, l'indice, arrondi au centième pour l'année 2008 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.} \quad 123,10&\textbf{b.} \quad 1,31& \textbf{c.} \quad 130,70
 \end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle. Pour choisir les matériaux à utiliser, elle mène une enquête auprès de porteurs de lunettes, en proposant dix prix différents. Les résultats sont reportés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de vente proposé pour la monture (en \euro) : $x_{i}$& 240 &320 &400 &480 &560 &640 &720 &800\\ \hline 
Nombre de personnes disposées à acheter à ce prix : $y_{i}$& 402 &390 &340 &230 &210 &130 &70 &60\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère, sur du papier millimétré.
 
On prendra pour unités: 1~cm pour 50~\euro{} sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~personnes sur l'axe des ordonnées.
 
\item  Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 
\item On donne le point A de coordonnées (260~;~409). Placer les points A et G sur le graphique, puis tracer la droite (AG). 
 \item On admet que la droite (AG) constitue un ajustement convenable du nuage de points précédent. Vérifier que la droite (AG) a pour équation : 
 
$y = - \dfrac{9}{13}x + 589$. 

\textbf{Pour la suite, on utilisera} : $y = - 0,7 x + 589$, le coefficient de $x$ étant arrondi au dixième. 
\item En utilisant l'ajustement précédent, calculer une estimation du nombre de montures vendues en proposant un prix de vente de 500~euros. 
\item \textbf{Dans cette question $6$, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. }

Les frais de fabrication sont de 150~\euro{} par monture et les frais fixes (indépendants du nombre de montures vendues) sont de \np{10000}~\euro. 

Pour $x$ appartenant à l'intervalle [240~;~800], on note $B(x)$ le bénéfice dégagé par la vente de $y$ montures au prix unitaire de $x$~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $B(x) = - 0,7x^2 + 694x - \np{98350}$. 
	\item  Pour $x$ appartenant à [240~;~800], on considère la fonction $B$ qui à $x$ associe $B(x)$. Déterminer la fonction dérivée $B'$ de $B$ sur [240~;~800]. 
	\item  En déduire les variations de la fonction $B$, pour $x$ appartenant à l'intervalle [240~;~800], puis le prix de vente de la monture (arrondi au centime) pour lequel le bénéfice $B(x)$ est maximal.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Formulaire : }

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \emph{Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $a$ : }

$u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}  = (n + 1) \times \dfrac{u_{0}+ u_{n}}{2}$
\item \emph{Pour une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $b$ :} 

Si $b \neq 1,\:u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}  = u_{0} \times \dfrac{1 -  b^{n+1}}{1 - b}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Monsieur ELIOT a le projet de souscrire un contrat d'entretien pour sa chaudière à partir de janvier 2009. Il contacte l'entreprise CHAUFECO et l'entreprise CHAUFMAX. Chacune d'entre elles propose une évolution différente des versements pour un contrat offrant les mêmes prestations. 
\begin{enumerate}
\item  Pour l'entreprise CHAUFECO, il s'agit d'un contrat sur 10~ ans avec un versement de 150~\euro{} la première année puis une augmentation du versement de 3,25~\euro par an jusqu'à la fin du contrat. 

Pour se rendre compte de l'évolution des versements annuels, Monsieur ELIOT utilise un tableur dont on a extrait la feuille de calcul suivante (les résultats sont arrondis au centime d'euro). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A			&B			&C\\ \hline
1	&Année & Entreprise CHAUFECO Versements annuels& Entreprise CHAUFECO Cumul des versements\\ \hline
2	&2009	&150		&150		\\ \hline
3	&2010	&153,25	&303,25	\\ \hline
4	&2011	&156,50	&459,75	\\ \hline
5	&2012	&159,75	&619,50	\\ \hline
6	&2013	&163	&782,5	\\ \hline
7	&2014	&166,25	&948,75	\\ \hline
8	&2015	&169,50	&\np{1118,25}\\ \hline
9	&2016	&172,75	&\np{1291}     \\ \hline
10	&2017	&176	&\np{1467}     \\ \hline
11	&2018	&179,25	&\np{1646,25} \\ \hline
\end{tabularx}


	\begin{enumerate}
		\item  Donner une formule qui, entrée dans la cellule B3, a permis par recopie vers le bas. d'obtenir la plage de cellules B3:B11. 
		\item  La plage de cellules C3:C11 a été obtenue par recopie vers le bas à partir de la cellule C3. Quelle formule contient la cellule C6 ? 
		\item  Quelle information concernant le contrat de l'entreprise CHAUFECO donne à monsieur ELIOT le résultat affiché dans la cellule C11 ? 
	\end{enumerate}
\item Pour l'entreprise CHAUFMAX, il s'agit d'un contrat sur 10~ans avec un versement de 150~\euro{} la première année puis une augmentation de 2\:\% par an jusqu'à la fin du contrat. 

Monsieur ELIOT désire alors compléter la feuille de calcul précédente afin d'obtenir les versements correspondant à chacune des entreprises. On a extrait la feuille de calcul suivante : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&&&&&Taux &2\:\%\\ \hline
2&Année& \footnotesize Entreprise CHAUFECO  Versements annuels&\footnotesize Entreprise CHAUFECO Cumul des versements&&\footnotesize Entreprise CHAUFMAX  Versements annuels&\footnotesize Entreprise CHAUFMAX Cumul des versements\\ \hline
3	&2009	&150	&150			&&&\\ \hline
4	&2010	&153,25	&303,25			&&&\\ \hline
5	&2011	&156,50	&459,75			&&&\\ \hline
6	&2012	&159,75	&619,50			&&&\\ \hline
7	&2013	&163	&782,5			&&&\\ \hline
8	&2014	&166,25	&948,75			&&&\\ \hline
9	&2015	&169,50	&\np{1118,25}	&&&\\ \hline
10	&2016	&172,75	&\np{1291}		&&&\\ \hline
11	&2017	&176	&\np{1467}		&&&\\ \hline
12	&2018	&179,25	&\np{1646,25}	&&&\\ \hline
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer le résultat obtenu dans la cellule E4. 
	\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule E4, permet par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules E4:E12. 
	\item On pose $u_{0} = 150$ et on note $\left(u_{n}\right)$ le versement, en euros, de l'année $(2009 + n)$ avec l'entreprise CHAUFMAX.
	 
Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = 150 \times  1,02^n$. 
	\item Quel résultat va s'afficher dans la cellule E12 ? 
	\item Sans calculer le contenu d'autres cellules, montrer que le résultat qui va s'afficher dans la cellule F12 est \np{1642,46}.
	\end{enumerate} 
\item Lequel des deux contrats est le plus intéressant pour Monsieur ELIOT ? 
\item  Monsieur ELIOT désire étudier d'autres propositions du même type que celle de l'entreprise CHAUFMAX, mais avec un taux d'évolution différent.
 
La formule à la question 2b permet-elle d'y répondre ?
 
Sinon, en entrant dans la cellule F1 le nouveau taux d'évolution, donner une formule qui, entrée dans la cellule E4 et recopiée vers le bas lui permettra de consulter les montants des versements. 
\end{enumerate}
\end{document}